Antworte auf:  Verwendung binomischer Lehrsatz für Zähldichte von jurze
Forum:  Stochastik und Statistik, moderiert von: Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel

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Themenübersicht
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7628
Wohnort: Rosenfeld, BW

 Beitrag No.8, eingetragen 2020-05-27 13:22    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\) Hallo, oder einfacher: \[\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{c}\right)^k=\frac{1}{1-\frac{2}{c}}-1=\frac{2}{c-2}\] Gruß, Diophant\(\endgroup\)

jurze
Junior
Dabei seit: 09.08.2019
Mitteilungen: 10
 Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-27 13:12    [Diesen Beitrag zitieren]
Hallo vielen Dank nochmal, ihr habt mir echt geholfen. Ich denke auch, dass ich es jetzt hab. Für eventuell auch suchende, poste ich noch meine Lösung. sum(2^k/c^k,k=1,\inf ) = sum(2^(k+1)/c^(k+1),k=0,\inf ) = 2/c * sum(2^k/c^k,k=0,\inf ) = (geom. Reihe) 2/c*1/(1-2/c) = 2/(c-2) = 1 <=> c=4

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7628
Wohnort: Rosenfeld, BW

 Beitrag No.6, eingetragen 2020-05-27 12:26    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\) Hallo, \quoteon(2020-05-27 12:12 - jurze in Beitrag No. 4) Tut mir leid, ich verstehe absolut was du meinst, komme aber jetzt nach stunden nicht zu einem Ergebnis. \quoteoff Na ja, dass eine kumulierte Zähldichte in der Summe 1 ergeben sollte und nicht \(\infty\). \quoteon(2020-05-27 12:12 - jurze in Beitrag No. 4) Folgendes ist mir aufgefallen. Für c>2 ließe sich die Summe zur geometrischen Reihe nach der Form sum(f(k), k=1, \inf ) = 1/(1-2/c) \quoteoff Das ist schon fast die richtige Idee. Du solltest nämlich wissen, welchen Wert diese Summe haben muss bzw.- ich habe es oben ja geschrieben. Nur musst du oben noch mit einbauen, dass der verwendete Grenzwert der geometrischen Reihe für den Fall gilt, dass die Summation bei \(k=0\) beginnt. Das ist hier nicht so (das würde auch nicht funktionieren), du musst es also noch geeignet berücksichtigen (wie groß ist der erste Summand einer geometrischen Reihe stets?). Wenn du das hast, dann ist letztendlich nur noch eine kleine Bruchgleichung zu lösen... Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]\(\endgroup\)

Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3009
 Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-27 12:23    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\) Hallo, \quoteon(2020-05-27 12:12 - jurze in Beitrag No. 4) Für c>2 ließe sich die Summe zur geometrischen Reihe nach der Form sum(f(k), k=1, \inf ) = 1/(1-2/c) \quoteoff Die Formel ist falsch. Beachte, dass die Reihe bei $k=1$ anfängt, nicht bei $k=0$. Dein Ergebnis ist also um $1$ zu groß.\(\endgroup\)

jurze
Junior
Dabei seit: 09.08.2019
Mitteilungen: 10
 Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-27 12:12    [Diesen Beitrag zitieren]
Tut mir leid, ich verstehe absolut was du meinst, komme aber jetzt nach stunden nicht zu einem Ergebnis. Folgendes ist mir aufgefallen. Für c>2 ließe sich die Summe zur geometrischen Reihe nach der Form sum(f(k), k=1, \inf ) = 1/(1-2/c) Mein problem ist jetzt, wenn ich mein c nicht unendlich groß mache, ist das Ergebnis der geometrischen Reihe immer >1. Andere Strategie an die ich gedachte habe ist gewesen, c=2 zu setzen und die Summe bis n laufen zu lassen. In der Form: sum(2^k/2^k,k=1,n)=n woraus ich gefolgert habe, dass ich 1 herausbekomme, wenn ich alles folgendermaßen umschreibe: 2^k/(2^k * n)=2^k/c^k <=> c= wurzel(k, (2^k*n) Wo liegt mein Fehler? Was sehe ich nicht? Gefragt war nach einem konkreten Wert für c, weshalb ich bei der ersten Idee davon ausgehe, dass es falsch sein muss. Vielen Dank für die Arbeit und Zeit Gruß Daniel

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7628
Wohnort: Rosenfeld, BW

 Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-26 16:19    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\) Hallo, ich würde da bei der Umformung der Summe einige Zwischenschritte weglassen. Die Symmetrie des Binomialkoeffizienten \[{k \choose k-l}={k \choose l}\] kann man hier als bekannt voraussetzen. Du musst sie also nicht extra nachrechnen. Wenn wirklich die Funktion \(f(k)\) die Zähldichte bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion sein soll, dann stimmt deine Berechnung von c jedoch noch nicht. Denn so wie du es jetzt gerechnet hast gilt konstant \(f(k)=1\). Das ist aber nicht gemeint. Sondern die Summe der Werte von \(f(k)\) über den natürlichen Zahlen soll ja 1 ergeben. Also: \[\sum_{k=1}^{\infty}f(k)=1\] Da musst du an deinem c noch etwas herumschrauben. 😉 Gruß, Diophant\(\endgroup\)

jurze
Junior
Dabei seit: 09.08.2019
Mitteilungen: 10
 Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-26 15:58    [Diesen Beitrag zitieren]
Vielen Dank schonmal. Ich glaube, ich habs. f(k)=1/c^k sum((k;k-l+1),l=1,k+1) = 1/c^k sum((k;k-l),l=0,k) = 1/c^k sum(k!/(k-k+1)!(k-l)!,l=0,k) = 1/c^k sum(k!/l!(k-l)!,l=0,k) = 1/c^k sum((k;l),l=0,k) = 1/c^k sum((k;l) 1^(k-l) 1^l,l=0,k) = 1/c^k (1+1)^k = 2^k/c^k Es soll sich um eine Zähldichte handeln => 1= 2^k/c^k <=> wurzel(k, 1)=2/c <=> c=2 Vielen Dank nochmal. Kurzes Feedback zu der Lösung würde mich freuen.

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7628
Wohnort: Rosenfeld, BW

 Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-26 12:48    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\) Hallo, zwei kurze Anmerkungen: - du bist bei deiner Umformung irgendwie mit dem Summationsindex durcheinandergekommen. In der zweiten Version sollte die Summe meiner Meinung nach von \(l=0\) bis \(l=k\) gehen. - es ist nach dem Binomischen Lehrsatz \[(a+b)^k=\sum_{l=0}^k{k \choose l}a^l b^{k-l}\quad \Rightarrow\quad 2^k=(1+1)^k=\sum_{l=0}^k{k \choose l}1^l\cdot 1^{k-l}=\sum_{l=0}^k{k \choose l}\] Gruß, Diophant\(\endgroup\)

jurze
Junior
Dabei seit: 09.08.2019
Mitteilungen: 10
 Themenstart: 2020-05-26 12:27    [Diesen Beitrag zitieren]
Hallo, ich befinde mich in der Vorbereitung auf meine Stochastikklausur und die Aufgabe ist die folgende. Man betrachte für eine Konstante c\el\ \IR ohne {0} die Funktion f:\IN->\IR mit f(k)=1/c^k sum((k;k-l+1),l=1,k+1), k\el\ \IN Versuchen Sie, den Binomischen Lehrsatz zu verwenden, indem sie die Summe geeignet umschreiben, um auf diese Weise einen konkreten Wert für c\el\ \IR ohne {0} zu ermitteln, sodass f eine Zähldichte auf \IN={1,2,...} ist. Mein erster Ansatz war: Ich wollte den Binomialkoeffizienten umschreiben, um so auf die Form des Binomialen Lehrsatzes zu kommen: (x+y)^n=sum((n;k)x^(n-k) y^k,k=1,n) Wenn ich das mache, komme ich schnell zu: f(k)=1/c^k sum((k;k-l+1),l=1,k+1) = 1/c^k sum((k;l),l=0,k+1) Da das Ganze ja eine Zähldichte sein soll, kann ich es umschreiben zu c^k = sum((k;l),l=0,k+1) und bekäme mit c= wurzel(k,sum((k;l),l=0,k+1)) eine eindeutige Lösung für c. Ich verwende hier nicht den Binomischen Lehrsatz, was mich per se schon sicher gehen lässt, das ich falsch liege mit meiner Lösung. Ich weiß auch nicht, wie diesen richtig einbauen soll. Wenn ich versuche das c^k so einzubauen, dass die Summer als binomischer Lehrsatz da steht, fehlt immer noch eine zweite Variable. Ich hoffe mir kann jemand helfen, stehe bei Fragen zur Verfügung und bedanke mich recht herzlich.

 
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