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Antworte auf:  Potenzreihenentwicklung von (2z-3)/(z-2)^2 von Dreadwar
Forum:  Taylorentwicklungen, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Themenübersicht
Dreadwar
Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 124
Herkunft:
 Beitrag No.18, eingetragen 2019-12-10 17:31    [Diesen Beitrag zitieren]

Okay alles klar, dann danke ich dir einmal mehr für die tolle Hilfe und wünsche noch einen schönen Abend!

Liebe Grüße


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2802
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.17, eingetragen 2019-12-10 17:26    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

ich würde dich bitten, dafür einen neuen Thread zu starten. Ad hoc fällt mir zu deiner Frage auch nichts ein, ich werde mal darüber nachdenken.  smile


Gruß, Diophant


Dreadwar
Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 124
Herkunft:
 Beitrag No.16, eingetragen 2019-12-10 17:16    [Diesen Beitrag zitieren]

Super ich danke dir vielmals! Könntest du mir vielleicht auch einen Tipp hierzu geben?

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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2802
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.15, eingetragen 2019-12-10 09:12    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

ja, jetzt ist es richtig. Wie gesagt, du könntest noch darüber nachdenken, das per Summenformel zusammenzufassen, da müsstest du noch einen passenden Term für die Koeffizienten finden. Der wäre ja aber linear in k, also eine leichte Übung.

Und merke dir den Reihengrenzwert \(\frac{1}{(1-z)^2}\) einmal, er kommt desöfteren vor.

Nimmt man die geometrische Reihe für \(|z|<1\), so hat man ja

\[\sum_{n=0}^{\infty}z^n=1+z+z^2+\dotsc=\frac{1}{1-z}\]
Die Ableitung dieses Grenzwerts nach z ist ja aber gerade

\[\frac{\on{d}}{\on{dz}}\frac{1}{1-z}=\frac{1}{(1-z)^2}\]
Also, leiten wir doch die geometrische Reihe einmal ab, und erhalten:

\[\frac{\on{d}}{\on{dz}}\sum_{n=0}^{\infty}z^n=\sum_{n=1}^{\infty}n z^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n=1+2z+3z^2+\dotsc=\frac{1}{(1-z)^2}\]
Dies noch als kleiner Nachtrag.

Wobei du das hier ja so nicht hättest verwenden dürfen, wenn ich dich richtig verstanden habe. Zur Kontrolle ist es dennoch nützlich.  smile


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Dreadwar
Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 124
Herkunft:
 Beitrag No.14, eingetragen 2019-12-09 22:37    [Diesen Beitrag zitieren]

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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2802
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.13, eingetragen 2019-12-09 22:03    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

du hast da offensichtlich etwas noch nicht ganz verstanden, was das Faltungsprinzip angeht. Sprich: deine Koeffizienten beim Cauchy-Produkt sind falsch.

Schau dir das mal bei Wikipedia an, da ist es ganz gut erklärt.


Gruß, Diophant


Dreadwar
Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 124
Herkunft:
 Beitrag No.12, eingetragen 2019-12-09 21:52    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Diophant,

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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2802
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.11, eingetragen 2019-12-09 20:55    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

ich habe gerade nur für eine kurze Antwort Zeit:

Die Reihen mit w sind richtig.

Das Cauchy-Produkt ist falsch angewendet, das solltest du dir nochmals anschauen.

Und der Sinn der Übung besteht IMO darin, das ganze nachher wieder in eine Summe zu packen.


Gruß, Diophant


Dreadwar
Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 124
Herkunft:
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-12-09 20:12    [Diesen Beitrag zitieren]

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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2802
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-12-09 19:40    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

schau mal meine Umformungen an: ich habe dir den Entwicklungspunkt sozusagen auf dem Silbertablett serviert. Setze vielleicht mal zunächst \(w=z-1\), entwickle die Reihen nach \(w\) und substituiere dann zurück. Dann solltest du es sehen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Dreadwar
Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 124
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-12-09 19:36    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Diophant, das Cauchy Produkt darf ich benutzen, vielen Dank für den Tipp! ich probiere das mal aus und melde mich dann (hoffentlich) gleich mit dem richtigen Ergebnis zurück! Den Entwicklungspunkt setzt man dann später ein oder geht das auch direkt?




Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2802
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-09 19:31    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

dann wäre es jedenfalls gut, wenn du mal die Konzepte aufzählen könntest, die du verwenden darfst/sollst.

Man könnte natürlich folgendes machen:

\[\ba
\frac{2z-3}{(z-2)^2}&=\frac{2z-4}{(z-2)^2}+\frac{1}{(z-2)^2}\\
\\
&=\frac{2}{z-2}+\frac{1}{(z-2)^2}\\
\\
&=\frac{2}{(z-1)-1}+\frac{1}{\left((z-1)-1\right)^2}\\
\\
&=-\frac{2}{1-(z-1)}+\frac{1}{\left(1-(z-1)\right)}\cdot\frac{1}{\left(1-(z-1)\right)}\\
\ea\]
Jetzt hättest du mal als erstes eine geometrische Reihe, dann eine weitere (im Prinzip identische), jedoch quadriert. Auf dieses Quadrat könnte man das Cauchy-Produkt loslassen. Das sollte sich hier von den Koeffizienten her doch recht einfach gestalten (wenn ich nichts übersehe).

Jetzt sag aber nicht, dass das auch noch nicht dran war bzw. nicht benutzt werden darf. ;-)


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
\(\endgroup\)

Dreadwar
Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 124
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-12-09 19:26    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Roland, ich brauche nur die ersten vier Terme. Ich habe versucht durch umformen auf die geometrische Reihe zu kommen, die Entwicklung kommt aber leider nicht raus bei mir :/


rlk
Senior
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 10686
Herkunft: Wien
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-09 19:24    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Dreadwar,
willst Du die Potenzreihe oder nur die ersten paar Terme, wie sie in
LinkPotenzreihenentwicklung ohne Differentialrechnung
verlangt waren?

Servus,
Roland


Dreadwar
Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 124
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-09 19:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Ah, ich vergaß zu erwähnen, dass ich keine Differentialrechnung verwenden darf, Sorry!


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2802
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-09 19:10    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

wie der Name Entwicklungspunkt ja schon nahe legt, sollte man jetzt die Potenzreihe um \(z_0=1\) entwickeln.  smile

Sprich: bilde jetzt für beide Summanden Potenzreihen der Form

\[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}\left(z-z_0\right)^k\]
Der Vorteil im Aufsplitten des Funktionsterms liegt dabei darin, dass die Ableitungen a) einfacher werden und b) allgemein die k. Ableitung explizit dargestellt werden kann.

Es klappt halt leider nicht immer, dass man da mal eben eine geometrische Reihe aus dem Hut zaubert o.ä. Manchmal führt am Rechnen kein Weg vorbei.  smile


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Dreadwar
Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 124
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-09 18:39    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Diophant, danke für die Antwort!
Das hatte ich auch schon mal versucht, weiß aber dann nicht wie ich weiter machen soll, insbesondere mit dem Entwicklungspunkt, den muss ich ja irgendwie da verbauen und irgendwie muss dann ja eine potenzreihe dabei rauskommen.

Liebe Grüße


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2802
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-09 13:46    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

splitte das doch auf:

\[\frac{2z-3}{(z-2)^2}=\frac{2z-4}{(z-2)^2}+\frac{1}{(z-2)^2}=\frac{2}{z-2}+\frac{1}{(z-2)^2}\]

Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Folgen und Reihen' in Forum 'Taylorentwicklungen' von Diophant]
\(\endgroup\)

Dreadwar
Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 124
Herkunft:
 Themenstart: 2019-12-09 12:58    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Leute, ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe und zwar soll ich die Potenzreihenentwicklung dieser Funktion angeben und komme einfach nicht drauf:

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