Antworte auf:  Peanoaxiome von OliverFuchs
Forum:  Prädikatenlogik, moderiert von: mire2 StrgAltEntf

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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1882
Herkunft:
 Beitrag No.10, eingetragen 2020-08-12 12:04    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Du bist schon nahe dran. Was der WP-Artikel eigentlich implizit macht, lässt sich ungefähr so formalisieren:

Die "Signatur" der Sprache, die verwendet wird, umfasst (naja - mindestens) folgende Dinge:
* eine Mengen-(oder Klassen-)konstante $\IN$,
* eine Individuenkonstante 0,
* ein einstelliges (Individuen-)Funktionssymbol, dessen Anwendung $(-)'$ geschrieben wird.

(Wir nehmen mal an, dass automatisch für Individuenterme $t,u$ die Formel $t=u$ existiert, für jeden Individuenterm $t$ und jeden Klassenterm $T$ die Formel $t \in T$, und für Klassenterme $T,U$ die Formel $T \subseteq U$, jeweils mit naheliegender Bedeutung.)

Eine Interpretation (a.k.a Struktur) stellt zur Verfügung:
* eine Menge $U$ (für das Diskursuniversum),
* eine Menge $N \subseteq U$ (für die Interpretation der Mengenkonstante $\IN$),
* ein Element $z\in U$ (für die Interpretation der Konstante 0),
* eine Funktion $s\colon U \to U$ (für die Interpretation des Funktionssymbols $'$).

Wenn eine solche Interpretation die Axiome erfüllt, gilt unter anderem:

* $z \in N$ (das ist Ax. 1),
* $s_{|N}\colon N \to N$ (das ist Ax. 2),
* $z$ liegt nicht im Bild von $s_{|N}$ (das ist Ax. 3),
* $s_{|N}$ ist injektiv (das ist Ax. 4).
\(\endgroup\)

OliverFuchs
Aktiv
Dabei seit: 25.03.2020
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.9, eingetragen 2020-08-11 14:04    [Diesen Beitrag zitieren]

Nun komme ich noch einmal auf die Problemstellung zurück, wie sie mir der Einfältige gestellt hat. Dabei möchte ich nicht auf das Problem direkt eingehen, sondern versuchen  mich dem Verständnis der Peanoaxiome anzunähern. Es stellt sich mir also die Frage, was soll das alles. Nun ist schon klar, dass man versucht die natürlichen Zahlen auf ein möglichst einfaches  Fundament zu stellen, welches noch die ganzen natürlichen Zahlen trägt. Es geht mir also darum zu verstehen, wie dieses Problem hier gelöst wurde. Dazu möchte ich mir den Begriff der Struktur, so wie er in der Mathematik verwendet wird genauer ansehen. In der Agebra nennt man eine algebraische Struktur eine Menge $M$ zusammen mit einer oder mehreren inneren Operationen $\circ_1,\circ_2,\cdots,\circ_n$. Man schreibt dann dafür $(M,\circ_1,\circ_2,\cdots,\circ_n)$. In der Maßtheorie ist es ein Maßraum zusammen mit einem Maß,  usw.
Wenn ich mir die Vorgabe dess Einfältigen ansehe so fällt mir die folgende Definition ein.

Definition natürliche Struktur

Es sei $M$ eine beliebige Menge und $f$ ein Endomorhismus auf
$M$( eine Funktion $f:M\to M$), so nenne ich die Funktion $f$ die Nachfolgerfunktion und $(M,f)$ eine natürliche Struktur.

So wie ich das sehe wird bei den Peanoaxiomen so eine Definition stillschweigend vorausgesetzt. Man kann nun für jede solche Struktur entscheiden, ob sie die Peanoaxiome erfüllt oder nicht.
Nach meiner Meinung würde dann der Isomorphiesatz von Dedekind besagen, das jede solche Struktur schon Isomorph zum Standardmodell von $\mathbb{N}$ ist. Wenn man zeigen kann oder könnte, dass das nichtmehr der Fall ist, wenn man auch   nur eines der Axiome weg lässt, so wäre meine Frage nach (der einfachsten ) einer möglichst einfachen Beschreibung der natürlichen Zahlen beantwortet.

Liege ich mit diesen Überlegungen wenigstens annähernd an der Wahrheit?

lg Oliver


OliverFuchs
Aktiv
Dabei seit: 25.03.2020
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2020-08-11 13:06    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke für die rasche Antwort. Mir selber ist bei den Peanoaxiomen, so wie ich sie interpretiert habe, ein ungutes Gefühl hoch gekommen. Die Einsicht, dass es sich bei $n'$ um die Nachfolgerfunktion handelt, war für mich sehr erhellend, hat aber auch Fragen aufgeworfen. Für mich ist ein arabischer Kleinbuchstaben der durch ein Acent, einen Querstrich oder einen Index erweitert wird immer eine Variable. Nur die Buchstaben f,g,h stehen für Funktionen und auch dann sollte das aus dem Zusammenhang hervor gehen. Zumindest aber ist der Buchstabe $n$ für die natürlichen Zahlen reserviert. Daher ist die in Wikipedia als üblich dargestellte Notation für mich irreführend. Ich würde das zweite Axiom dann so schreiben. 2) $\forall n(n\in \mathbb{N} \Rightarrow n'=f(n)\in\mathbb{N})$ wobei man dann dazu sagen muss, dass $f$ die  Nachfolgerfunktion sein soll. So macht das ganze für mich auch mehr Sinn und ich verstehe nicht warum man hier die etwas irreführende Notation gewählt hat. Ich kann mir nur vorstellen, dass immer ein Spannungsfeld zwischen einer möglichst kurzen, einer möglichst exakten und einer möglichst verständlichen Ausdrucksweise besteht und man sich hier scheinbar, unter dem Vorbehalt dass jemand der sich mit dem Thema beschäftigt eh die Feinheiten kennen wird, für die intuitivste und kürzeste Schreibweise entschieden hat. Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich damit richtig liege.
Danke nochmals für den Tip
lg Oliver


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6424
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-10 16:52    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo, ich antworte mal nur hier drauf:

2020-08-10 15:20 - OliverFuchs in Beitrag No. 5 schreibt:
Zum Punkt III) möchte ich fragen,
warum n' keine Variable ist.

n' ist der Funktionswert einer Funktion, nämlich der Nachfolgerfunktion, an der Stelle n. Statt n' könntest du auch überall f(n) schreiben.

Die Axiome 2, 3 und 4 besagen dann: Jede natürliche Zahl besitzt einen Nachfolger, 0 ist nicht der Nachfolger einer natürlichen Zahl und wenn zwei natürliche Zahl denselben Nachfolger haben, sind sie gleich.

Wenn du meinst, dass n' eine Variable ist, dann wäre
$\forall n\in\mathbb {N} \exists ! n'\in \mathbb {N}, n\not= n'$
äquivalent zu
$\forall n\in\mathbb {N} \exists ! m\in \mathbb {N}, n\not=m$.
Und das ist für die natürlichen Zahlen offenbar nicht richtig. Meinst du vielleicht
2') $\forall n\in\mathbb {N} \exists ! m\in \mathbb {N}(n\not=m \wedge m=n')$?

Das ! ist hier überflüssig, da die Nachfolgerfunktion eine Funktion und somit der Nachfolger eindeutig ist. 2' würde also bedeuten: Der Nachfolger einer natürlichen Zahl n ist wieder eine natürliche Zahl aber niemals die Zahl n selbst. Dies besagt also mehr als das Axiom 2 und ist wahr.

Um 2' aus 1 bis 5 zu beweisen, benötigt man 5, wenn ich mich jetzt nicht täusche.


OliverFuchs
Aktiv
Dabei seit: 25.03.2020
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2020-08-10 15:24    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich habe die Struktur
$X=\{0\}$
$x'=x$
untersucht und gefunden, dass
nach meiner Meinung alle Axiome,
bis auf das dritte, erfüllt sind.

Lg oliver


OliverFuchs
Aktiv
Dabei seit: 25.03.2020
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-10 15:20    [Diesen Beitrag zitieren]

Hm,
Ad I) kann ich einmal nichts sagen.
Mir ist schon klar, dass das auch
eine logische Aussage ist und wahrscheinlich eine zweiter
Stufe, auch wenn ich diesen Ausdruck
noch gar nicht recht kenne.
Ich habe nur nicht gesehen. Wie mit
den Axiomen die ich hin und damit
sbgeschrieben habe a) die Bildung
einer Baumstruktur mit Verzweigungen
und die Eindeutigkeit des Nachfolgers
sicher stellen kann. Nun habe ich weder
angenommen, dass sich Peano geirrt hat,
noch habe ich angenommen dass in Wikipedia
ein Fehler ist. Viel mehr habe
ich angenommen, dass der Fehler bei
mir liegt. Genauer gesagt in meiner
Unkenntnis der Prädikatenlogik, weder
erster noch zweiter Stufe. So habe
ich versucht ein Axiom zu formulieren,
welches in der logischen Sprache
geschrieben ist, wie ich sie iterenistisch
, also durch Verwendung im Studium
gelernt habe. Dabei ging es mir darum
,sowohl einen verzweigten Baum zu verhindern, als auch die Eindeutigkeit des Nachfolgers sicher zu stellen.
Ich hoffte, wenn mir das gelänge,
den Unterschied in der Formulierung
zu Axiom 2), so wie ich es abgeschrieben
habe, zu entdecken um dann evt. die
mir Unbekannte Formulierung besser
zu verstehen. Ich verstehe nämlich nicht,
Was der $\forall$ Quantor vor einer
Klammer zu suchen hat. Das ist mir
föllig unbekannt. Ich habe auch immer
nur sowohl den $\forall$ als auch den
$\exists$ Quantor direkt vor einer Variablen geschrieben vorgefunden.

Dann kann ich auch nicht sehen,
wenn ich die Axiome so wie sie in
Wikipedia stehen, her nehme, wie hier
die Eindeutigkeit des Nachfolgers
sicher gestellt ist.

Zum Punkt III) möchte ich fragen,
warum n' keine Variable ist.

Das fehlen des n nach dem $\forall $
Quantor, also Punkt II), war ein Abschreibfehler, für den ich mich nur
entschuldigen kann.

Lg oliver


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6424
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-09 21:04    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo OliverFuchs,

hier ein paar Anmerkungen.

2020-08-09 14:35 - OliverFuchs im Themenstart schreibt:
i) Dabei hat Peano sie angeblich in der Prädikatenlogik 2ter Stufe formuliert. Heute scheint man sie aber eher in der Prädokstenlogik der Stufe 1 zu formulieren.

ii) 3) $\forall(n\in \mathbb{N}\Rightarrow n'\not= 0)$

iii) 2') $\forall n\in\mathbb {N} \exists ! n'\in \mathbb {N}, n\not= n'$.

i) Auch das von dir angegebene Axiomensystem ist zweiter Stufe. Ursache dafür ist Axiom Nummer 5. Dort wird nicht über Elemente sondern über Mengen quantisiert. Die Peanoaxiome lassen sich nicht erster Stufe formulieren. Was für einen Artikel meinst du (Link)?

ii) Hier fehlt immer noch das n nach dem Allquantor.

iii) Das ist kein adäquater Ersatz für Axiom 2. Dies ist noch nicht einmal eine wohlgeformte aussagenlogische Formel. Hinter einem Quantor dürfen nur Variablen stehen. n' ist aber keine Variable.


DerEinfaeltige
Senior
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 2519
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-09 15:25    [Diesen Beitrag zitieren]

Das 3. Axiom bewirkt noch mehr.

Betrachte doch einmal folgende Struktur

$N = \{0\}$
$x'= x$

und schaue, ob die nicht auch die anderen Axiome erfüllt.


OliverFuchs
Aktiv
Dabei seit: 25.03.2020
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-09 14:55    [Diesen Beitrag zitieren]

Lieber thureduehrsen!
Danke für die rasche Antwort.
Ja, ich beziehe mich auf diesen Artikel.
Du hast recht, ich habe beim dritten Axiom das $n$ vergessen das habe ich jetzt ausgebessert. Das ändert aber die Frage nicht, da das dritte Axiom ja nur sicher stellt das die $0$ nur einmal am Baum angeschlossen sein kann und damit das Startelement ist. Ich glaube sonst braucht man dieses Axiom nicht weiter.

Lg oliver


thureduehrsen
Senior
Dabei seit: 13.11.2007
Mitteilungen: 873
Herkunft: Kiel, Deutschland
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-09 14:43    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Hallo OliverFuchs,

du hast das dritte Axiom falsch abgeschrieben. In dem Wikipedia-Artikel Peano-Axiome steht auch beim dritten Axiom "\(\forall n(...)\)" dort.

Oder beziehst du dich auf einen anderen Artikel?


mfg
thureduehrsen
\(\endgroup\)

OliverFuchs
Aktiv
Dabei seit: 25.03.2020
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Themenstart: 2020-08-09 14:35    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich habe begonnen mich mit den Peanoaxiomen zu beschäftigen. Das ist für mich totales Neuland. In Wikipedia habe
Ich einen Artikel gefunden. Hier wird gesagt, dass es genau 5 Peanoaxiome gibt. Dabei hat Peano sie angeblich in der Prädikatenlogik 2ter Stufe formuliert. Heute scheint man sie aber eher in der Prädokstenlogik der Stufe 1 zu formulieren. Zumindest steht das in dem Artikel. Mir sagt beides nichts und wir haben das auch im Mathematikstudium nicht explizit gelernt. Der Umgang mit den Quantoren wurde, so zu sagen, on the fly, vermittelt. Daher habe ich darüber auch keine Kenntniss.

Nun stehen die Axiome in Wikipedia in der folgenden Form.
1) $0\in \mathbb{N}$
2) $\forall n(n\in \mathbb{N}\Rightarrow n'\in \mathbb{N})$
3) $\forall n(n\in \mathbb{N}\Rightarrow n'\not= 0)$
4) $\forall n,m(m,n\in\mathbb{N}\Rightarrow  (m'=n'\Rightarrow m=n))$
5) $\forall X(0\in X\wedge \forall n(n\in\mathbb{N} \Rightarrow (n\in  X\Rightarrow n'\in X))\Rightarrow \mathbb {N}\subseteq X)$

Nun glaube ich mich an eine Vorlesung erinnern zu können, in der das Thema kurz behandelt wurde. Grafisch gesprochen möchte man den rechten Halbstrahl der natürlichen Zahlen zu erzeugen.

Mit dem ersten Axiom hat man einen Anfang
geserzt. Das Element $0$. Mit dem dritten Axiom verhindert man, dass der Baum auch nach links wachsen kann. Von der Null kann man nur starten.  Das ist das erste Element. Nach meiner Erinnerung möchte man nun sowohl verhindern, dass wir nur die Null haben als auch dass wir einen verzweigten Baum haben.

Jetzt kommt meine Frage. Ich kenne die Notation wo der $\forall$ Quantor direkt vor der Variablen steht. $\forall n\in\mathbb {N}$. Hier steht er vor einer Klammer.
Das kenne ich eigentlich nicht. Ich nehme an Peano verwendet hier eine ältere Notationsform obwohl im Artikel gesagt wurde, man hätte die Schrebweisen von Peano in die modernen verwandelt.
Wenn ich nun garantieren müsste, dass es sicher noch ein weiteres Element in $\mathbb {N}$ ausser der $0$ gibt, so würde ich das zweite Axiom in der Quantorensprache, welche ich gelernt habe,
wie folgt schreiben.
2') $\forall n\in\mathbb {N} \exists ! n'\in \mathbb {N}, n\not= n'$.
Dann ist sicher gestellt. Dass es neben der $0$ gesichert zumindest noch ein weiteres Element gibt. Durch das ! ist der Nachfolger auch noch eindeutig bestimmt. Daher kann kein verzweigter Baum entstehen.

Ich glaube, dass das 4te Axiom der Schleifenbildung einen Riegel vor schiebt, aber das habe ich nicht überprüft.

Frage: Kann es sein, dass ich mit meimem zweiten Axiom 2') richtig liege und dass in Wikipedia mit 2) das selbe gemeint ist nur dass da andere Quantorenregeln verwendet werden?

Danke
Mfg oliver fuchs


 
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