Antworte auf:  Diagonalisierbarkeit im Zusammenhang mit Nilpotenz von X3nion
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Themenübersicht
X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 950
 Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-28 19:06    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke, stimmt! 🙂

Viele Grüße,
X3nion


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5275
Herkunft: Berlin

 Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-28 18:41    [Diesen Beitrag zitieren]

Nilpotenz kannst du am charakteristischen Polynom ablesen.


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 950
 Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-28 18:39    [Diesen Beitrag zitieren]

Hey Triceratops,
das ist interessant, die Matrix kannte ich noch nicht - vielen Dank dir!
Wieso folgt aber in diesem Falle, dass die Matrix $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ nicht nilpotent ist?

Viele Grüße,
X3nion


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5275
Herkunft: Berlin

 Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-28 18:07    [Diesen Beitrag zitieren]

Man kann die de.wikipedia.org/wiki/Begleitmatrix des Polynoms nehmen.


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 950
 Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-28 17:53    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo @zippy und @Triceratops und vielen Dank für eure Tipps!

Wäre dann z.B. die 2x2-Matrix $A' = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ eine Option? Denn es ist $det(A') \neq 0$ und A' somit invertierbar. Es folgt, dass A' nicht nilpotent ist.
Die 3x3-Blockdiagonalmatrix $A = \begin{pmatrix} A' & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ist damit auch nicht nilpotent. Ferner ist A auch nicht invertierbar, da det(A) = 0.
Das charakteristische Polynom von A ist $\chi_{A} = (T-1)^{2} \cdot T$. Damit sind $\lambda_{1} = 1$ und $\lambda_{2} = 0$ Eigenwerte von A, es ist jedoch $E_{\lambda_{1}} = ker(A - I_{3}) = ker \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \langle \{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\}\rangle$ und damit eindimensional, die algebraische Vielfachheit von $\lambda_{1}$ ist jedoch 2. Es folgt, dass A nicht diagonalisierbar ist.

Und ich konnte keine 3x3-Matrix mit $\chi_{A} = T^{2}(T+1)$ finden. magst du mir ein Beispiel nennen, Triceratops?

Viele Grüße,
X3nion


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5275
Herkunft: Berlin

 Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-28 00:47    [Diesen Beitrag zitieren]

1. Ja. :)

2. Finde eine Matrix $A$ mit $\chi_A = T^2(T+1)$ zum Beispiel.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1771
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-28 00:45    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-10-27 23:36 - X3nion im Themenstart schreibt:
Zu 2.: Wie könnte ich hierfür ein Gegenbeispiel finden?

Eine invertierbare nicht diagonalisierbare $2\times2$-Matrix lässt sich leicht finden. Diese Matrix ist wegen der Invertierbarkeit auch nicht nilpotent.

Wenn du nun diese Matrix durch eine 0 zu einer blockdiagonalen $3\times3$-Matrix ergänzt, hast du ein passendes Gegenbeispiel.

--zippy


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 950
 Themenstart: 2020-10-27 23:36    [Diesen Beitrag zitieren]

Guten Abend, liebe Community,

über folgende Aufgabe mache ich mir gerade Gedanken:

1. Sei $\mathbb{K}$ ein Körper. Beweise: Wenn $A \in M_{22}(\mathbb{K})$ weder invertierbar noch nilpotent ist, dann ist A diagonalisierbar.

2. Ein Gegenbeispiel dafür ist anzugeben, wenn $A \in M_{nn}(\mathbb{K})$ und $n \ge 3$ ist.


1. Sei $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$
Nun ist es ja so, dass aus der Nicht-Invertierbarkeit von A folgt, dass $det(A) = 0$, also $a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12} = 0$.

Es folgt damit $\chi_{A} = det(TI_{2} - A) = (T - a_{11})(T - a_{22}) - a_{12}a_{21} = T^{2} - Ta_{22} - Ta_{11} + a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = T(T - a_{22} - a_{11})$.
Weil A nun ferner nilpotent ist, folgt, dass $\chi_{A} \neq T^{2}$ ist, denn ansonsten wäre A nilpotent. Daraus folgt $-a_{22} - a_{11} \neq 0$.

Damit zerfällt $\chi_{A}$ in Linearfaktoren mit den Eigenwerten $\lambda_{1} = 0$ und $\lambda_{2} \neq 0$ und somit jeweils gleicher algebraischer wie geometrischer Vielfalt, jeweils nämlich 1.
Damit ist A diagonalisierbar.


Wäre 1. so okay?


Zu 2.: Wie könnte ich hierfür ein Gegenbeispiel finden? Also eine 3x3-Matrix mit det(A) = 0 zu kreieren ist jetzt nicht so schwer, aber dafür darüber hinaus eine nicht nilpotente Matrix, so dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist?


Ich wäre euch dankbar, wenn ihr einen Blick drüberwerfen könnntet! 🙂

Viele Grüße,
X3nion


 
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