Die Mathe-Redaktion - 10.04.2020 22:30 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps für den MP

Werbung

Bücher zu Naturwissenschaft und Technik bei amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 474 Gäste und 25 Mitglieder online

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 

Antworte auf:  Produkt zweier Topologie erzeugt durch Mengen der Form { U \times V : U \in \tau_1, V \in \tau_2 } von LisaB
Forum:  Topologie, moderiert von: Gockel Dune

[Zur Forum-Gliederung] [Wie man Fragen beantwortet]

  Alle registrierten Mitglieder können Mitteilungen schreiben.
Benutzername:
Passwort:
Nachricht-Icon:                   
                  
              
Nachricht:


 
 


Eingabehilfen (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-Bereich] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-Bereich][show-Bereich] [Quelltext [num.]][?]
 Zeige Vorschau      Schreibe im fedgeoFormeleditor oder mit Latex.

Smilies für Deine Nachricht:
😃 😄 😁 🙂 🙃 😉 🤗 🤫 🤔 🙄 😴 🤒 😎 😮 😲 😂
🙁 😖 😒 😐 😡 👌 👍 👎 🤢 🤧 🥵 🥶 😵 🤯 😛 😷
Optionen: Deaktiviere HTML in dieser Nachricht
Deaktiviere MATHML in dieser Nachricht. Wenn Dein Text $-Zeichen enthält, die nicht LaTeX-Formeln begrenzen.
Deaktiviere Smilies in dieser Nachricht
Zeige die Signatur (Kann in 'Mein Profil' editiert werden.)
    [Abbrechen]
 
Beachte bitte die [Forumregeln]


Themenübersicht
qzwru
Senior
Dabei seit: 24.09.2013
Mitteilungen: 334
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-16 19:50    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo LisaB,

sei $\mathcal T$ die von $\{ U \times V :\, U \in \tau_1, V \in \tau_2  \}$ erzeugte Topologie.

2020-01-16 19:29 - LisaB im Themenstart schreibt:
Außerdem sind die Projektionen stetig, denn \( p_1^{-1}(U) = U \times Y \in \tau_1 \times \tau_2 \) und \( p_2^{-1}(V) = X \times V \in \tau_1 \times \tau_2 \).

Du meinst sicher, dass $p_1^{-1}(U) = U \times Y \in \mathcal T$, $p_2^{-1}(V) = X \times V \in \mathcal T$  die Projektionen also stetig bzgl. $\mathcal T$ sind. Daraus folgt $\tau_1 \times \tau_2 \subseteq \mathcal T$.

Für $\mathcal T \subseteq \tau_1 \times \tau_2$ reicht es, dass $U\times V = p_1^{-1}(U) \cap p_2^{-1}(V) \in \tau_1 \times \tau_2$ für alle $U \in \tau_1$, $V\in \tau_2$ (denn $\mathcal T$ ist per Definition die kleinste Topologie, die all diese Mengen enthält). Auf die Definition von $\mathcal W$ würde ich verzichten.


LisaB
Aktiv
Dabei seit: 11.01.2018
Mitteilungen: 43
Herkunft:
 Themenstart: 2020-01-16 19:29    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen,

Wir haben die Produkttopologie wie folgt definiert:
Die Produkttopologie \( \tau_1 \times \tau_2 \) ist die kleinste Topologie auf \( X \times Y \),
sodass die Projektionsabbildungen \( p_1(x,y) = x \) und \( p_2(x,y) = y \) stetig sind.

Meine Frage ist nun, dass ich versuche zu zeigen, dass \( \tau_1 \times \tau_2 \) durch \( \{ U \times V : U \in \tau_1, V \in \tau_2  \} \) erzeugt wird.

Ich sehe sofort, dass dies äquivalent dazu ist, dass \( \tau_1 \times \tau_2 \) durch \( \mathcal{W} := \{ U \times Y : U \in \tau_2 \} \cup \{ X \times V : V \in \tau_2 \} \) erzeugt wird.
Außerdem sind die Projektionen stetig, denn \( p_1^{-1}(U) = U \times Y \in \tau_1 \times \tau_2 \) und \( p_2^{-1}(V) = X \times V \in \tau_1 \times \tau_2 \).
Es folgt weiter, dass \( \mathcal{W} = p_1^{-1}(\tau_1) \cup p_2^{-1}(\tau_2) \).
Ist mein Ansatz soweit in Ordnung ?

Vielen Dank!


 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP, that seems no longer to be maintained or supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]