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Antworte auf:  Ein Limes impliziert den anderen - warum? von Fruchtig
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shadowking
Senior
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3472
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-09 23:21    [Diesen Beitrag zitieren]

Nicht ganz exakt.

Zunächst ist $\displaystyle\varphi(1+s)$ für $\displaystyle s>0$ nicht zwangsläufig definiert. Bilde besser den Grenzwert
$\displaystyle\lim_{s->0}\frac{\varphi(1-s)-\varphi(1)}{-s}$.

Außerdem geht es ja gerade darum, dass diese Ableitung entweder gar nicht existiert oder Null ist, der Grenzwert also wenig Aussagekraft besitzt. Die Frage ist, mit welcher Ordnung $\displaystyle\varphi$ in $\displaystyle s=1$ verschwindet; genauer, für welchen eindeutig bestimmten Exponenten $\displaystyle p$ der Grenzwert $\displaystyle\lim_{s->0}\frac{\varphi(1-s)}{s^p}$ einen endlichen Wert $\displaystyle A$ annimmt.


Fruchtig
Aktiv
Dabei seit: 30.04.2012
Mitteilungen: 268
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-09 21:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Ahhh, manchmal kann es so einfach sein.
Vielen Dank!

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shadowking
Senior
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3472
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-09 20:31    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Fruchtig,

wenn $\displaystyle\lim_{s\rightarrow 0}\frac{\varphi(1-s)}{s^p}=A$ gilt, dann folgt $\displaystyle\lim_{s\rightarrow 0}\frac{\varphi(1-sx)}{s^p\cdot x^p}=A$ für beliebiges, aber festes $x$ durch Einsetzen von $s\cdot x$ für $s$.

Gruß shadowking


Fruchtig
Aktiv
Dabei seit: 30.04.2012
Mitteilungen: 268
Herkunft:
 Themenstart: 2019-12-09 17:32    [Diesen Beitrag zitieren]

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