Antworte auf:  Bilder von Normalteilern unter Gruppenhomomorphismen von Phoensie
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Themenübersicht
Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 252
Herkunft: Muri AG, Schweiz
 Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-23 23:45    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
2020-09-22 21:40 - Kezer in Beitrag No. 4 schreibt:
2020-09-22 21:36 - Phoensie in Beitrag No. 3 schreibt:
Kennt ihr (einfache) Beispiele, dass bei Weglassen der Surjektivität die Aussage nicht stimmt?

Lese bitte meinen Beitrag.

Lieber Kezer, ich musste mal kurz nachschauen, was unter kanonische Inklusion gemeint war (wir lernten dies als Einbettungsabbildung kennen). Danke fürs Beispiel, Wikipedia hat mir dein Exempel erleuchtet.👌


2020-09-22 21:56 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 5 schreibt:
Ein Beispiel liefert etwa die Funktion

$f: S_2\to S_3$, die eine Permutation auf sich selbst schickt. Diese Abbildung ist natürlich ein nicht-surjektiver Homomorphismus. Warum?
Wobei $S_2$, bzw. $S_3$ hier die jeweilige symmetrische Gruppe meint.

Leicht findest du nun einen Normalteiler in $S_2$, der kein Normalteiler in $S_3$ ist?

Danke vielmals PrinzessinEinhorn, ich habe das Beispiel mit einem Kommilitonen besprochen; hat geklappt.😁👍
\(\endgroup\)

PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2619
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-22 21:56    [Diesen Beitrag zitieren]


Kennt ihr (einfache) Beispiele, dass bei Weglassen der Surjektivität die Aussage nicht stimmt?

Ein Beispiel liefert etwa die Funktion

$f: S_2\to S_3$, die eine Permutation auf sich selbst schickt. Diese Abbildung ist natürlich ein nicht-surjektiver Homomorphismus. Warum?
Wobei $S_2$, bzw. $S_3$ hier die jeweilige symmetrische Gruppe meint.

Leicht findest du nun einen Normalteiler in $S_2$, der kein Normalteiler in $S_3$ ist?


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1039
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-22 21:40    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-09-22 21:36 - Phoensie in Beitrag No. 3 schreibt:
Kennt ihr (einfache) Beispiele, dass bei Weglassen der Surjektivität die Aussage nicht stimmt?

Lese bitte meinen Beitrag.


Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 252
Herkunft: Muri AG, Schweiz
 Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-22 21:36    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Ok.

\(\textbf{Satz.}\)
\(\phi:G\to G' \text{ surjektiv},\,N \triangleleft G \implies \phi[N] \triangleleft G'.\)


\(\textbf{Beweis.}\)
Sei \(N \triangleleft G\) ein Normalteiler, und \(\phi:G \to G'\) ein surjektiver Homomorphismus. Sei \(g \in G'\) mit Urbild \(b \in G\) (möglich wegen Surjektivität von \(\phi\)) und \(a \in N\). Dann gilt
\[
\begin{align*}
g^{-1}\phi(a) g
&= (\phi(b))^{-1} \phi(a) \phi(b) \\
&= \phi(b^{-1}) \phi(a) \phi(b) \\
&= \phi(b^{-1}ab),
\end{align*}
\] und weil \(N\) ein Normalteiler ist, ist auch \(b^{-1}ab \in N\) und somit \(\phi(b^{-1}ab) \in \phi[N]\).
Somit gilt zusammenfassend:
\[\forall \phi(a) \in \phi[N]: g \in G' \implies g^{-1}\phi(a)g \in \phi[N]\] und deshalb ist \(\phi[N] \triangleleft G'\) Normalteiler. QED.



Kennt ihr (einfache) Beispiele, dass bei Weglassen der Surjektivität die Aussage nicht stimmt?
\(\endgroup\)

Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1123
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-22 19:55    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Phoensie,

die Umkehrung gilt lediglich, wenn $\phi$ surjektiv ist. Dann kannst du nämlich ein Element $\phi(n)\in\phi(N)$ nehmen, und überlegen, ob $g'\phi(n)g'^{-1}\in\phi(N)$ für alle $g'\in G'$ ist. Die Surjektivität erlaubt dir, $g'$ als Bild eines Elements $g\in G$ auszudrücken. Von hier aus kannst du es ja erstmal selbst versuchen.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)

Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1039
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-22 19:54    [Diesen Beitrag zitieren]

Du musst zusätzlich fordern, dass $\phi$ surjektiv ist.

Ansonsten: Sei $U \subseteq G$ eine Untergruppe, die kein Normalteiler ist. Die kanonische Inklusion $U \hookrightarrow G$ ist bildet dann den Normalteiler $U \subseteq U$ auf einen Nicht-Normalteiler $U \subseteq G$ ab.


Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 252
Herkunft: Muri AG, Schweiz
 Themenstart: 2020-09-22 19:44    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Hallo miteinander!

Heute morgen habe ich eine Übungsaufgabe gelöst, die wiefolgt lautet:
Sei \(\phi:G \to G'\) ein Gruppenhomomorphismus, und seien \(G,G'\) multiplikativ notierte Gruppen. Dann ist das Urbild \(\phi^{−1}[N']\) eines Normalteilers \(N' \triangleleft G'\) ein Normalteiler von \(G\).

Die Lösung fiel mir relativ einfach, jedoch frage ich mich, ob man die Umkehrung (\(N \triangleleft G \implies \phi[N] \triangleleft G'\)) auch beweisen könnte (habe aber bislang keine Idee, wie das gehen soll).
\(\endgroup\)

 
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