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Antworte auf:  Abschluss abgeschlossen (ohne Topologie) von Math_user
Forum:  Topologie, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Themenübersicht
StrgAltEntf
Senior
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Mitteilungen: 5644
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.10, eingetragen 2020-01-28 18:56    [Diesen Beitrag zitieren]

In eurer Schreibweise ist also
- a ein Häufungspunkt von A, wenn für alle \(\delta >0\) gilt, dass \(D \cap ((a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\}) \neq \emptyset \) und
- a ein Element von \(\overline A\), wenn für alle \(\delta >0\) gilt, dass \(D \cap (a-\delta,a+\delta) \neq \emptyset \)

2020-01-28 09:42 - Math_user in Beitrag No. 5 schreibt:
Sei nun also \(b=\lim_{n\to \infty } a_n\) wobei \((a_n) \subset \overline A\).
Da \(b=\lim_{n\to \infty } a_n \Leftrightarrow \forall \epsilon >0 \:\exists n_0 \in \mathbb{N}\) s. d. \(\forall n\geq n_0: |a_n-b|<\epsilon\).
Nun wollen wir herausbekommen \(\forall \epsilon >0 \:\exists a \in \ A: |a-b|<\epsilon\).

Anschaulich (und schwammig) läuft das wie folgt:
Du suchst Elemente aus A, die beliebig nahe an b herankommen. Die Folge \((a_n)\) besteht ja aus Folgegliedern, die beliebig nahe an b herankommen. Dummerweise müssen die Folgeglieder nicht in A liegen, denn sonst wärst du bereits fertig. Aber: Zu jedem Folgeglied \(a_n\) gibt es ein Element aus \(a_n^*\in A\), das beliebig nahe an das Folgeglied \(a_n\) herankommt. Die Folge \((a_n^*)\subset A\) läuft dann gegen b.

Das muss jetzt formal aufgeschrieben werden. Bekommst du das hin?


Math_user
Aktiv
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 Beitrag No.9, eingetragen 2020-01-28 13:29    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-01-28 13:07 - StrgAltEntf in Beitrag No. 8 schreibt:
Beide Definitionen sind identisch, nur ein wenig anders aufgeschrieben. Das solltest du dir unbedingt klar machen.

Dies werde ich aber kannst du mir bitte mit meinem Ansatz in Beitrag 5 weiterhelfen?


StrgAltEntf
Senior
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Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.8, eingetragen 2020-01-28 13:07    [Diesen Beitrag zitieren]

Beide Definitionen sind identisch, nur ein wenig anders aufgeschrieben. Das solltest du dir unbedingt klar machen.


Math_user
Aktiv
Dabei seit: 04.05.2019
Mitteilungen: 324
Herkunft: Deutschland
 Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-28 11:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Der Punkt a ist ein Häufungspunkt von D wenn für alle \(\delta >0\) gilt das \(D \cap ((a-\delta,a+\delta)\diagdown {a} \neq \varnothing \).


StrgAltEntf
Senior
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Mitteilungen: 5644
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 Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-28 10:57    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-01-28 09:42 - Math_user in Beitrag No. 5 schreibt:
Weshalb \(\overline A=\{x\in\IR\mid\forall\epsilon>0\exists a\in A:|x-a|<\epsilon\}\) gilt ist mir klar, wenn ich die Definition von P so hinnehme. (Verstehe sie zwar aber muss mich noch daran gewöhnen)

Du solltest das nicht "so hinnehmen". Wie wurden denn bei euch Häufungspunkte definiert?


Math_user
Aktiv
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 Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-28 09:42    [Diesen Beitrag zitieren]

Weshalb \(\overline A=\{x\in\IR\mid\forall\epsilon>0\exists a\in A:|x-a|<\epsilon\}\) gilt ist mir klar, wenn ich die Definition von P so hinnehme. (Verstehe sie zwar aber muss mich noch daran gewöhnen)

Sei nun also \(b:=lim_{n\to \infty } a_n\) wobei \((a_n) \subset \overline A\).
Da \(b:=lim_{n\to \infty } a_n \Leftrightarrow \forall \epsilon >0 \:\exists n_0 \in \mathbb{N} s.d. \forall n\geq n_0: |a_n-b|<\epsilon\)
Nun wollen wir herausbekommen \(\forall \epsilon >0 \:\exists a \in \ A: |a-b|<\epsilon\), jedoch sehe ich nicht, wie ich die erhalten soll.


Math_user
Aktiv
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 Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-28 09:07    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich versuche mal diese verschiedenen Mengen zu verstehen. Ich bin mir aber schon bei der ersten nicht sicher

2020-01-27 22:23 - StrgAltEntf in Beitrag No. 3 schreibt:
Es gilt ja \(P=\{x\in\IR\mid\forall\epsilon>0\exists a\in A\setminus\{x\}:|x-a|<\epsilon\}\).

Habe ich es richtig verstanden, dass z.B. wenn \(A := (0,1)\) ist dann ist \(P:=[0,1]\)?


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
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 Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-27 22:23    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-01-27 15:25 - Math_user in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich bezweifle jedoch, dass mein Beweis richtig ist wenn ich lediglich ändere: Sei \((a_n) \subset \overline A\)... Hast du mir noch einen Tipp?

Prinzipiell schon. Bloß ist der Beweis dann nicht mehr ganz so einfach. 😮

Es gilt ja \(P=\{x\in\IR\mid\forall\epsilon>0\exists a\in A\setminus\{x\}:|x-a|<\epsilon\}\).

Mache dir dann klar: \(\overline A=\{x\in\IR\mid\forall\epsilon>0\exists a\in A:|x-a|<\epsilon\}\).

Sei nun \(b=\lim a_n\) mit \(a_n\in\overline A\). Zeige \(b\in \overline A\).


Math_user
Aktiv
Dabei seit: 04.05.2019
Mitteilungen: 324
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 Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-27 15:25    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-01-27 15:18 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo Math_user,

du willst zeigen, dass \(\overline A\) abgeschlossen ist. Deshalb muss du beim Beweis mit einer Folge aus \(\overline A\) (und nicht aus A) starten.

Vielen Dank für deine Antwort. Ich bezweifle jedoch, dass mein Beweis richtig ist wenn ich lediglich ändere: Sei \((a_n) \subset \overline A\)... Hast du mir noch einen Tipp?


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5644
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-27 15:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Math_user,

du willst zeigen, dass \(\overline A\) abgeschlossen ist. Deshalb muss du beim Beweis mit einer Folge aus \(\overline A\) (und nicht aus A) starten.


Math_user
Aktiv
Dabei seit: 04.05.2019
Mitteilungen: 324
Herkunft: Deutschland
 Themenstart: 2020-01-27 15:00    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen

Ich bin bei folgender Aufgabe nicht sicher, ob mein Beweis stimmt.
Sei \(A  \subseteq \mathbb{R}\) eine nicht leere Teilmenge und \(P\) die Menge aller Häfungspunkte von A. Definiere \(\overline{A}:= A \bigcup  P\). Z.z. \(\overline{A}\) ist abgeschlossen.
(Achtung wir haben noch keine Kenntnisse der Topologie. Unsere Definition von abgeschlossen ist: Eine Menge \(A\) ist abgeschlossen wenn für alle Folge \((a_n)\subset A\) gilt: ist \(a_n\) konvergent so ist \(lim_{x \to \infty} \in A\))
Sei \((a_n)\subset A\) eine konvergierende Folge. Wir haben 2 Möglichkeiten, entweder ist \(lim_{x \to \infty} \in A\) oder \(lim_{x \to \infty} \in P\). Aber nach Konstruktion von \(\overline{A}\), folgt \(lim_{x \to \infty} \in \overline{A}\), was aber heisst das \(\overline{A}\) abgeschlossen ist.

Stimmt dieser "einfacher" Beweis oder hat mir jemand einen Tipp?

Vielen Dank und Gruss,
Math_user


 
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