Antworte auf:  Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen von Shurian
Forum:  Folgen und Reihen, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Themenübersicht
trunx
Senior
Dabei seit: 16.08.2003
Mitteilungen: 2867
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-08 09:43    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)
Du sollst \(\sqrt[k]{k}\) mit Hilfe der Wurzel- und Potenzgesetze auf die Form e hoch ... bringen. Wenn du das hast, kannst du mit dem Tipp weiter machen.

bye trunx
\(\endgroup\)

Shurian
Aktiv
Dabei seit: 30.11.2019
Mitteilungen: 90
Herkunft: Heidelberg
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-12-08 00:14    [Diesen Beitrag zitieren]

Tut mir leid, ich komme auf keinen grünen Zweig  ☹️


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2886
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-07 14:39    [Diesen Beitrag zitieren]

Nein, du hast mich missverstanden.
Du untersuchst die Reihe
\[\sum_{k=1}^\infty (-1)^ka_k\] und weißt, dass $e^{k\cdot a_k}\geq k$. Für ein festes $k$ ist
\[e^{a_k \cdot k} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_k \cdot k)^n}{n!}\] aber das ist vollkommen irrelevant, weil das ja nur bedeutet, dass $e^{a_k \cdot k}$ ein sinnvoller Ausdruck ist, aber keine Aussage zur Summe der $a_k$ macht.

Wie kannst du $a_k$ mit Hilfe von $e^{k\cdot a_k}\geq k$ nach unten abschätzen?


Shurian
Aktiv
Dabei seit: 30.11.2019
Mitteilungen: 90
Herkunft: Heidelberg
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-07 14:25    [Diesen Beitrag zitieren]

$e^{a_k \cdot k} = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(a_k \cdot k)^n}{n!}$ und das ist eine konvergente Majorante. Damit konvergiert die Reihe auch absolut(?)


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2886
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-07 13:46    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

sei $a_k=\sqrt[k]{k}-1$, so gilt $k=(a_k+1)^k\leq e^{a_k\cdot k}$. Hier habe ich den Hinweis verwendet. Wie geht es weiter?


Shurian
Aktiv
Dabei seit: 30.11.2019
Mitteilungen: 90
Herkunft: Heidelberg
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-07 12:25    [Diesen Beitrag zitieren]

Stimmt, da war ich wohl völlig neben der Spur, danke dir für den Hinweis.


Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46202
Herkunft: Dresden
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-07 12:20    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi Shurian,
der Term fed-Code einblenden konvergiert gegen Null und nicht gegen 2.
Gruß Buri


Shurian
Aktiv
Dabei seit: 30.11.2019
Mitteilungen: 90
Herkunft: Heidelberg
 Themenstart: 2019-12-07 12:13    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Leute,

folgende Reihe verwirrt mich etwas, die ich auf absolute Konvergenz und Konvergenz untersuchen soll:

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k (\sqrt[k]{k}-1)$

Als Tipp habe ich bekommen, dass $e^x \geq 1 + x$ für $x \geq 0$ gilt.

Nun habe ich den Betrag der Summanden betrachtet:
$$|\sqrt[k]{k} - 1|
\leq |\sqrt[k]{k}| + |1|
= \sqrt[k]{k} + 1 \rightarrow 2$$ Also ist die Folge der Betäge der Summanden keine Nullfolge und damit konvergiert die Reihe nicht.

Inwiefern habe ich nun den obigen Tipp gebraucht, oder habe ich etwas gravierendes übersehen/nicht beachtet?

Viele Grüße,
Shurian


 
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