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Antworte auf:  Konvergenz einer Potenzreihe von Felix2403
Forum:  Folgen und Reihen, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Felix2403
Aktiv
Dabei seit: 03.11.2019
Mitteilungen: 43
Herkunft:
 Beitrag No.16, eingetragen 2020-01-25 16:20    [Diesen Beitrag zitieren]

Ja allerdings das hast du und das war mir echt eine große Hilfe ! Vielen Dank !

Ich habe mir nochmal zwei Potenzreihen geschnappt, zwar brauche ich hier nicht explizit das, was du mir erklärt hast, aber trotzdem eine gute Übung.

Berechnen Sie den Konvergenzradius $r$ für die Reihen

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ und $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$

Für welche $x \in \mathbb{R}$ divergieren sie ?

Beweis:

1. Quotientenkriterium

$x_0 = 0$


$\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = |x| < 1$

Überprüfen wir die Randwerte ergibt sich:

für $x = 1$ Divergenz, da harmonische Reihe

für $x = -1$ Konvergenz aufgrund des Leibniz-Kriteriums, da $|\frac{(-1)^n}{n}|$ eine monoton fallende Nullfolge ist.

Der Konvergenzradius der Reihe ist also $[-1;1)$.

Sie divergiert für $x \in \mathbb{R}\setminus[-1;1)$... ist da noch ein Trick dabei oder wieso wird explizit nach der Menge gefragt für die $x$ divergiert ?

2. Quotientenkriterium

$x_0 = 0$

$\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = |x| < 1$

Überprüfen wir die Randwerte ergibt sich:

für $x = 1$ Konvergenz, da harmonische Reihe für $\alpha = 2$ konvergiert

für $x = -1$ Konvergenz aufgrund des Leibniz-Kriteriums, da $|\frac{(-1)^n}{n^2}|$ eine monoton fallende Nullfolge ist.

Der Konvergenzradius der Reihe ist also $[-1;1]$.

Sie divergiert für $x \in \mathbb{R}\setminus[-1;1]$



Liebe Grüße

Felix







X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 605
Herkunft:
 Beitrag No.15, eingetragen 2020-01-20 01:42    [Diesen Beitrag zitieren]

Hey Felix!

Das ist auch sehr löblich und motiviert von dir - weiter so! 😄

Genau, bei (**) haben wir Divergenz vorliegen, mit $\lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = 1$.
Der entscheidende Unterschied zu (*) ist, dass hier $\frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}} \cdot e \ge 1$ für alle $n \in \mathbb{N}$ ist, wegen $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \le e$ $\forall n \in \mathbb{N}$. Folglich ist die Bedingung der Divergenz erfüllt, dass ein $n_{0} \in \mathbb{N}$ existiert, sodass für alle $n > n_{0}$
gilt: $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \ge 1$.
Denn damit gilt $0 \le |a_{n_{0}+1}| \le |a_{n_{0}+2}| \le ... $.

In unserem Fall ist $a_{n} \neq 0$ $\forall n \in \mathbb{N}$, der Quotient $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$ somit wohldefiniert, und es gilt $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}} \cdot e \ge 1$ für alle $n \in \mathbb{N}$.

Wir können die Bedingung $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \ge 1$ $\forall n \in \mathbb{N}$ umstellen und erhalten mithilfe der Betragsgesetze $|a_{n+1}| \ge |a_{n}|$ $\forall n \in \mathbb{N}$

Setze nun z.B. $n_{0}:= 1$. Wir können jetzt umstellen und erhalten damit induktiv $|a_{1+2}| \ge |a_{1+1}| > 0$, weiterhin $|a_{1+3}| \ge |a_{1+2}|$, insgesamt also $0 < |a_{2}| \le |a_{3}| \le |a_{4}| \le ...$,

die Folge der $a_{k}$'s ist also keine Nullfolge mehr, die notwendige Bedingung der Konvergenz der Reihe damit verletzt!


------------

Bei (*) scheitert das Quotientenkriterium beim Nachweis der Konvergenz.
Es gilt zwar $\lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = 1$, aber es gilt stets $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| < 1$. Somit ist die Reihe auf jeden Fall nicht divergent, denn dazu müsste ab einem gewissen Index $n_{0}$ für alle größeren Indizes gelten: $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \ge 1$.
Über die Konvergenz liefert uns das Quotientenkriterium allerdings keine Aussage, da hier dafür gelten müsste $\lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| < 1$.



Ich hoffe, ich konnte die Sachverhalte etwas verständlicher darstellen.
Falls nicht, so darst du jederzeit nachfragen 😄

Viele Grüße,
X3nion


2020-01-19 18:20 - Felix2403 in Beitrag No. 14 schreibt:
Hey ihr beiden,

danke nochmal für die Bemühungen, dass ich das ganze wirklich perfekt und richtig lerne.

Die Bedingung der Divergenz finden wir bei (**) wieder, soweit ich das sehe.

Nur sehe ich den zentralen Unterschied beim Nachweis über das Quotientenkriterium nicht.

Wenn du mich darüber noch schnell aufklären würdest, wäre ich dir sehr dankbar.

Liebe Grüße

Felix


Felix2403
Aktiv
Dabei seit: 03.11.2019
Mitteilungen: 43
Herkunft:
 Beitrag No.14, eingetragen 2020-01-19 18:20    [Diesen Beitrag zitieren]

Hey ihr beiden,

danke nochmal für die Bemühungen, dass ich das ganze wirklich perfekt und richtig lerne.

Die Bedingung der Divergenz finden wir bei (**) wieder, soweit ich das sehe.

Nur sehe ich den zentralen Unterschied beim Nachweis über das Quotientenkriterium nicht.

Wenn du mich darüber noch schnell aufklären würdest, wäre ich dir sehr dankbar.

Liebe Grüße

Felix


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 605
Herkunft:
 Beitrag No.13, eingetragen 2020-01-15 13:26    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-01-15 09:56 - Felix2403 in Beitrag No. 11 schreibt:
Huch ich habe dein Beitrag ganz verschlafen.

Ja das stimmt, $x = e$ liefert aber nach dem Quotientenkriterium "1", was damit bedeuten würde, dass meine Reihe divergiert.

Damit sind die beiden Randpunkte ausgeschlossen.

Liebe Grüße

Felix

Das ist so nicht ganz korrekt!

Betrachte z.B. die Reihe $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$.

Hier erhalten wir
(*)    $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} = 1$, die Reihe ist jedoch konvergent.

In unserem Falle erhalten wir für den Wert x=e folgenden Term im Quotientenkriterium:
(**)    $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}} \cdot e = 1$.

Divergiert nun unsere Reihe, oder können wir keine Aussage über das Quotientenkriterium machen?

Hierbei ist es wichtig, sich noch einmal die exakte Bedingung für den Nachweis der Divergenz per Quotientenkriterium klar zu machen.
Sei $a_{n} \neq 0$  $\forall n > n_{0}$.
Existiert ein $n_{0} \in \mathbb{N}$, sodass für alle $n > n_{0}$ gilt: $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \ge 1$,
dann divergiert die Reihe, denn dann haben wir $0 < |a_{n_{0} + 1}| \le |a_{n_{0} + 2}| \le ...$, also keine Nullfolge der Summanden.

Erzielen wir diese Bedingung bei (*) oder (**)?
Worin liegt der zentrale Unterschied zwischen z.B. (*) und (**) bei dem Nachweis der Divergenz per Quotientenkriterium?


Viele Grüße,
X3nion


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3196
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.12, eingetragen 2020-01-15 10:00    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

genau: beide Ränder sind damit ausgeschlossen.

EDIT: das alleine reicht noch nicht aus. Siehe dazu den folgenden Beitrag von X3nion!


Gruß, Diophant


Felix2403
Aktiv
Dabei seit: 03.11.2019
Mitteilungen: 43
Herkunft:
 Beitrag No.11, eingetragen 2020-01-15 09:56    [Diesen Beitrag zitieren]

Huch ich habe dein Beitrag ganz verschlafen.

Ja das stimmt, $x = e$ liefert aber nach dem Quotientenkriterium "1", was damit bedeuten würde, dass meine Reihe divergiert.

Damit sind die beiden Randpunkte ausgeschlossen.

Liebe Grüße

Felix


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3196
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.10, eingetragen 2020-01-10 11:25    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo nochmals,

was du jetzt aber streng genommen noch tun solltest, ist das Verhalten an den Rändern, also für \(x=\pm e\) zu untersuchen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Felix2403
Aktiv
Dabei seit: 03.11.2019
Mitteilungen: 43
Herkunft:
 Beitrag No.9, eingetragen 2020-01-10 11:21    [Diesen Beitrag zitieren]

Alles klar, dankeschön für die ausführliche Hilfe !

Liebe Grüße

Felix


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3196
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.8, eingetragen 2020-01-10 11:11    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

das ist alles richtig so. Du musst dann auch meinen Tipp nicht weiterverfolgen. Er basierte auf der Vermutung, dass das Quotientenkriterium noch nicht zur Verfügung steht. Offensichtlich ist dem nicht so, also benutze Variante 2 von ochen aus Beitrag #2, die du korrekt zu ende geführt hast.

Man kann das Quotientenkriterium mit Hilfe der geometrischen Reihe herleiten, das war die Grundidee hinter meinen Tipp.


Gruß, Diophant


Felix2403
Aktiv
Dabei seit: 03.11.2019
Mitteilungen: 43
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-10 11:04    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke für die ausführliche Hinführung.

Ich habe jetzt mal versucht, den Konvergenzradius auf 3 verschiedene Möglichkeiten zu entwickeln.

Anfangs halte ich fest, dass $x_0 = 0$

1. Diophant's Tipp:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{e})^n$ ist eine geometrische Reihe.

Diese konvergiert nur für $|\frac{x}{e}| < 1$, also für $(-e < x < e)$

Wie ich nun darauf schließen kann, dass auch meine Reihe den gleichen Konvergenzradius hat ist mir noch unklar...

Deshalb mal die beiden anderen Methoden:

2. Quotientenkriterium für Potenzreihen:

$\lim\limits_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n} (x - x_{0})| = |x| \cdot \frac{1}{e} < 1$

Daraus folgt $|x| < e$, also das gleiche wie oben.

3. Formel von Euler

$r = \lim\limits_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}| = e$

Daraus folgt der Konvergenzradius $(x_0 - r, x_0 + r) = (-e, e)$









Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3196
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-09 11:01    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-01-09 10:32 - Felix2403 in Beitrag No. 4 schreibt:
Das war unsere erste Aufgabe zu Reihen, wir haben bisher weder Potenzreihen definiert, noch den Konvergenzradius.

Ok, dann war zumindest mein Tipp oben viel zu weit gesprungen, sozusagen.

2020-01-09 10:32 - Felix2403 in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich knüpfe jetzt mal an X3nion's Beitrag an.

Für $\lim\limits{n \to \infty}$ sollte der Term doch gegen $|x| \cdot e^{-1}$ gehen oder nicht ?

Wie schon gesagt wurde, ist dies richtig. Jetzt geht es aber darum, daraus etwas zu machen, also eine Erkenntnis zur Lösung der Aufgabe zu gewinnen.

Kennen solltest du auf jeden Fall die geometrische Reihe und ihr Konvergenzverhalten.

Dann mache dir klar, dass die Reihe

\[\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{e}\right)^n\]
ebenfalls eine geometrische Reihe ist. In welchem Bereich um \(x=0\) würde diese Reihe konvergieren?

Und jetzt versuche einmal zu begründen, weshalb dann deine Reihe ebenfalls im gleichen Bereich um \(x=0\) konvergent ist.

Die Aufgabe soll offensichtlich dazu motivieren, selbst auf das sog. Quotientenkriterium für Reihenkonvergenz zu kommen, welches man auch zur Berechung des Konvergenzradius von Potenzreihen verwenden kann, siehe dazu hier.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 877
Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
 Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-09 10:37    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo

ja, das ist richtig. Kannst du das begründen?

Gruß Caban


Felix2403
Aktiv
Dabei seit: 03.11.2019
Mitteilungen: 43
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-09 10:32    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke ihr drei schonmal für eure Hilfe.

Das war unsere erste Aufgabe zu Reihen, wir haben bisher weder Potenzreihen definiert, noch den Konvergenzradius.

Deswegen ging meine Idee in die komplett falsche Richtung.
In der Zwischenzeit habe ich mich mal selber darüber informiert.

Ich knüpfe jetzt mal an X3nion's Beitrag an.

Für $\lim\limits{n \to \infty}$ sollte der Term doch gegen $|x| \cdot e^{-1}$ gehen oder nicht ?

Liebe Grüße

Felix


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 605
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-08 13:36    [Diesen Beitrag zitieren]

Es geht auch leicht anders, und ich habe mal die Betragsstrich'chen hinzugefügt.

Mit $a_{n_{x}} := \frac{n!}{n^{n}} \cdot x^{n}$

ist

$\left|\frac{a_{(n+1)_{x}}}{a_{n_{x}}}\right| = \left|\frac{x^{n+1}}{x^n}\cdot\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^{n}}}\right|=|x|\cdot\frac{\frac{n!}{(n+1)^{n}}}{\frac{n!}{n^{n}}} = |x|\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = |x| \cdot \left( \frac{1}{\frac{n+1}{n}}\right)^{n} = |x| \cdot \left( \frac{1}{1 + \frac{1}{n}}\right)^{n} $
$ = |x| \cdot \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}}$.

Was passiert nun mit $\left|\frac{a_{(n+1)_{x}}}{a_{n_{x}}}\right|$ für $n \to \infty$?

Viele Grüße,
X3nion


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2707
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-08 11:25    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

das kann so nicht stimmen, da das Intervall symmetrisch um $0$ liegen muss, da der Entwicklungspunkt der Potenzreihe in $0$ ist.

Betrachten wir den Quotienten des $n+1$-ten und des $n$-ten Summanden, erhalten wir
\[\frac{x^{n+1}}{x^n}\cdot\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^{n}}}=x\cdot\frac{\frac{n!}{(n+1)^{n}}}{\frac{n!}{n^{n}}}=x\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=x\cdot\left(\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}\right)^n=x\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n.\]
Hilft dir das?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Folgen und Reihen' in Forum 'Folgen und Reihen' von ochen]


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3196
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-08 11:18    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

da bist du wohl ziemlich auf der falschen Spur. Es ist eine Potenzreihe, die um den Entwicklungspunkt \(x=0\) entwickelt ist. Also ist nichts weiter zu tun, als zunächsteinmal den Konvergenzradius zu ermitteln.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]
\(\endgroup\)

Felix2403
Aktiv
Dabei seit: 03.11.2019
Mitteilungen: 43
Herkunft:
 Themenstart: 2020-01-08 11:12    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo liebe Leute,

ich hätte mal wieder zu einer Aufgabe eine Frage:

Bestimmen sie alle $x \in \mathbb{R}$, für welche die Summe $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}x^n$ konvergiert.

Meine Vermutung durch Herumprobieren und Überlegen: Die Reihe konvergiert für $-1 \leq x \leq e$.

Ich habe angefangen, die Konvergenz bei einzelnen Werten zu überprüfen, bis mir aufgefallen ist, dass ich doch einfach nur die Konvergenz bei $x = e$ nachweisen könnte und daraus direkt die Konvergenz für $-1 \leq x < e$ folgt, da die Reihe mit $x = e$ ja eine konvergente Majorante für alle anderen Werte ist.

Zuallererst: Ist dieser Gedanke richtig ?

Also habe ich halt mal angefangen zu versuchen die Konvergenz für $x = e$ mit dem Quotientenkriterium nachzuweisen.

Um etwas Mühe zu sparen schreibe ich nun nur hin, wo ich nach ein paar einfachen Umformungen gelandet bin.

$\lim\limits_{n \to \infty} e \cdot (\frac{n}{n+1})^n$

Ich vermute mal, dass $\lim\limits_{n \to \infty} (\frac{n}{n+1})^n = e^{-1}$. Dies habe ich aber nicht bewiesen. (*)

Das einzige was wir wissen ist, dass $\lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$

Aber selbst wenn ich (*) wüsste stände da:

$\lim\limits_{n \to \infty} e \cdot e^{-1}$ = 1, was aber nicht strikt kleiner als 1 ist und damit nicht das Quotientenkriterium erfüllt.

Ich hoffe meine beiden Probleme sind sichtbar geworden:

1. Ist mein Gedanke mit der konvergenten Majorante für $x = e$ überhaupt richtig ?

2. Wie weise ich die Konvergenz für $e$ nach bzw. ist meine Annahme falsch und konvergiert die Reihe nur für $x<e$ und wie würde ich das beweisen ?

Liebe Grüße

Felix














 
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