Die Mathe-Redaktion - 02.04.2020 02:47 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps für den MP

Werbung

Bücher zu Naturwissenschaft und Technik bei amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 367 Gäste und 4 Mitglieder online

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 

Antworte auf:  Ableitung einer Funktion mit konfluenter hypergeometrischer Funktion von JimboTU1040
Forum:  Funktionen, moderiert von: Curufin epsilonkugel

[Zur Forum-Gliederung] [Wie man Fragen beantwortet]

  Alle registrierten Mitglieder können Mitteilungen schreiben.
Benutzername:
Passwort:
Nachricht-Icon:                   
                  
              
Nachricht:


 

Erledigt J


Eingabehilfen (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-Bereich] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-Bereich][show-Bereich] [Quelltext [num.]][?]
 Zeige Vorschau      Schreibe im fedgeoFormeleditor oder mit Latex.

Smilies für Deine Nachricht:
😃 😄 😁 🙂 🙃 😉 🤗 🤫 🤔 🙄 😴 🤒 😎 😮 😲 😂
🙁 😖 😒 😐 😡 👌 👍 👎 🤢 🤧 🥵 🥶 😵 🤯 😛 😷
Optionen: Deaktiviere HTML in dieser Nachricht
Deaktiviere MATHML in dieser Nachricht. Wenn Dein Text $-Zeichen enthält, die nicht LaTeX-Formeln begrenzen.
Deaktiviere Smilies in dieser Nachricht
Zeige die Signatur (Kann in 'Mein Profil' editiert werden.)
    [Abbrechen]
 
Beachte bitte die [Forumregeln]


Themenübersicht
JimboTU1040
Junior
Dabei seit: 28.11.2014
Mitteilungen: 12
Herkunft:
 Beitrag No.13, eingetragen 2020-02-06 17:09    [Diesen Beitrag zitieren]

Du hast recht, willkürliche Annahmen macht man nicht.
Die zwei Formeln habe ich getestet => OK, also hats für diese gepasst.
Mehr habe ich auch nicht verlangt, gebraucht oder genutzt.

Ich hab es schon verstanden, dass das in Beitrag 7 nicht passt bzw der Versuch der Verallgemeinerung scheitert. Beitrag 9 sollte ja den Fehler finden.

Und da die Aufgabe mit b=1/2 gelöst ist und für mich abgeschlossen ist, vertage ich die Verallgemeinerung des Problems.


hyperG
Senior
Dabei seit: 03.02.2017
Mitteilungen: 923
Herkunft:
 Beitrag No.12, eingetragen 2020-02-05 21:32    [Diesen Beitrag zitieren]

Versuch, mit functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/HypergeometricU/17/01/01/0003/
HypergeometricU[a, b, z] == ((b + z)/(b - a)) HypergeometricU[a, b + 1, z] - (z/(b - a)) HypergeometricU[a, b + 2, z]
die falsche Formel aus Beitrag 7 zu korrigieren:
Mathe
U[a, b, z] == ((b + z)/(b - a)) U[a, b + 1, z] - (z/(b - a)) U[a, b + 2, z]
(z/(b - a)) U[a, b + 2, z] = ((b + z)/(b - a)) U[a, b + 1, z] - U[a, b, z]  |*(b - a)
z*U[a, b + 2, z] = (b + z) U[a, b + 1, z] - (b - a)*U[a, b, z] stimmt! z=h
h*U[a, b + 2, h] = (b + h) U[a, b + 1, h] - (b - a)*U[a, b , h] !!!!!
Probe:
(b + h) U[a, b + 1, h] - (b - a)*U[a, b , h]-h*U[a, b + 2, h],a=1/2,b=2.5,h=1/10 ergibt 0 OK
 
falsche Formel aus Beitrag 7 umgestellt:
h*U[a, b + 2, h] = (   1 ) U[a-1, b, h] - (b - 1)*U[a, b+1,h]
Probe:
U[a-1, b, h] - (b - 1)*U[a, b+1,h]-h*U[a, b + 2, h],a=1/2,b=2.5,h=1/10 ergibt -1087.82..
 
nur Spezialfall
U[a-1, b, h] - (b - 1)*U[a, b+1,h]-h*U[a, b + 2, h],a=1/2,b=1/2,h=1/10
ergibt 0, weil es zur Sonderformel
U(a - 1, 1/2, h) - (1/2 - 1) U(a, 1/2 + 1, h) - h U(a, 1/2 + 2, h)
wird, die bei jedem a und jedem h zu 0 wird.


hyperG
Senior
Dabei seit: 03.02.2017
Mitteilungen: 923
Herkunft:
 Beitrag No.11, eingetragen 2020-02-05 20:03    [Diesen Beitrag zitieren]

Du handelst also nach dem Grundsatz "Ich darf doch davon ausgehen, dass diese richtig sind." (Bücher sind heilig)

Das ist unwissenschaftlich! (ich könnte Dir zig Gegen-Beispiele nennen!)

Wissenschaft bedeutet: es reicht 1 Gegenbeispiel, um eine Aussage zu widerlegen!

zu "Hab 13.4.18 und 13.4.24 durch den Wolframalpha gejagt.
=> Die Formeln stimmen"

- 13.4.18 stimmt überein
- 13.4.24 stimmt überein, denn
d/dz(U(a, b, z)) = -a U(a + 1, b + 1, z) und
(1-b)U(a,b,z)- (1+a-b)U(a,b-1,z)+z*a U(a + 1, b + 1, z)=0 stimmt


(Dies hier musste ich löschen, da ich fälschlicherweise das z mit abgeleitet hatte...)
 
Beitrag 7 bleibt falsch! Das hat eigentlich nichts mit dem Beitrag 9 zu tun.
Die Ausgangs-Aufgabe wurde absichtlich so gestellt, dass der 2. Parameter konstant 1/2 ist!



Zusammenfassung: Du hattest doch mit Spezialfall 1/2 alles richtig.
Wozu noch zig U-Formeln mit 2. U-Parameter (Variable b) auf Richtigkeit überprüfen, wo doch alles verlangte stimmte.



JimboTU1040
Junior
Dabei seit: 28.11.2014
Mitteilungen: 12
Herkunft:
 Beitrag No.10, eingetragen 2020-02-05 11:42    [Diesen Beitrag zitieren]

Hab 13.4.18 und 13.4.24 durch den Wolframalpha gejagt.

=> Die Formeln stimmen

Das heißt in meinen Umformungen stimmt was nicht  😵


JimboTU1040
Junior
Dabei seit: 28.11.2014
Mitteilungen: 12
Herkunft:
 Beitrag No.9, eingetragen 2020-02-05 11:37    [Diesen Beitrag zitieren]

Na gut, machen wir das gemeinsam

meine Gleichungen stammen aus "Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables" von M. Abramowitz und I.A. Stegun 1977

Auf Seite 507 finden wir

13.4.18:
\[ (b-a)U(a,b,z)+U(a-1,b,z)-zU(a,b+1,z)=0\\
\Leftrightarrow  U(a-1,b,z)=zU(a,b+1,z)-(b-a)U(a,b,z)\] 13.4.24:\[(1+a-b)U(a,b-1,z)=(1-b)U(a,b,z)-zU'(a,b,z)\\
\Leftrightarrow zU'(a,b,z)=(1-b)U(a,b,z)-(1+a-b)U(a,b-1,z)\]
Ich darf doch davon ausgehen, dass diese richtig sind.

Lass uns meine Umformungen durchgehen schritt für schritt:
ZZ: \[U(a−1,b,h)=hU(a,b+2,h)−\frac{1}{2}U(a,b+1,h)\] wir nutzen 13.4.18 um \(U(a−1,b,h)\) aufzusplitten und erhalten
\[hU(a,b+1,h)-(b-a)U(a,b,h)=hU(a,b+2,h)-\frac{1}{2}U(a,b+1,h)\] forme um sodass die h Terme auf einer Seite sind:
\[hU(a,b+1,h)-hU(a,b+2,h)=(b-a)U(a,b,h)-\frac{1}{2}U(a,b+1,h)\] dann nutzen wir die Gleichung \(U(a,b,z)-U'(a,b,z)=U(a,b+1,z)\), dann folgt
\[hU'(a,b+1,h)=(b-a)U(a,b,h)-\frac{1}{2}U(a,b+1,h).\] Den letzten Schritt wollen wir mit 13.4.24 verifizieren indem wir in der Formel 13.4.24 b+1 statt b einsetzen:
\[13.4.24:\quad zU'(a,b+1,z)=(1-(b+1))U(a,b+1,z)-(1+a-(b+1))U(a,b+1-1,z)\\
\Leftrightarrow zU'(a,b+1,z)=(-b)U(a,b+1,z)-(a-b)U(a,b,z)\\
\Leftrightarrow zU'(a,b+1,z)=(-b)U(a,b+1,z)+(b-a)U(a,b,z)\\
\Leftrightarrow zU'(a,b+1,z)=(b-a)U(a,b,z)-bU(a,b+1,z).\] Womit die Behauptung gezeigt wurde.

Ich habs jetzt neu abgetippt und bins jetzt wirklich im Detail durchgegangen, mir wäre kein grober Fehler untergegangen. Ich sehs ein, dass Wolframalpha scheinbar was falsches ausgibt und somit da etwas falsch genutzt wird. Sind meine Umformungen widerspruchsfrei durchgeführt worden ? Die Gleichungen stehen im "Handbook ..." stehen ohne Vorrausetzungen da  😵


hyperG
Senior
Dabei seit: 03.02.2017
Mitteilungen: 923
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2020-02-04 22:27    [Diesen Beitrag zitieren]

Nein, Du hast wieder:
- nicht nachgerechnet
- und die Gesetze unter
hier
nicht richtig angewendet.

Einfach mit Probieren von Spezialfällen, wo 1-b zufällig 1/2 ist -> so einfach ist Mathe nicht!

Schon ein einfacher Test (mit den selben Argumenten) reicht zur Widerlegung der letzten Gleichung:

hypergeometricU(a,b+2,h)*h-hypergeometricU(a,b+1,h)(1-b)-hypergeometricU(a-1,b,h),a=1/2,b=2.5,h=1/10
ist 1087.82... und nicht 0.

Hier kannst Du leicht testen: WolframAlpha


JimboTU1040
Junior
Dabei seit: 28.11.2014
Mitteilungen: 12
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-04 18:19    [Diesen Beitrag zitieren]

Die zu betrachtende Gleichung wäre somit

\[U(a-1,b,h)=hU(a,b+2,h)-(1-b)U(a,b+1,h).\]
statt wie oben

\[U(a-1,b,h)=hU(a,b+2,h)-\frac{1}{2}U(a,b+1,h).\]
LG 😄


JimboTU1040
Junior
Dabei seit: 28.11.2014
Mitteilungen: 12
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2020-02-04 18:17    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-02-04 17:17 - hyperG in Beitrag No. 5 schreibt:
Ja, mit b=1/2 wird daraus ein Spezialfall, also eine Funktion mit 2 statt 3 f(a,b,h) Variablen!:
Mathe
Differenz:
f(a,h)=hypergeometricU(a,5/2,h)*h-hypergeometricU(a,3/2,h)/2-hypergeometricU(a-1,1/2,h)
 
FullSimplify[h HypergeometricU[a, 5/2, h]-HypergeometricU[-1 + a, 1/2, h] - HypergeometricU[a, 3/2, h]/2]
=0 -> das ist OK

Die Gesetze dahinter findet man unter
functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/HypergeometricU/17/01/01/

Nein es ist kein Spezialfall, in meiner Herleitung geht hervor, dass die 1/2 nicht b ist sondern (1-b)=1/2 gilt.

b ist rein zufällig 1/2 :)

LG


hyperG
Senior
Dabei seit: 03.02.2017
Mitteilungen: 923
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-04 17:17    [Diesen Beitrag zitieren]

Ja, mit b=1/2 wird daraus ein Spezialfall, also eine Funktion mit 2 statt 3 f(a,b,h) Variablen!:
Mathe
Differenz:
f(a,h)=hypergeometricU(a,5/2,h)*h-hypergeometricU(a,3/2,h)/2-hypergeometricU(a-1,1/2,h)
 
FullSimplify[h HypergeometricU[a, 5/2, h]-HypergeometricU[-1 + a, 1/2, h] - HypergeometricU[a, 3/2, h]/2]
=0 -> das ist OK

Die Gesetze dahinter findet man unter
functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/HypergeometricU/17/01/01/


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 810
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-04 00:35    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
a=1/2,b=2.5,h=1/10

Versuch es mal mit $b=1/2$. Die Bedingung hat JimboTU1040 ja auch in der Herleitung verwendet.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)

hyperG
Senior
Dabei seit: 03.02.2017
Mitteilungen: 923
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-03 23:53    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
2020-01-29 01:38 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo JimboTU1040,

...Es bleibt also zu zeigen, dass

\[U(a-1,b,h)=hU(a,b+2,h)-\frac{1}{2}U(a,b+1,h).\]
Dafür habe ich gerade keinen Beweis, ...

Viele Grüße
Vercassivelaunos

Zunächst Probe, ob wir wirklich von der selben Funktion reden
Tricomi's (confluent hypergeometric) function U :
d/dz hypergeometricU(a,c,z) = 
 -a* hypergeometricU(a + 1, c + 1, z) -> OK

An einem Beispiel wollte ich das mal testen:
hypergeometricU(a,b+2,h)*h-hypergeometricU(a,b+1,h)/2-hypergeometricU(a-1,b,h),a=1/2,b=2.5,h=1/10
müsste dann 0 ergeben:
WolframAlpha.com sagt aber 543.912

Also noch meinen eigenen Rechner unter RechnerMitUmkehrfunktion
Funktion hygU oder auch Tricomi:
RechnerMitUmkehrfunktion
hygU(0.5, 2.5 + 2, 0.1)/10= 669.1379528916290666509658740019632
-hygU(0.5, 2.5 + 1, 0.1)/2=-135.9779393872403112759524224106068
-hygU(-0.5, 2.5 , 0.1)    =  10.7517440445724897287962380510712
                    Summe = 543.9117575489612451028438155893931

Beide Rechner sagen also nicht 0 -> kann was nicht stimmen!
schon spät -> später mehr...
\(\endgroup\)

JimboTU1040
Junior
Dabei seit: 28.11.2014
Mitteilungen: 12
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-29 18:32    [Diesen Beitrag zitieren]

Vielen Dank für die Hilfestellung.

Ich hab mich in die Bib gesetzt und nach den fehlenden Eigenschaften der konfluenten hypergeometrischen Funktionen gesucht und bin auch fündig geworden!

Ich möchte den möglichen Weg noch skizzieren:

ZZ:

\[U(a−1,b,h)=hU(a,b+2,h)−\frac{1}{2}U(a,b+1,h)\]
mit folgender Eigenschaft

\[U(a−1,b,z)=zU(a,b+1,z)-(b-a)U(a,b,z)\]
erhalten wir

\[hU(a,b+1,h)-(b-a)U(a,b,h)=h(U(a,b+2,h)-\frac{1}{2}U(a,b+1,h).\]
Den oben schon genannte Trick wenden wir auf die mit h versehene U's und bekommen

\[hU'(a,b+1,h)-(b-a)U(a,b,h)=-\frac{1}{2}U(a,b+1,h)\]
Indem wir eine folgende Eigenschaft nutzen

\[zU'(a,b,z)+(1+a-b)U(a,b-1,z)=(1-b)U(a,b,z)\]
und dann \((1-b)=\frac{1}{2}\) sowie \(b:=b+1\) identifizieren erhalten wir die Behauptung.

Ich glaub das Problem dürft abgeschlossen sein.

Vielen Dank nochmals, Vercassivelaunos!  😁


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 810
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-29 01:38    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo JimboTU1040,

ich kenne zwar die konfluente hypergeometrische Funktion nicht, aber mit den von dir gegebenen Eigenschaften kann man zumindest sehr weit kommen, ohne dass es ganz so eine Qual mit der Produktregel wird. Um die Rechnung zu vereinfachen, würde ich hier eher mit der Kettenregel arbeiten. Dann ist nämlich $f(x)=g\circ h(x)$ mit

\[g(x)=\exp(-x)U\left(\frac{1}{2}+\frac{\delta}{2\rho},\frac{1}{2},x\right)\\
h(x)=\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\]
Die zweite Ableitung ist dann nach Anwenden der Kettenregel und der Produktregel

\[f''(x)=h''(x)\left(g'\circ h(x)\right)+h'^2(x)\left(g''\circ h(x)\right).\]
Die Ableitungen von $h$ sind leicht zu berechnen:
\[\align{h'(x)&=\frac{2}{\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)\\
h''(x)&=\frac{2\rho}{\sigma^2}}\]
Das Problem ist also vor allem $g'$ und $g''$. Aber die sind jetzt auch etwas leichter. Ich setze dafür erstmal $a=\frac{1}{2}+\frac{\delta}{2\rho}$ und $b=\frac{1}{2}$

\[\align{g'(x)&=\frac{\d}{\d x}\left[\exp(-x)U(a,b,x)\right]\\
&=-\exp(-x)U(a,b,x)+\exp(-x)U'(a,b,x)\\
&=-\exp(-x)\left[U(a,b,x)-U'(a,b,x)\right]\\
&=-\exp(-x)U(a,b+1,x).}\]
Die letzte Umformung ist der von dir angegebene Trick $U(a,b,z)-U'(a,b,z)=U(a,b+1,z)$.
Mit der gleichen Rechnung erhält man auch die zweite Ableitung, die ist dann

\[g''(x)=\exp(-x)U(a,b+2,x).\]
Induktiv gilt sogar $g^{(n)}(x)=(-1)^n\exp(-x)U(a,b+n,x)$, aber das nur nebenbei.

Jetzt kann man alles in die Formel für $f''(x)$ einsetzen, wobei ich das Argument von $h$ jeweils auslasse damit es übersichtlicher bleibt:

\[\align{f''&=h''\left(g'\circ h\right)+h'^2\left(g''\circ h\right)\\
&=-\frac{2\rho}{\sigma^2}\exp(-h)U(a,b+1,h)+\frac{4}{\sigma^4}(\mu-\alpha+\rho x)^2\exp(-h)U(a,b+2,h)\\
&=\frac{4\rho}{\sigma^2}\exp(-h)\left[hU(a,b+2,h)-\frac{1}{2}U(a,b+1,h)\right].}\]
Rauskommen soll aber $\frac{4\rho}{\sigma^2}\exp(-h)U(a-1,b,h)$. Es bleibt also zu zeigen, dass

\[U(a-1,b,h)=hU(a,b+2,h)-\frac{1}{2}U(a,b+1,h).\]
Dafür habe ich gerade keinen Beweis, ab hier müsstest du denke ich selber weitermachen. Ich würde als Vermutung aber anstellen, dass der Faktor $\frac{1}{2}$ vor dem einen $U$ kein Zufall ist, denn es ist ja auch $b=\frac{1}{2}$. Vielleicht hat die Funktion ja noch irgendwelche Eigenschaften, sodass $hU(a,b+2,h)-bU(a,b+1,h)$ sinnvoll weiter umgeformt werden kann.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)

JimboTU1040
Junior
Dabei seit: 28.11.2014
Mitteilungen: 12
Herkunft:
 Themenstart: 2020-01-28 23:13    [Diesen Beitrag zitieren]

Liebe Leute,

Das ist mein erster Post und hoffe ich hab den auch richtig eingeordnet.

Gegeben sei eine Funktion

\(f(x)=exp\Big\{-\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big\}U\Big(\frac{1}{2}+\frac{\delta}{2\rho},\frac{1}{2},\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big)\), wobei U eine konfluente hypergeometrische Funktion der zweiten Art ist. Ich möchte von dieser die zweite Ableitung \(f''(x)\) berechnen.

An und für sich spielt die k. h. Fkt. keine große Rolle, da man die üblichen Ableitungsoperationen nutzt.

Es gilt folgende Ableitungsregel für k. h. Fkt.:

\[U'(a,c,z)=-aU(a+1,c+1,z)\]
In meinem Fall muss man natürlich auf die innere Ableitung achten daher

\[U'\Big(\frac{1}{2}+\frac{\delta}{2\rho},\frac{1}{2},\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big)=
 -(\frac{1}{2}+\frac{\delta}{2\rho})\frac{2}{\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)U\Big(\frac{3}{2}+\frac{\delta}{2\rho},\frac{3}{2},\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big)\]
Es gibt eine Lösung für die zweite Ableitung, diese lautet:

\[f''(x)=\frac{4\rho}{\sigma^2}exp\Big\{-\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big\}U\Big(\frac{\delta}{2\rho}-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big)\]
Leider finde ich den richtigen Weg nicht hin. Ich würde im Folgenden skizzieren was ich gerechnet habe:
Für die erste Ableitung erhalte ich nach Produktregel
\[f'(x)=-\frac{2}{\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)exp\Big\{-\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big\}U\Big(\frac{1}{2}+\frac{\delta}{2\rho},\frac{1}{2},\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big)-exp\Big\{-\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big\}(\frac{1}{2}+\frac{\delta}{2\rho})\frac{2}{\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)U\Big(\frac{3}{2}+\frac{\delta}{2\rho},\frac{3}{2},\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big)\]
Für die zweite Ableitung nutze ich nochmals die Produktregel, diesmal eben mit 3 Faktoren:

\[f''(x)=-\frac{2\rho}{\sigma^2}exp\Big\{-\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big\}U\Big(\frac{1}{2}+\frac{\delta}{2\rho},\frac{1}{2},\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big)+\frac{4}{\sigma^4}(\mu-\alpha+\rho x)^2exp\Big\{-\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big\}U\Big(\frac{1}{2}+\frac{\delta}{2\rho},\frac{1}{2},\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big)+\frac{4}{\sigma^4}(\mu-\alpha+\rho x)^2exp\Big\{-\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big\}(\frac{1}{2}+\frac{\delta}{2\rho})U\Big(\frac{3}{2}+\frac{\delta}{2\rho},\frac{3}{2},\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big)-\frac{2\rho}{\sigma^2}exp\Big\{-\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big\}(\frac{1}{2}+\frac{\delta}{2\rho})U\Big(\frac{3}{2}+\frac{\delta}{2\rho},\frac{3}{2},\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big)+\frac{4}{\sigma^4}(\mu-\alpha+\rho x)^2exp\Big\{-\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big\}(\frac{1}{2}+\frac{\delta}{2\rho})U\Big(\frac{3}{2}+\frac{\delta}{2\rho},\frac{3}{2},\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big)+\frac{4}{\sigma^4}(\mu-\alpha+\rho x)^2exp\Big\{-\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big\}(\frac{1}{2}+\frac{\delta}{2\rho})(\frac{3}{2}+\frac{\delta}{2\rho})U\Big(\frac{5}{2}+\frac{\delta}{2\rho},\frac{5}{2},\frac{1}{\rho\sigma^2}(\mu-\alpha+\rho x)^2\Big).\]
Wie man sieht ist meine vorläufige Lösung der zweiten Ableitung nicht ganz so elegant wie die tatsächliche Lösung. Für die angeführte Lösung wurde aber folgender Trick verwendet:

\[U(a,b,z)-U'(a,b,z)=U(a,b+1,z).\]
Jedoch hab ich schon stunden verbracht diese in irgendeiner Form anzuwenden, die Vorzeichen würden dies jedes mal nicht möglich machen. Ich habe meine Rechenschritte auchschon mehrmals überprüft und ich finde den Fehler leider nicht. Es könnte auch ein wesentlicher Rechenschritt fehlen oder es ist ein weiter Hinweis nötig, aber mehr habe ich leider nicht zur Hand.

Vielleicht kann mir hier jemand den richtigen Ansatz geben oder den Fehler zeigen, der mir vielleicht unterlaufen ist (sofern ich hier alles richtig nachgetippt habe). Ich bin nach stundenlanger Rechnerei etwas verzweifelt  :-(  und hoffe, dass dieser Post auch hier richtig ist.

Danke im Voraus! :-)


 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP, that seems no longer to be maintained or supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]