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Antworte auf:  Warum bedeutet die Gleichung f² = 0, dass Bild(f) ⊆ Kern(f)? von luisamariewen
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Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-05 20:39    [Diesen Beitrag zitieren]

Es kann auch nicht schaden, die naheliegende Verallgemeinerung gleich mit zu beweisen:

Seien $g : U \to V$, $f : V \to W$ linear. Dann gilt

$f \circ g = 0 \iff \mathrm{Bild}(g) \subseteq \mathrm{Kern}(f).$

Und wie schon gesagt, das ergibt sich sofort durch Hinschreiben der Definitionen.


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 605
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-05 17:07    [Diesen Beitrag zitieren]

Nun fangen wir wie gehabt an, um eine Inklusion zu zeigen:

Sei x $\in Bild(f)$ beliebig. Dann existiert per Definition ein...
jetzt du!

Viele Grüße,
X3nion


xiao_shi_tou_
Senior
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1229
Herkunft: Bonn
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-05 16:36    [Diesen Beitrag zitieren]
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2020-01-05 16:33 - luisamariewen im Themenstart schreibt:
Hallo liebe Mitglieder,

Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. Sei f: V->V ein Endomorphismus mit f^2=0.

Nun habe ich gelesen, dass f^2=0 bedeutet, dass Bild(f) \subsetequal\ Kern(f)

Warum ist das der Fall?

Gruß und vielen Dank im Voraus
Luisa Marie
Schau mal hier:


Schreibe alle Definitionen hin die involviert sind. Dann ergibt sich die Lösung von selbst.

Als Tipp:
Du brauchst die folgenden Definitionen:
$\bul$ Definition von $\o{Kern}(f)$
$\bul$ Definition von $\o{Bild}(f)$
$\bul$ Definition von $0\colon V\to V$
$\bul$ Definition von $f^2$ (Verkettung)
$\bul$ Definition von $\sube$

\(\endgroup\)

luisamariewen
Neu
Dabei seit: 05.01.2020
Mitteilungen: 1
Herkunft:
 Themenstart: 2020-01-05 16:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo liebe Mitglieder,

Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. Sei f: V->V ein Endomorphismus mit f^2=0.

Nun habe ich gelesen, dass f^2=0 bedeutet, dass Bild(f) \subsetequal\ Kern(f)

Warum ist das der Fall?

Gruß und vielen Dank im Voraus
Luisa Marie


 
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