Antworte auf:  g Sekante <=> Strecke zum Lotfußpunkt kleiner als Radius von bananachraumschiff
Forum:  Geometrie, moderiert von: viertel

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Wario
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Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 375
 Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-21 19:41    [Diesen Beitrag zitieren]

2021-01-20 14:25 - bananachraumschiff im Themenstart schreibt:
folgendes ist z.z.: K ist ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt M, F ist der Lotfußpunkt von M auf Gerade g. Dann gilt:
(i) Der Abstand von M zu F ist kleiner als r, gdw. g und K zwei Schnittpunkte haben.
(ii) Der Abstand von M zu F ist genauso groß wie r, wenn g und K einen Schnittpunkt haben.
(iii) Der Abstand von M zu F ist größer als r, gdw. g und K keine Schnittpunkte haben.

Die Fälle sehen so aus:
<math>
\pgfmathsetmacro{\r}{2}
\pgfmathsetmacro{\a}{2.75}

\pgfmathsetmacro{\Xshift}{\a+0.125}

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\makeatletter
\long\def\ifcoorddefined#1#2#3{%
\@ifundefined{pgf@sh@ns@#1}{#3}{#2}%
}
\makeatother

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
]

\newcommand{\kreisgerade}[1]{%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro{\v}{#1}
\coordinate[label=below:$M$] (M) at (0,0);
\coordinate[label=above:$$] (T) at (133:\r);

\draw[name path=kreis] (M) circle[radius=\r];

\draw[] (M) -- ($(M)!\r cm + \v cm!(T)$) coordinate[label=above:$F$] (F);

\draw[] (F) -- ($($(M)!(F)!(F)$)!\a cm!90:(F)$) coordinate(A);
\draw[] (F) -- ($($(M)!(F)!(F)$)!-\a cm!90:(F)$) coordinate(B);
\path[name path=gerade] (A) -- (B);

\draw pic [draw, angle radius=2mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\cdot$",
] {angle =M--F--B};


\path[name intersections={of=kreis and gerade, name=S, total=\tot}, savevalue={\t}{\tot}];
\ifnum\t=2
\foreach\p/\Pos in {1/left, 2/above}{
\coordinate[label=\Pos:$S_\p$] (S\p) at (S-\p);    }
\fi

\pgfmathsetmacro{\test}{\v < 0 ? 1 : 0}
\ifnum\test=1
\draw[densely dashed] (M) -- (S1);
\draw[densely dashed] (M) -- (S2);
\else
\coordinate[label=above:$P$] (P) at ($(B)!0.25!(F)$);
\draw[densely dashed] (M) -- (P);
\fi

%% Punkte
\foreach \P in {M, F, S1, S2, P}{
\ifcoorddefined{\P}{  \draw[fill=black!1] (\P) circle[radius=1.5pt];  }{}
}
}%%%%%%%%%

\kreisgerade{0.65}

\begin{scope}[xshift=\Xshift*\r cm]
\kreisgerade{-0.4}
\end{scope}

\begin{scope}[xshift=2*\Xshift*\r cm]
\kreisgerade{0}
\end{scope}

\end{tikzpicture}
</math>

Rein geometrisch würde ich, mit Hilfe eines Hilfspunktes $P$, jeweils damit argumentieren, dass die Hypotenuse die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist; und dazu bei Bedarf einen Widerspruchsbeweis formulieren.


haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 2840
 Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-21 16:36    [Diesen Beitrag zitieren]

kitaktus, wiso soll der (längen-)vergleich der strecke des lot´s zur passante mit einem in gleicher richtung liegenden radius nicht konstruktiv gelten? längen kann man doch prima mit nem zirkel abtragen und vergleichen


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6778
Herkunft: Niedersachsen

 Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-21 13:56    [Diesen Beitrag zitieren]

Ein konstruktiver Beweis wäre dann die Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks aus den Größen MF (MF<r) und r (=Hypothenuse)?!

Wie man konstruktiv(!) zeigen soll, dass eine Passante einen Kreis nicht schneidet, ist mir nicht klar.


haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 2840
 Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-20 16:23    [Diesen Beitrag zitieren]

hm, schon ne skizze hilft oft

dann zeichne doch mal einen kreis und eine gerade die den kreis 2x schneidet, sowie das gewünschte lot von M aus

danach evtl einen 2. kreis um M der durch F geht??? oder eine beschreibung wo F liegt in bezug auf irgend etwas dir auffälligem?



bananachraumschiff
Junior
Dabei seit: 15.02.2020
Mitteilungen: 10
 Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-20 16:03    [Diesen Beitrag zitieren]

2021-01-20 15:18 - Kitaktus in Beitrag No. 1 schreibt:
Wenn MF<r ist, dann liegt F ja sicher ...
Wenn man sich entlang g von F entfernt, dann nimmt der Abstand zu M streng monoton zu (warum?) und steigt unbeschränkt. Aus Stetigkeitsgründen schneidet man daher auf beiden Seiten von F je einmal den Kreis, weil ...

Ich darf leider nur geometrische Beweismethoden benutzen, also Konstruktionen innerhalb der euklidischen Geometrie.


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6778
Herkunft: Niedersachsen

 Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-20 15:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Wenn MF<r ist, dann liegt F ja sicher ...
Wenn man sich entlang g von F entfernt, dann nimmt der Abstand zu M streng monoton zu (warum?) und steigt unbeschränkt. Aus Stetigkeitsgründen schneidet man daher auf beiden Seiten von F je einmal den Kreis, weil ...


bananachraumschiff
Junior
Dabei seit: 15.02.2020
Mitteilungen: 10
 Themenstart: 2021-01-20 14:25    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

folgendes ist z.z.: K ist ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt M, F ist der Lotfußpunkt von M auf Gerade g. Dann gilt:
(i) Der Abstand von M zu F ist kleiner als r, gdw. g und K zwei Schnittpunkte haben.
(ii) Der Abstand von M zu F ist genauso groß wie r, wenn g und K einen Schnittpunkt haben.
(iii) Der Abstand von M zu F ist größer als r, gdw. g und K keine Schnittpunkte haben.

(ii) habe ich schon gezeigt, und wollte als nächstes (i) zeigen, damit ich bei (iii) nur noch eine Fallunterscheidung machen muss.

Jetzt hänge ich aber leider bei (i) fest und hab nicht so richtig eine Idee, wie ich das am besten zeigen. (Wir dürfen keine Vektorrechnung benutzen). Hat jemand Ideen?

Liebe Grüße.


 
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