Antworte auf:  Voraussetzung für den Gauß'schen Integralsatz von julian2000P
Forum:  Integration im IR^n, moderiert von: Curufin epsilonkugel

[Zur Forum-Gliederung] [Wie man Fragen beantwortet] [Themenstart einblenden]

  Alle registrierten Mitglieder können Mitteilungen schreiben.
Benutzername:
Passwort:
Nachricht-Icon:                   
                  
              
Nachricht:


 
 


Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
 Show Preview      Write using fedgeo formula editor or Latex.

Smilies for your message:
😃 😄 😁 🙂 🙃 😉 🤗 🤫 🤔 🙄 😴 🤒 😎 😮 😲 😂
🙁 😖 😒 😐 😡 👌 👍 👎 🤢 🤧 🥵 🥶 😵 🤯 😛 😷
Optionen: Deaktiviere HTML in dieser Nachricht
Deaktiviere MATHML in dieser Nachricht. Wenn Dein Text $-Zeichen enthält, die nicht LaTeX-Formeln begrenzen.
Deaktiviere Smilies in dieser Nachricht
Zeige die Signatur (Kann in 'Mein Profil' editiert werden.)
    [Abbrechen]
 
Beachte bitte die [Forumregeln]


Themenübersicht
julian2000P
Aktiv
Dabei seit: 25.10.2020
Mitteilungen: 133
 Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-24 15:03    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

danke für deine Antwort und den Hinweis es mit dem Hauptsatz zu versuchen. Dann werde ich mir das ganze nochmal ansehen.

Grüße


StefanVogel
Senior
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3864
Wohnort: Raun

 Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-23 06:38    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo julian2000P,
das würde ich in der Richtung versuchen, für eine auf \([a,b]\) stetige und in \((a,b)\) stetig differnzierbare Funktion \(f\) und ein beliebig kleines \(\varepsilon\) gilt

\(\displaystyle\int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f'(x) \operatorname{d}x = f(b-\varepsilon) - f(a+\varepsilon)\).

Das Integral links existiert (LinkLebesgue-Integrierbarkeit stetiger Funktionen mit kompaktem Träger) und die rechte Seite konvergiert gegen \(f(b)-f(a)\) wegen der Stetigkeit von \(f\) auf ganz \([a,b]\). Ich bin mir aber nicht sicher, ob da noch ein entscheidendes Detail fehlt, speziell wegen dem \(\operatorname{d}\lambda\).

Viele Grüẞe,
  Stefan


julian2000P
Aktiv
Dabei seit: 25.10.2020
Mitteilungen: 133
 Themenstart: 2021-01-20 22:01    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen,

Ich soll für die Menge $G:= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 < 1, y \neq 0\}$ und $f=(f_1,f_2)^T: \bar{G} \to \mathbb{R}^2$ stetig und $f|_G$ stetig differenzierbar den Gauß'schen Integralsatz zeigen.
\[
\int_{G} \text{div}f(x)\; d\lambda(x) = \int_{\partial \circ G} \Lambda(y)^T f(y) \; d\mu(y)
\] Ich denke dass der Satz direkt aus einem anderen Integralsatz, den wir in der Vorlesung bereits bewiesen haben, folgt. Ich scheitere nur daran, eine Voraussetzung dieses Satzes zu überprüfen. Nämlich, dass die partiellen Ableitungen $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ integrierbar sein müssen (in dem Fall muss ich die Grundmenge ja in eine obere und untere Hälfte aufspalten und die VS darauf überprüfen, ich bezeichne die obere Hälfte mit $G_1$).

Also ich muss zeigen/überprüfen, dass
\[
\int_{G_1} |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}| \; d \lambda < \infty
\] Kann mir hier jemand helfen oder einen Tipp geben?


 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]