Antworte auf:  Differenzierbarkeit, Kurve von Wasmachichhiernur
Forum:  Mehrdim. Differentialrechnung, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1809
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-10 20:10    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-07-10 19:33 - Wasmachichhiernur in Beitrag No. 2 schreibt:
Hey  Kampfpudel,
da $G$ ein Gebiet ist, ist $G$ auch insbesondere offen. Für eine offene Menge gilt, dass es für jedes x, ein $\delta > 0$ gibt s.d. $B_{\delta} (x) \subseteq G$ ist. Wählt man $\epsilon < \delta$, dann ist $x_0+tv \in B_{\delta} (x)$ und somit auch in $G$.

Das stimmt, wenn \(|v|=1\) gilt. Wenn \(|v|>1\) müsstest du \(\epsilon\) ein klein wenig anders wählen.

Die b) stimmt so, aber noch ein Hinweis (auch wenn dieser etwas pingelig ist):
Dort sollte am Anfang schon \(D(f \circ \alpha)(0)\) stehen statt \(D(f \circ \alpha(0))\).
Der Ausdruck \(D(f \circ \alpha)(0)\) sagt, dass du erst die Funktion \(f \circ \alpha\) ableitest und anschließend \(0\) einsetzt, der Ausdruck \(D(f \circ \alpha(0))\) sagt aber, dass du erst(!) die \(0\) in \(\alpha\) einsetzt, dann mit \(f\) verknüpfst und du anschließend die Konstante \(f \circ \alpha(0)\) ableitest.
Analoges gilt auch für den Ausdruck \(D(f(\alpha(0))\). Dort sollte \(Df(\alpha(0))\) stehen, da du ja \(f\) ableitest und anschließend \(\alpha(0)\) einsetzt.


Wasmachichhiernur
Aktiv
Dabei seit: 16.01.2020
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 Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-10 19:42    [Diesen Beitrag zitieren]

und zur b)
$D(f \circ \alpha(0))= D(f(\alpha(0)) \cdot D\alpha(0) = Df(x_0) \cdot v$

Viele Grüße :)


Wasmachichhiernur
Aktiv
Dabei seit: 16.01.2020
Mitteilungen: 76
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 Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-10 19:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Hey  Kampfpudel,
da $G$ ein Gebiet ist, ist $G$ auch insbesondere offen. Für eine offene Menge gilt, dass es für jedes x, ein $\delta > 0$ gibt s.d. $B_{\delta} (x) \subseteq G$ ist. Wählt man $\epsilon < \delta$, dann ist $x_0+tv \in B_{\delta} (x)$ und somit auch in $G$.


Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1809
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 Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-10 19:24    [Diesen Beitrag zitieren]

Hey Wasmachichhiernur,

die a) sieht bis hierhin soweit okay aus, es ist aber sogar \(\alpha'(t)=v\) für alle \(t \in (-\epsilon , \epsilon)\), nicht nur für \(t=0\).
Bedenke, dass \(G\) eine offene Menge ist (was bedeutet das?) und \(x_0 \in G\) gilt. Überlege dir, wie du nun \(\epsilon >0\) wählen musst, damit \(x_0 + tv \in G\) für alle \(t \in (-\epsilon , \epsilon)\) gilt.

Bei b) fehlt noch ein \(D\) auf der rechten Seite, also \(D(f \circ \alpha)(0)\). Falls bekannt, wende auf die rechte Seite die Kettenregel an


Wasmachichhiernur
Aktiv
Dabei seit: 16.01.2020
Mitteilungen: 76
Herkunft:
 Themenstart: 2020-07-10 18:05    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,
bin bei der folgenden Aufgabe nicht weitergekommen. Wäre froh wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Viele Grüße






Also für die a) hab ich mir folgendes überlegt:
$\alpha:(-\epsilon,\epsilon) \rightarrow G$, $ \alpha(t)= x_0+tv$ würde die gewünschten Eigenschaften mit $\alpha(0)=x_0$ und $\dot{\alpha(0)} = v$ erfüllen. Allerdings müsste man wahrscheinlich noch zeigen dass $x_0 +tv \in G$ liegt $\forall t \in (-\epsilon,\epsilon)$.

Bei der b) hab ich leider keine richtige Idee wie man vorgehen sollte.


 
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