Antworte auf:  Definition der Varianz kontraintuitiv ? von carlox
Forum:  Stochastik und Statistik, moderiert von: Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel

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wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1310
Herkunft: Freiburg
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-11 14:16    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo carlox,

2019-12-11 13:46 - carlox in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo wladimir_1989,


...beliebige gerade Potenz dass die Größe \(f(X)=\sum_{i=1}^n(X-X_i)^2\) gerade für \(X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\) minimal wird.
Wo wird diese Eigenschaft verwendet bzw. wo braucht man das ?
Kannst du ein Beispiel geben ?

mfg
cx


im Prinzip bedeutet das ja, dass bei diesem speziellen Streuungsmaß bezüglich eines unbekannten wahren Wertes X das arithmetische Mittel tatsächlich der beste Schätzwert für den wahren Wert ist, was ja unsere Intuition widerspiegelt. Das ist zumindest meine Interpretation für die Definition der Varianz.

lg Wladimir


carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1086
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-11 13:46    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo wladimir_1989,


...beliebige gerade Potenz dass die Größe \(f(X)=\sum_{i=1}^n(X-X_i)^2\) gerade für \(X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\) minimal wird.
Wo wird diese Eigenschaft verwendet bzw. wo braucht man das ?
Kannst du ein Beispiel geben ?

mfg
cx






Vega
Aktiv
Dabei seit: 22.10.2004
Mitteilungen: 25
Herkunft: NRW
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-11 13:22    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

neben den genannten Gründen ist ein weiterer Grund glaube ich,
daß man mit Beträgen weniger gern rechnet (z.B. nicht differenzierbar)
(Einfach Quadrat in der Summe weglassen führt zu Varianz 0!)

Und was ist intuitiver? Beim quadratischen Fehler werden halt größere Fehler (>1) stärker "bestraft". Es kommt halt drauf an welcher Abstand am besten passt. Da hat sich halt die Varianz durchgestzt.

Genauere Gründe und Alternativuntersuchungen würden mich auch interessieren.

VG
Vega


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4676
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-11 12:52    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen,

ich kann es jetzt nicht belegen, aber hängt nicht die Varianz (auch historisch) eng mit dem Konzept bzw. der Methode der kleinsten Fehlerquadrate zusammen?


Gruß, Diophant


wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1310
Herkunft: Freiburg
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-11 12:28    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo carlox,


ich glaube, der wichtigste Punkt hier ist, dass wir eine positive Größe haben wollen, die man als Maß für die durchschnittliche Streuung interpretieren kann. Deswegen werden die Abweichungen quadriert. Natürlich könnte man auch z.B. die Beträge der Ableitungen oder eine beliebige gerade Potenz nehmen, in diesem Fall geht aber die Eigenschaft verloren, dass die Größe \(f(X)=\sum_{i=1}^n(X-X_i)^2\) gerade für \(X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\) minimal wird.


lg WLadimir


carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1086
Herkunft:
 Themenstart: 2019-12-11 12:19    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo allerseits,
bei der Definition der Varianz werden die Abstände vom Mittelwert quadriert.
Rein intuitiv würde ich die Abstände vom Mittelwerdie unverändert übernehmen (d.h. mit 1 potenzieren). Das wäre für mich intuitiver.

Statt die Abstände vom Mittelwert zu quadrieren, könnte man (mit dem gleichen Recht) auch die Wurzel davon ziehen oder sie zur Potenz 3 erheben oder irgend etwas anderes mit ihnen anstellen.


Fragen:
1)
Warum macht man das nicht ?

2)
Gibt es Untersuchnungen, wie alterbative Definitionen der Varianz die Stochastik verändern würde, d.h. wie sich das auf die ganzen Behauptungen und Sätze der Stochastik auswiken würde ?

mfg
cx


 
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