Antworte auf:  Erweiterungssatz für gleichmäßig stetige Funktionen von Math_user
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Erledigt J


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Math_user
Aktiv
Dabei seit: 04.05.2019
Mitteilungen: 549
Herkunft: Deutschland

 Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-31 09:46    [Diesen Beitrag zitieren]

Tut mir leid, ich sah gestern vor lauter Mathematik die einfachsten Sachen nicht mehr. Vielen Dank für deine Ausführung und ein gutes Wochenende.


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5272
Herkunft: Berlin

 Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-30 19:32    [Diesen Beitrag zitieren]

Was genau verstehst du an der Definition nicht? Hast du mit der Schreibweise dort Probleme? Hast du die Definition eines Limes nachgeschlagen? Und natürlich sind konstante Folgen Beispiele von Folgen. Dass $F$ eine Erweiterung von $f$ ist, heißt $F(x)=f(x)$ für $x \in X$. Daher betrachtet man zum Nachweis $x \in X$ und nicht $x \notin X$. Wie $F$ auf ganz $Y$ definiert ist, steht dort.


Math_user
Aktiv
Dabei seit: 04.05.2019
Mitteilungen: 549
Herkunft: Deutschland

 Themenstart: 2020-10-30 19:28    [Diesen Beitrag zitieren]

Guten Abend zusammen

Ich befasse mich gerade mit folgendem Satz: Es seien $Y$ und $Z$ metrische Räume, und $Z$ sei vollständig. Ferner sei $X$ eine dichte Teilmenge von $Y$, und $f : X \to Z$ sei gleichmäßig stetig. Dann besitzt $f$ eine eindeutig bestimmte stetige Erweiterung $F : Y → Z$. Sie wird durch
$$F(y) = \lim_{x \to y,\, x\in X}\; f(x) ,\;\; y \in Y$$ gegeben und ist gleichmäßig stetig.

Nun verstehe ich nicht wie man genau $F$ definiert. Im Beweis steht: Ist $x \in X$, setzen wir $x_j := x$ für $j \in \Bbb N$ und finden $F(x) = \lim_{\,j}\; f(x_j) = f(x)$.
Also stellt $F$ eine Erweiterung von $f$ dar.

Ich verstehe diese Definition nicht, sei $x \in X$ so definieren wir $x_j:=x$ aber dies ist ja keine Folge oder? Wieso können wir da denn Limes nehmen? And was ist mit $x \in Y \setminus X$?

Vielen Dank für eure Hilfe und bleibt gesund
Math_user


 
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