Antworte auf:  Quantenrechner simulieren von Goswin
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Goswin
Senior
Dabei seit: 18.09.2008
Mitteilungen: 1448
Herkunft: Chile, Ulm
 Beitrag No.15, eingetragen 2020-02-25 00:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich hoffe inzwischen verstanden zu haben, wie der Zustand eines Qubits dargestellt werden kann (\(|\psi\rangle\in\mathbb{C}^2\) oder Dichtematrix \(|\psi\rangle\langle\psi|\) oder Blochkugel), wobei man zwischen "Basiszuständen" (nur \(|0\rangle,|1\rangle\)), "reinen Zuständen" (auf der Oberflächer der Blochkugel) und "gemischten Zuständen" (im Inneren der Blochkugel) zu unterscheiden hat.

Als ersten Schritt zur Lösung einer Aufgabe müssen also die Daten in die Qubits eingespeist werden, was dasselbe wäre wie die Qubits mit Hilfe einer "Messung" in einen gewünschten Zustand zu versetzen. Sind das immer Basiszustände? Sind das manchmal auch überlagerte reine Zustände (reine Zustände die keine Basiszustände sind)? Oder sind das sogar manchmal gemischte Zustände? (entstehen doch nur bei Verschränkungen während der Rechnung, oder?)

Als letzten Schritt zur Lösung (die Berechnung selber überspringe ich vorqerst) muss das berechnete Ergebnis aus den Qubits ausgelesen werden, wofür wir für jedes Qubit eine "Observable" bräuchten, die ich mir derzeit als unitäre komplexe 2x2-Matrix vorstelle. Anscheinend entspricht das einer Achse durch die Blochkugel. Aber welche der unqendlich vielen Observablen soll ich für die Ergebnismessung benutzen? Oder ist das auch Teil des jeweiligen Algorithmus?


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1087
Herkunft:
 Beitrag No.14, eingetragen 2020-02-19 01:05    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-02-18 18:29 - Goswin in Beitrag No. 13 schreibt:
Da ... aber anderseits diese Quelle keinen schwachsinnigen Eindruck macht, versuche ich mir eine geeignete Definition einfallen zu lassen.

Von diesem Versuch würde ich abraten. (Denn er ist meiner Meinung nach genauso erfolgsversprechend wie der Versuch, sich auf Basis von "Bob der Baumeister" handwerklich fortzubilden.)

2020-02-18 18:29 - Goswin in Beitrag No. 13 schreibt:
In Wikipedia:Qubit wird die Blochkugel anhand von
\[
\left[\matrix{\sin(\theta/2) \\ \cos(\theta/2)\,e^{i(\phi/2)}}\right]
\] beschrieben. Aber bei einer Phase von  \(0\le\phi<2\pi\)  beschreibt so eine Parametrisierung doch nur die Hälfte der Blochkugel!

Du hast die Formel falsch abgeschrieben. In der Wikipedia steht$$ \left|\psi\right\rangle = \sin(\theta/2)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi/2}\left|0\right\rangle + \cos(\theta/2)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi/2}\left|1\right\rangle
$$und das hattest du in einem früheren Beitrag schon mal korrekt in deine Schreibweise übersetzt:

2020-02-10 23:33 - Goswin in Beitrag No. 7 schreibt:
\[
\left[\matrix{a_1 \\ a_2}\right] =
\left[\matrix{
   \sin({\theta\over2})\, e^{{\scriptscriptstyle-}{\phi\over2}i} \\
   \cos({\theta\over2})\, e^{{\phi\over2}i}
   }\right]
\]

Der durch diese Formel definierte Vektor durchläuft genau einmal ein Vertretersystem der normierten Vektoren $\in\mathbb C^2$, die sich nur durch einen Phasenfaktor unterscheiden, wenn der durch die Winkel $\theta$ und $\phi$ parametrisierte Punkt genau einmal die Oberfläche der Bloch-Kugel durchläuft.


Goswin
Senior
Dabei seit: 18.09.2008
Mitteilungen: 1448
Herkunft: Chile, Ulm
 Beitrag No.13, eingetragen 2020-02-18 18:29    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich entdecke soeben, dass es mindestens drei open-source Quanten-Simulatoren mit Python3 gibt, weshalb ich keinen Sinn mehr sehe, einen vierten hinzuprogrammieren. Was aber nicht bedeuten soll, dass ich es aufgebe, mir minimale Grundkenntnisse anzueignen.

(1)
Im Textbook von QISKit (Linear-Algebra-Prerrequisite) steht:
The surface of this [Bloch] sphere, along with the inner product between qubit state vectors, is a valid Hilbert space!
(Ausrufezeichen nicht von mir) Da sich einerseits diese Aussage unmöglich auf die üblichen Vektoroperationen beziehen kann, ja nicht einmal gesagt wird, über welchem Körper das ein Vektorraum sein soll, aber anderseits diese Quelle keinen schwachsinnigen Eindruck macht, versuche ich mir eine geeignete Definition einfallen zu lassen. Ist der dazugehörige Körper vielleicht $\mathbb{R}$ mit Operationen wie
\[
\left[\matrix{\sin\theta_1 \\ \cos\theta_1\,e^{i\phi_1}}\right] ~\oplus~\left[\matrix{\sin\theta_2 \\ \cos\theta_2\,e^{i\phi_2}}\right] ~=~
\left[\matrix{\sin(\theta_1\!+\!\theta_2) \\
   \cos(\theta_1\!+\!\theta_2)\,e^{i(\phi_1+\phi_2)}}\right]
\\[24pt]
r\,{\scriptstyle\circ}\left[\matrix{\sin\theta \\ \cos\theta\, e^{i\phi}}\right] ~=~
\left[\matrix{\sin(r\theta) \\ \cos(r\theta)\,e^{i r\phi}}\right]
\] oder sonst etwas?

(2)
In Wikipedia:Qubit wird die Blochkugel anhand von
\[
\left[\matrix{\sin(\theta/2) \\ \cos(\theta/2)\,e^{i(\phi/2)}}\right]
\] beschrieben.
(falsch, siehe Beitrag No. 14). Aber bei einer Phase von  \(0\le\phi<2\pi\)  beschreibt so eine Parametrisierung doch nur die Hälfte der Blochkugel! Werden hier Phasen von  \(0\le\phi<4\pi\)  betrachtet oder ist das ganze nur ein Tippfehler?

Nachtrag: Richtig phasen-normalisiert hätte es in (2) heißen müssen:
\[{\rm Bloch}\Big(\!
\left[\matrix{\sin({\theta\over2})\,e^{-i{\phi\over2}} \\
   \cos({\theta\over2})\,e^{i{\phi\over2}}}\right]
 \!\Big)~=~{\rm Bloch}\Big(\!
\left[\matrix{\sin({\theta\over2})\,e^{-i{\phi\over2}} \\
   \cos({\theta\over2})\,e^{i{\phi\over2}}}\right] e^{i{\phi\over2}}
\!\Big)~=~
\left[\matrix{\sin({\theta\over2}) \\ \cos({\theta\over2})\,e^{i\phi}}\right]
\]


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1087
Herkunft:
 Beitrag No.12, eingetragen 2020-02-15 11:18    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-02-15 09:25 - Goswin in Beitrag No. 11 schreibt:
Ich schlage vor, in diesem Strang das Wort "System" nur für Ensembles von mehreren Qubits zu benutzen

Es ist immer problematisch, einen Begriff anders zu benutzen, als es üblich ist, und üblich ist es, auch ein einzelnes Qubit als System zu bezeichnen.

2020-02-15 09:25 - Goswin in Beitrag No. 11 schreibt:
(1) Ist der Ausdruck "gemischter Zustand" überhaupt korrekt, oder müsste man eigentlich nur "Zustandsgemisch" sagen

Der Begriff ist korrekt, denn auch ein gemischter Zustand ist ein Zustand.

2020-02-15 09:25 - Goswin in Beitrag No. 11 schreibt:
(2) Kann ein einzelnes Qubit ein Zustandsgemisch $\sum_i p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|$ haben

Ja, sämtliche Punkte im inneren der Blochkugel sind doch solche gemischten Zustände.

2020-02-15 09:25 - Goswin in Beitrag No. 11 schreibt:
(3) Was wäre ein Beispiel für eine Observable eines Qubits? Kann ein Qubit denn mehrere Observable haben??

Ja, jede hermitesche $2\times2$-Matrix ist eine Observable, und davon gibt es viele.

2020-02-15 09:25 - Goswin in Beitrag No. 11 schreibt:
(4) Die mathematische Definition eines Zustands verlangt anscheinend eine Involution auf dem Algebra $\mathcal{A}$ der Observablen. Was wäre diese Involution?

Die Abbildung auf den adjungierten Operator.

2020-02-15 09:25 - Goswin in Beitrag No. 11 schreibt:
(5) Welche besondere Eigenschaften muss ein Observablenoperator haben? Selbstadjungiert?

Meist betrachtet man selbstadjungierte Operatoren, man kann aber auch normale Operatoren als Observable mit Werten in $\mathbb C$ betrachten.

2020-02-15 09:25 - Goswin in Beitrag No. 11 schreibt:
so dass alle "nichtreinen" Zustände konvexe Kombinationen der reinen Zustände sind.

Ja, schau dir in dem in Beitrag Nr. 10 verlinkten Wikipedia-Artikel im Abschnitt "Reine Zustände" den Verweis auf den Satz von Krein-Milman an.


Goswin
Senior
Dabei seit: 18.09.2008
Mitteilungen: 1448
Herkunft: Chile, Ulm
 Beitrag No.11, eingetragen 2020-02-15 09:25    [Diesen Beitrag zitieren]

Ja, dann ist wohl mein erstes Rechenmodell kaputt und es bleibt nur noch ein Quantenhaufen übrig. 😁

2020-02-13 00:59 - zippy in Beitrag No. 10 schreibt:
Du solltest drei Begriffe unterscheiden: Messung, Observable und Zustand. Deren Zusammenhang ist: Die Messung einer Oberservablen an einem System, das sich in einem bestimmten Zustand befindet, liefert einen Messwert. (Diese Formulierung gilt übrigens nicht nur für die Quantenmechanik.)

Ich schlage vor, in diesem Strang das Wort "System" nur für Ensembles von mehreren Qubits zu benutzen; für ein einzelnes Qubit genügt ja wohl "Qubit". Ich hatte anscheinend überlagerte Zustände und gemischte Zustände durcheinandergeworfen. Aber

(1) Ist der Ausdruck "gemischter Zustand" überhaupt korrekt, oder müsste man eigentlich nur "Zustandsgemisch" sagen, und
(2) Kann ein einzelnes Qubit ein Zustandsgemisch $\sum_i p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|$ haben, oder braucht man dazu ein System mehrerer Qubits?
(3) Was wäre ein Beispiel für eine Observable eines Qubits? Kann ein Qubit denn mehrere Observable haben??

2020-02-13 00:59 - zippy in Beitrag No. 10 schreibt:
In der Quantenmechanik sind Observable Operatoren, und Zustände sind lineare Funktionale auf der Algebra der Operatoren mit bestimmten Zusatzeigenschaften (siehe etwa hier). Man kann sich nun überlegen, dass sich diese Funktionale immer in der Form $A\mapsto\operatorname{tr}(A\rho)$ mit einem eindeutig definierten Dichteoperator $\rho$ schreiben lassen. Aus diesem Grunde bezeichnet man nicht nur das von $\rho$ erzeugte Funktional, sondern $\rho$ selbst als Zustand.

Die Zustände bilden eine konvexe Menge, und die Extremalpunkte dieser Menge bezeichnet man als reine Zustände.

Die Beziehung zwischen Dichteoperator $|\psi_i\rangle\langle\psi_i|$ eines Zustands und Zustandsvektor $|\psi\rangle$ desselben dürfte mir inzwischen  klargeworden sein. Aber Observable bleiben geheimnisvoll:

(4) Die mathematische Definition eines Zustands verlangt anscheinend eine Involution auf dem Algebra $\mathcal{A}$ der Observablen. Was wäre diese Involution?
(5) Welche besondere Eigenschaften muss ein Observablenoperator haben? Selbstadjungiert? Darf er beliebig sein?

Ich gehe jetzt davon aus, dass die Zustandsmenge nicht nur konvex, sondern auch beschränkt ist, so dass alle "nichtreinen" Zustände konvexe Kombinationen der reinen Zustände sind.


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1087
Herkunft:
 Beitrag No.10, eingetragen 2020-02-13 00:59    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-02-13 00:14 - Goswin in Beitrag No. 9 schreibt:
@zippy:
Ich gehe davon aus, dass du das obige gemeint hast, d.h. $\rho$ ist die Abbildung und nicht der abgebildete "reine Zustand".

Nein, so habe ich das nicht gemeint, sondern so, wie ich es geschrieben hatte: $\rho$ ist der als Bild der Abbildung auftretende Zustand.

2020-02-13 00:14 - Goswin in Beitrag No. 9 schreibt:
Representiert die Menge der "normierten Vektoren" (also die normierten Vektoren in $\mathbb{C}^2$) alle möglichen Zustände oder nur reine Zustände?

Nur die reinen.

2020-02-13 00:14 - Goswin in Beitrag No. 9 schreibt:
Ich war bisher davon ausgegangen, dass sowohl reine als auch gemischte Zustände durch normierte Vektoren vertreten sind;

Das ist nicht der Fall.

2020-02-13 00:14 - Goswin in Beitrag No. 9 schreibt:
Ich versuche, Zustände und Messungen von Zuständen streng auseinanderzuhalten

Du solltest drei Begriffe unterscheiden: Messung, Observable und Zustand. Deren Zusammenhang ist: Die Messung einer Oberservablen an einem System, das sich in einem bestimmten Zustand befindet, liefert einen Messwert. (Diese Formulierung gilt übrigens nicht nur für die Quantenmechanik.)

In der Quantenmechanik sind Observable Operatoren, und Zustände sind lineare Funktionale auf der Algebra der Operatoren mit bestimmten Zusatzeigenschaften (siehe etwa hier). Man kann sich nun überlegen, dass sich diese Funktionale immer in der Form $A\mapsto\operatorname{tr}(A\rho)$ mit einem eindeutig definierten Dichteoperator $\rho$ schreiben lassen. Aus diesem Grunde bezeichnet man nicht nur das von $\rho$ erzeugte Funktional, sondern $\rho$ selbst als Zustand.

Die Zustände bilden eine konvexe Menge, und die Extremalpunkte dieser Menge bezeichnet man als reine Zustände.

Man kann sich nun überlegen, dass ein Dichteoperator genau dann ein reiner Zustand ist, wenn er die Form $\rho=|a\rangle\mkern -2mu\langle a|$ mit einem normierten Vektor $|a\rangle$ hat. Und die hier ins Spiel kommende Abbildung $|a\rangle\mapsto|a\rangle\mkern -2mu\langle a|$ von einem normierten Vektor auf einen Zustand hat die Eigenschaft, dass das Urbild eines reinen Zustands eine eindimensionale Menge normierter Vektoren ist (nämlich all der Vektoren, die sich nur um einen Phasenfaktor unterscheiden).


Goswin
Senior
Dabei seit: 18.09.2008
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 Beitrag No.9, eingetragen 2020-02-13 00:14    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-02-11 00:09 - zippy in Beitrag No. 8 schreibt:
Die Abbildung  [ $\rho=|a\rangle\mkern-2mu\langle a|$ ]  von dem normierten Vektor $|a\rangle$ auf den reinen Zustand [...] ist nicht injektiv, da zwei Vektoren, die sich nur um einen Phasenfaktor unterscheiden, denselben Zustand liefern.

@zippy:
Ich habe es bis jetzt leider noch nicht fertiggebracht, deinen letzten Beitrag zu verstehen. Ich war davon ausgegangen, dass du das obige gemeint hast, d.h. $\rho$ ist die Abbildung und nicht der abgebildete "reine Zustand". Aber was ist dann der Unterschied zwischen $|a\rangle$ und $\rho(|a\rangle) = |a\rangle\mkern-2mu\langle a|a\rangle = |a\rangle\!\cdot\!1$ ? Die Identität kann doch nur injektiv sein! Möchtest du vielleicht den Zustand $|a\rangle$ lieber durch die Matrix $|a\rangle\mkern-2mu\langle a|$ representieren (was einem Fachunkundigen ziemlich schräg vorkommt)?

Representiert die Menge der "normierten Vektoren" (also die normierten Vektoren in $\mathbb{C}^2$) alle möglichen Zustände oder nur reine Zustände? Ich war bisher davon ausgegangen, dass sowohl reine als auch gemischte Zustände durch normierte Vektoren vertreten sind; nicht normierte Vektoren seien völlig überflüssig, für nichts zu gebrauchen, und durchgängig zu ignorieren. Aber dann wäre die Auslegung von $\rho$ als Abbildung ebenfalls verwirrend, da eine Abbildung $\rho$ (auch bei Nichtinjektivität), auf einen Teil der normierten Vektoren angewandt, gemischte und nicht nur reine "Zustände" liefern müsste.

Ich versuche, Zustände und Messungen von Zuständen streng auseinanderzuhalten, wobei ich bisher dachte, dass die Punkte (auf und in) der Blochkugel Zustände und nicht deren Messungen (hoffentlich eindeutig) representieren.


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1087
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2020-02-11 00:09    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-02-10 23:33 - Goswin in Beitrag No. 7 schreibt:
was bedeuten würde, dass \(|a\rangle\) außer der Betragsnormierung noch irgendeine weitere Bedingung erfüllen muss und keineswegs beliebig ist.

Der Vektor muss keine weitere Bedingung erfüllen, aber die Abbildung von dem normierten Vektor $|a\rangle$ auf den reinen Zustand $\rho=|a\rangle\mkern -2mu\langle a|$ ist nicht injektiv, da zwei Vektoren, die sich nur um einen Phasenfaktor unterscheiden, denselben Zustand liefern.

Um die (reellen) Dimensionen mal abzuzählen:
* Beliebiger Vektor $\in\mathbb C^2$: 4 Dimensionen
* Normierter Vektor $\in\mathbb C^2$: 3 Dimensionen, da die Normierungsbedingung eine Dimension frisst.
* Reiner Zustand: 2 Dimensionen, da die Abbildung normierter Vektor $\to$ Zustand eindimensionale Mengen auf Punkte abbildet. Diese 2-dimensionale Menge entspricht der Oberfläche der Bloch-Kugel.
* Beliebiger Zustand: 3 Dimensionen, da diese Zustände die konvexe Hülle der reinen Zustände bilden.


Goswin
Senior
Dabei seit: 18.09.2008
Mitteilungen: 1448
Herkunft: Chile, Ulm
 Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-10 23:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich versuche gerade, die Darstellung eines Qubit-Zustands auf der Bloch-Kugel zu verstehen. Leider ist Wikipedia anscheinend (wieder einmal) außerstande, sich klar auszudrücken.

Einen Zustand \(|a\rangle={\scriptstyle\left[\matrix{a_1\\a_2}\right]}\in\mathbb{C}^2\) geometrisch darzustellen ginge eigentlich nur in \(\mathbb{R}^4\), aber wenn die Bedingung \(\langle a|a\rangle=1\) erfüllt sein muss, würde das wohl auch in \(K\subseteq\mathbb{R}^3\) gehen. (Anscheinend gilt all das nur für die reinen Zustände)

Die Koordinaten der Punkte \(p\in\mathbb{R}^3\) in der Blochkugel werden anhand vom Betrag \(r=|p|\), vom Polarwinkel \(\theta\) und vom Azimutwinkel \(\phi\) beschrieben. In welcher Beziehung stehen diese Winkel zu den Phasenwinkeln von \(a_1 = |a_1|\,e^{\alpha_1\,i}\) und \(a_2 = |a_2|\,e^{\alpha_2\,i}\) ?   Genauer gesagt, was wären die Umrechnungsformeln \(\theta(a_1,a_2),~\phi(a_1,a_2)\) ?

Wenn ich von der Wikipedia-Formel
\[
\left[\matrix{a_1 \\ a_2}\right] =
\left[\matrix{
   \sin({\theta\over2})\, e^{{\scriptscriptstyle-}{\phi\over2}i} \\
   \cos({\theta\over2})\, e^{{\phi\over2}i}
   }\right]
\] ausgehe, dann komme ich unter anderem auf \(\alpha_2 = \phi/2 = -\alpha_1\), was bedeuten würde, dass \(|a\rangle\) außer der Betragsnormierung noch irgendeine weitere Bedingung erfüllen muss und keineswegs beliebig ist. Was verschweigt der Artikel?


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1087
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-22 18:38    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-01-22 15:24 - Goswin in Beitrag No. 4 schreibt:
\[
|a\rangle\langle b| = \left[ \matrix{
a_1 \bar b_1 & a_1 \bar b_2 \\
a_2 \bar b_1 & a_2 \bar b_2 }\right]
~?\]

Das ist die richtige Variante, denn $|a\rangle\mkern -2mu \langle b|$ ist ja der durch$$ |x\rangle \mapsto |a\rangle \cdot \langle b|x\rangle
$$ definierte Operator, und das liest sich in Komponenten so:$$ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} \mapsto
\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \cdot
\Bigl\{\bar b_1\,x_1+\bar b_2\,x_2\Bigr\} =
\begin{pmatrix}a_1\,\bar b_1&a_1\,\bar b_2\\
               a_2\,\bar b_1&a_2\,\bar b_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$$


piquer
Senior
Dabei seit: 01.06.2013
Mitteilungen: 418
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-22 18:25    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Goswin,

Microsoft hat vor einiger Zeit eine Programmiersprache vorgestellt, mit der sich Quantencomputer simulieren lassen: Q#. Syntaktisch ist sie an C# angelehnt. Die offizielle Webseite enthält auch eine Einführung in Quantencomputing.

Viele Grüße
Torsten


Goswin
Senior
Dabei seit: 18.09.2008
Mitteilungen: 1448
Herkunft: Chile, Ulm
 Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-22 15:24    [Diesen Beitrag zitieren]

Wie ist  \(|a\rangle\langle b|\)  mit  \(a,b\in\mathbb{C}^2\)  koordinatenweise darzustellen, etwa so,
\[
|a\rangle\langle b| = \left[ \matrix{
a_1 b_1 & a_1 b_2 \\
a_2 b_1 & a_2 b_2 }\right]
\] oder vielleicht (hoffentlich) so,
\[
|a\rangle\langle b| = \left[ \matrix{
a_1 \bar b_1 & a_1 \bar b_2 \\
a_2 \bar b_1 & a_2 \bar b_2 }\right]
~?\]
Falls die erste Interpretation die richtige wäre, dann wäre dummerweise mein Beweis von
\[
(\,|a\rangle\langle b| \otimes |c\rangle\langle d|\,)~
|u v\rangle
~=~
|a c\rangle\, \langle b|u\rangle\, \langle d|v\rangle
\] falsch, da ich ja nur
\[
\big(\!\left[ \matrix{
a_1 b_1 & a_1 b_2 \\
a_2 b_1 & a_2 b_2 }\right]
\otimes
\left[ \matrix{
c_1 d_1 & c_1 d_2 \\
c_2 d_1 & c_2 d_2 }\right]
\!\big)
\left[ \matrix{
u_1 v_1 \\ u_1 v_2 \\ u_2 v_1 \\ u_2 v_2
}\right]
~=~
\left[ \matrix{
a_1 b_1 \\ a_1 b_2 \\ a_2 b_1 \\ a_2 b_2
}\right]
(b_1 u_1 + b_2 u_2)~ (d_1 v_1 + d_2 v_2)
\] bewiesen hätte.



zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1087
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-19 22:37    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-01-19 21:42 - Goswin in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich konnte nicht herausfinden wie die Operatormatrix systematisch erzeugt wird.

Ich schreibe mal $|b_1\rangle\otimes|b_2\rangle\otimes\cdots\otimes|b_n\rangle=:|b_1b_2\ldots b_n\rangle$. Wenn wir jetzt irgendeine auf $n$ Bits definierte bijektive Funktion $f$ haben, entspricht dieser Funktion der unitäre Operator$$ U(f) = \sum_{b_1,b_2,\ldots,b_n}|f(b_1b_2\ldots b_n)\rangle
\mkern -2mu \langle b_1b_2\ldots b_n| \;.$$Die Bijektivität von $f$ stellt hierbei sicher, dass $U(f)$ unitär ist.

2020-01-19 21:42 - Goswin in Beitrag No. 2 schreibt:
Bei welcher Art von Rechnung wird es schwieriger?

Du kannst z.B. "zwei Additionen gleichzeitig" ausführen, sagen wir $1+1=1$ und $2+1=3$. Dann ist der zugehörige Anfangszustand$$ \frac1{\sqrt2}\bigl(
|0\rangle\otimes|1\rangle\otimes|0\rangle\otimes|1\rangle +
|1\rangle\otimes|0\rangle\otimes|0\rangle\otimes|1\rangle
\bigr)$$verschränkt. Wenn du sinnvolle Beispiele sehen willst, musst du dir, z.B. hier, echte Quanten-Algorithmen anschauen.


Goswin
Senior
Dabei seit: 18.09.2008
Mitteilungen: 1448
Herkunft: Chile, Ulm
 Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-19 21:42    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zippy,

vielen Dank für deine rasche Antwort (meine ist etwas langsamer, weil ich das alles erst verstehen musste). Nachdem ich (hoffentlich fehlerfrei) beweisen konnte, dass
\[
\big[\,|a\rangle\langle b| \otimes |c\rangle\langle d|\,\big]\, (|u\rangle|v\rangle) ~=~ (|a\rangle|c\rangle)\, \langle b|u\rangle\, \langle d|v\rangle
\] ist, war die Auswertung der neuen Zustände viel leichter. Einige Fragen bleiben dennoch:

(1)
Ich konnte nicht herausfinden wie die Operatormatrix systematisch erzeugt wird. Wenn ich zum Beispiel mit Zahlen mit 3 Binärziffern addieren möchte, oder wenn ich den ersten Operanden statt den zweiten überschreiben möchte, oder wenn ich gar Zahlen multiplizieren möchte, dann kann ich derzeit nur raten, wie eine Matrix dafür auszusehen hat. Wobei grundsätzlich die Frage offen bleibt, ob so eine Matrix immer existiert (ich glaub das mal einfach).

(2)
Es ist die Rede von "verschränkten Zuständen" von "gemischten Zuständen" und von "zerstörbaren Zuständen"; bei einer so einfachen Rechnung wie die meinige kommen anscheinend nur unverschränkte reine Eigenzustände vor; vielleicht war das alles nicht besonders repräsentativ. Bei welcher Art von Rechnung wird es schwieriger?


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1087
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-17 23:29    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-01-17 21:12 - Goswin im Themenstart schreibt:
Als ersten Schritt hätte ich gerne genau gewusst, in welchen Zustand man die Qubits beim Einspeichern versetzt

In den, den du oben auch angegeben hast: $|1\rangle\otimes|0\rangle\otimes|0\rangle\otimes|1\rangle$.

2020-01-17 21:12 - Goswin im Themenstart schreibt:
Was die Addition selber betrifft, kann ich gar nichts sagen.

Du wendest auf den Zustand aus $Q\otimes Q\otimes Q\otimes Q$ den unitären Operator$$ \begin{align*}
\def\x#1#2{|#1\rangle\mkern -2mu \langle#2|}\let\o=\otimes
\def\:#1#2+#3#4=#5#6:{\x#1#1\o\x#2#2\o\x#5#3\o\x#6#4}
A=&\:00+00=00: + \\[1.2ex]
  &\:01+00=01: + \\[1.2ex]
  &\:10+00=10: + \\[1.2ex]
  &\:11+00=11: + \\[1.2ex]
  &\:00+01=01: + \\[1.2ex]
  &\:01+01=10: + \\[1.2ex]
  &\:10+01=11: + \\[1.2ex]
  &\:11+01=00: + \\[1.2ex]
  &\:00+10=10: + \\[1.2ex]
  &\:01+10=11: + \\[1.2ex]
  &\:10+10=00: + \\[1.2ex]
  &\:11+10=01: + \\[1.2ex]
  &\:00+11=11: + \\[1.2ex]
  &\:01+11=00: + \\[1.2ex]
  &\:10+11=01: + \\[1.2ex]
  &\:11+11=10:
\end{align*}
$$an. Der nimmt die (von links gezählt) Qubits 1 und 2, addiert sie ohne Übertrag zu den Qubits 3 und 4 und überschreibt dann die Qubits 3 und 4 mit der Summe.

Für dein Beispiel ist $
A\,|1\rangle\otimes|0\rangle\otimes|0\rangle\otimes|1\rangle =
|1\rangle\otimes|0\rangle\otimes|1\rangle\otimes|1\rangle$.

Eine Messung, die zeigt, dass nach der Addition das Ergebnis 3 vorliegt, ist die Messung des Projektors $
\def\x#1#2{|#1\rangle\mkern -2mu \langle#2|}\let\o=\otimes
P=1\o1\o\x11\o\x11$ ($1$ bezeichnet die Identität auf $Q$).

--zippy


Goswin
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 Themenstart: 2020-01-17 21:12    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich würde gerne (mit Python) einen kleinen Quantenrechner simulieren, um richtig zu verstehen, wie so ein Rechner mathematisch (nicht hardwaremäßig) funktioniert. Ich erwarte mir davon auch didaktische Einsichten, indem ich Ausdrücke wie "Spin", "Kohärenz", und ähnliche tunlichst vermeide. Nach einer älteren Anfrage von mir stelle ich fest, dass die meisten populärwissenschaftlichen (meist Physik-orientierten) Erklärungen die Intuition der Leser anzusprechen versuchen, und bei Leuten wie mir damit völlig scheitern, weil sich Quantenrechner offenbar nicht intuitiv verhalten.


Ich gehe davon aus, dass ich mir ein Qubit als ein geordnetes Paar \(Q=(\,\mathbb{C}^2,\,\mathcal{B}\,)\) vorstellen kann, wobei \(\mathbb{C}^2\) der entsprechende Hilbertraum mit dem sesquilinearen Skalarprodukt ist und \(\mathcal{B}\in\mathbb{C}^2\times\mathbb{C}^2\) eine Basis desselben. Da ich mehrere Qubits brauchen werde, hoffe ich, dass diese Basis in allen Qubits dieselbe sein darf und ich dafür \(\mathcal{B}\!=\!({\scriptstyle\left[\matrix{1\\0}\right]}\!=\!|0\rangle,\,{\scriptstyle\left[\matrix{0\\1}\right]}=|1\rangle)\) nehmen kann (der Wikipedia-Artikel "Quantencomputer" ist da sehr allgemein). Jeder Qubit befände sich dann in einem sogenannten Zustand, den ich mir als Vektor \(|z\rangle={\scriptstyle\left[\matrix{z_1\\z_2}\right]}\in\mathbb{C}^2\)   mit der Vorgabe   \(\langle z|z\rangle = \bar{z}_0 z_0+\bar{z}_1 z_1 = 1\) vorstellen könnte.

Um die Addition \(2+1=3\) quantenrechnerisch zu simulieren, bräuchte ich einen sogenannten Qubitregister mit 2 Qubits um die Zahl 2 einzuspeichern, und 2 weiteren Qubits um die Zahl 1 einzuspeichern; diese 4 Qubits werden somit auf gewisse Zustände gebracht (keine Ahnung welche; etwa \({\scriptstyle\left[\matrix{0\\1}\right],\left[\matrix{1\\0}\right],\left[\matrix{1\\0}\right],\left[\matrix{0\\1}\right]}\) ?), und ab dann arbeite ich anscheinend auf dem erweiterten Vektorraum \(T_4^0(Q)=Q\otimes Q\otimes Q\otimes Q\). Der Gesamtzustand dieses Vektorraums müsste dann irgendwie manipuliert werden um die Zahlen zu addieren. Anschliessend soll der Zustand der ersten beiden Qubits gemessen werden; damit man über diese Messung auf ein Ergebnis 3 kommt, müssten die Zustände dieser beiden Qubits vermutlich   \(\bar{z}_1 z_1>1/2\)   (am besten \(\bar{z}_1 z_1\gg 1/2\)) erfüllen.

*schwitz*

Ob all das soeben Gesagte richtig ist, weiß ich nicht; falls nicht wäre ich dankbar für Korrekturen. Als ersten Schritt hätte ich gerne genau gewusst, in welchen Zustand man die Qubits beim Einspeichern versetzt. Im Internet habe ich keinerlei Information darüber gefunden, gesagt wird nur, wie man nach der Addition die Zustände "messen" kann. Was die Addition selber betrifft, kann ich gar nichts sagen. Kann jemand mir da weiterhelfen?


 
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