Antworte auf:  Monotone Teilfolgen haben denselben Grenzwert von WagW
Forum:  Analysis, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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WagW
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 227
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-18 13:30    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Wally,

ich muss nochmal zurückrudern, da ich glaube, dass Du meine Frage nicht richtig verstanden hast. Das ist mir aber gestern zu später Stunde gar nicht mehr aufgefallen.

Es geht nicht darum, ob zwei Teilfolgen von $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ unterschiedliche Grenzwerte haben können, sondern ob man zwei unterschiedliche Grenzwerte erhalten kann, wenn man zwei Teilfolgen von $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ in $f$ einsetzt und dann die beiden Folgen der Bilder betrachtet. Die Frage ist also: Können diese beiden Folgen der Bilder unterschiedliche Grenzwerte haben?

viele Grüße
WagW


WagW
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 227
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-17 22:36    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Wally,

wir  wissen bereits, dass alle Teilfolgen einer konvergenten Folge denselben Grenzwert haben. Also kann ich auf diese Weise einen Widerspruch viel schneller/einfacher erzeugen.

Danke und viele Grüße

WagW


Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8915
Herkunft: Dortmund, Old Europe
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-17 20:58    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

man könnte argumentieren, dass ab einem \( n_0\) die \( a_n>0\) sind, und dann konvergiert die Folge der Kehrwerte gegen Null, und jede Teilfolge auch.

Wenn dann \( (a_n)\) eine Teilfolge mit einem anderen Grenzwert hätte, hätten die Kehrwerte auch einen Grenzwert ungleich Null.

Die Idee ist, einen (hoffentlich) bekannten Satz über konvergente Folgen zu benutzen. Die Monotonie braucht man nicht.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)

WagW
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 227
Herkunft:
 Themenstart: 2020-10-17 20:42    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen,

sei $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ eine monotone Funktion und $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge mit $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty$.

Ist es möglich, dass zwei monoton steigende Teilfolgen von $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ zwei verschiedene (endliche) Grenzwerte produzieren, wenn man sie in $f$ einsetzt?

Mein Beweis:

OBdA sei $f$ monoton steigend (ist $f$ monoton fallend verfährt man analog).

Seien $\left(c_{n_j}\right)_{j\in\mathbb{N}}$ und $\left(d_{n_i}\right)_{i\in\mathbb{N}}$ zwei monoton steigende Teilfolgen von $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$, welche wir in $f$ einsetzen. Die so entstehenden Teilfolgen $\left(f(c_{n_j})\right)_{j\in\mathbb{N}}$ und $\left(f(d_{n_i})\right)_{i\in\mathbb{N}}$ sind dann monoton steigend. Wir nehmen nun an, dass $\lim\limits_{j\to\infty}f(c_{n_j})=c$, $\lim\limits_{i\to\infty}f(d_{n_i})=d$ und $\epsilon:c-d>0$. Aufgrund der Konvergenz finde ich einen Index $j_0$, sodass für alle Folgenglieder mit $j>j_0$ und $i>j_0$ gilt: $|f(c_{n_j})-c|<\frac{\epsilon}{2}$ und $|f(d_{n_i})-d|<\frac{\epsilon}{2}$. Es folgt dann $f(d_{n_i})<d+\frac{\epsilon}{2}=c-\frac{\epsilon}{2}<f(c_{n_j})\implies f(d_{n_i})<f(c_{n_j})$ für alle $j>j_0$ und $i>j_0$. Beide Folgen $\left(c_{n_j}\right)_{j\in\mathbb{N}}$ und $\left(d_{n_i}\right)_{i\in\mathbb{N}}$ streben gegen $\infty$, daher finden wir zwei $c_{n_j}$ und $d_{n_i}$, sodass $j_0<j,j_0<i$ und $c_{n_j}\leq d_{n_i}$. Da $f$ monoton steigend ist, folgt daraus wiederum $f(c_{n_j})\leq f(d_{n_i})$. Dies ist aber ein Widerspruch, da wir für alle $j>j_0$ und $i>j_0$ vorausgesetzt hatten, dass $f(c_{n_j})> f(d_{n_i})$ gilt. Also kann $c>d$ nicht gelten. Den Fall $c<d$ handelt man analog ab, sodass am Ende nur noch $c=d$ gelten kann.

Ist das so korrekt? Intuitiv ist diese Aussage ja einleuchtend, aber der Beweis scheint mir mit den ganzen Indices etwas kompliziert. Vielleicht gibt es eine schnellere/elegantere Möglichkeit?

viele Grüße
WagW


 
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