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Antworte auf:  Definition von abgeschlossener Immersion von Saki17
Forum:  Algebraische Geometrie, moderiert von: Buri Gockel

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Erledigt J


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Themenübersicht
Saki17
Aktiv
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 642
Herkunft: Fernost
 Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-27 21:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke.


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-27 19:23    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-01-27 17:05 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
(mit Hilfe der Annahme an $f$)


Saki17
Aktiv
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 642
Herkunft: Fernost
 Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-27 19:06    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich habe früher einen Thread von MSE gesehen, dass der Isomorphismus in Beitrag #2 i.A. falsch soll: math.stackexchange.com/questions/1570276/stalks-and-direct-image , weshalb ich unsicher mit der Äquivalenz der Definitionen war.


Saki17
Aktiv
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 642
Herkunft: Fernost
 Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-27 19:01    [Diesen Beitrag zitieren]

Achso, gilt stets $(f_\ast O_X)_y\cong O_{X,x}$ (falls $f(x)\in Y$)?


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-27 17:05    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich gehe davon aus, dass in Def. 2 ein Epimorphismus von Garben gemeint ist. Das lässt sich "halmweise" testen. Die Halme lassen sich aber berechnen (mit Hilfe der Annahme an $f$). Für $f(x) \in Y$ hat man die Abbildung aus Def. 1, und für $y \in Y \setminus f(X)$ hat man $O_{Y,y} \to 0$, was trivialerweise surjektiv ist.


Saki17
Aktiv
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 642
Herkunft: Fernost
 Themenstart: 2020-01-27 15:59    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

ich möchte wissen, ob die folgenden Definitionen über abgeschlossene Immersionen (Abkürzung: abg. Imm.) äquivalent sind:

Sei $f: X\to Y$ ein Morphismus von Schemata, der den topologischen Raum $X$ homöomorph auf eine abg. Teilmenge von $Y$ abbildet. Nun

Def. 1. $f$ ist eine abg. Imm., falls die induzierte Abbildung auf Halme $f^\#_x: O_{Y,f(x)}\to O_{X,x}$ surjektiv ist für jedes $x\in X$. (z.B. in [Bosch, Prop. 7.3/14])

Def. 2. $f$ ist eine abg. Imm., falls der Morphismus zwischen den Garben $f^\#: O_Y\to f_\ast O_X$ surjektiv ist. (z.B. in [Görtz-Wedhorn, Def. 3.41], die Def. von lokal abg. Imm. ist aber ähnlich wie in meiner obigen Def. 1, s. Def. 3.43 loc. cit.)

Wenn ich mich nicht irre, könnte man die Surjektivität (das ist m.E. nach ein schlechtes Wort für den Begriff) von $f^\#$ doch nicht durch die von den $f^\#_x$ (für alle $x\in X$) prüfen, denn $O_Y$ und $O_X$ sind Garben auf verschiedenen Räumen... Übersehe ich etwas?


 
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