Antworte auf:  Dimension bestimmen von Francesco
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Themenübersicht
Francesco
Aktiv
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 21
 Beitrag No.8, eingetragen 2021-01-24 18:45    [Diesen Beitrag zitieren]

Vielen Dank :)


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5542
Herkunft: Berlin

 Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-24 01:19    [Diesen Beitrag zitieren]

2021-01-23 23:44 - Francesco in Beitrag No. 6 schreibt:
Ist nun, da alles von dem einem Parameter $x_4$ abhängt, die Dimesion gleich 1?

Man muss noch ergänzen, dass der Parameter auch beliebig gewählt werden kann. Zum Beispiel hängt beim Unterraum $\{(0,0,0,0)\}$ auch alles vom Parameter $x_4$ ab.

Aber anstatt hier mit solchen Worten zu arbeiten, die leicht falsch interpretiert werden können, ist es vielleicht besser, direkt die Basis $\{(1,-1,-1,1)\}$ von $U \cap V$ hinzuschreiben, womit die Dimension ja abgelesen werden kann.


Francesco
Aktiv
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 21
 Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-23 23:44    [Diesen Beitrag zitieren]

Also, wenn ich mittels Gauß-Verfahren das LGS löse komme ich auf
$$ \begin{array}{rrrr|r}
1&1&0&0&0\\
0&-1&1&0&0\\
0&0&1&1&0
\end{array}
$$ und dann nach Umformen auf das Ergebnis
$$ x_1=x_4\\
x_2=-x_4\\
x_3=-x_4\\
x_4=x_4
$$
Ist nun, da alles von dem einem Parameter $x_4$ abhängt, die Dimesion gleich 1?


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6521
Herkunft: Rosenfeld, BW

 Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-23 23:27    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

nein. Du musst schon sauber die Lösungsmenge des LGS bestimmen (das LGS selbst ist richtig). Da es unterbestimmt ist, benötigt man dazu den einen oder anderen Parameter. Die Anzahl der benötigten Parameter ist die gesuchte Dimension...


Gruß, Diophant


Francesco
Aktiv
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 21
 Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-23 23:24    [Diesen Beitrag zitieren]


Der Schnitt muss aber sicherlich alle drei Gleichungen erfüllen...

Also reicht schon?:

Da $V$ durch $x_1+x_2=0$ und $U$ durch $x_1+x_3=0=x_2+x_3$ charakterisiert werden, muss der Schnitt $U\cap V$ folgendes Gleichungssystem erfüllen:
$$ \begin{array}{c}
x_1+x_3=0\\
x_2+x_4=0\\
x_1+x_2=0
\end{array}
$$ Dies ist jedoch nur der Fall, wenn $x_2,x_3,x_4=0$ und somit folgt:
$$ dim(U\cap V)=dim((x_1))=1
$$


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6521
Herkunft: Rosenfeld, BW

 Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-23 23:14    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

2021-01-23 23:04 - Francesco in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie weißt du das mein Resultat richtig ist ohne das meine Begründung nachvollziehbar ist? Durch deine Vorschläge?

Weil ich es beinahe ohne Rechnung gelöst habe... 😉

2021-01-23 23:04 - Francesco in Beitrag No. 2 schreibt:
...und ich wüsste auch nicht welches LGS ich aufstellen könnte. 🤔

Nun, U ist ja im Prinzip durch zwei Gleichungen gegeben (die in einer Gleichungskette zusammengefasst wurden). V ist durch eine Gleichung beschrieben.

Der Schnitt muss aber sicherlich alle drei Gleichungen erfüllen...


Gruß, Diophant


Francesco
Aktiv
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 21
 Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-23 23:04    [Diesen Beitrag zitieren]

2021-01-23 22:59 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
dein Resultat ist schon richtig. Die Begründung ist jedoch (für mich) nicht nachvollziehbar.
Wie weißt du das mein Resultat richtig ist ohne das meine Begründung nachvollziehbar ist? Durch deine Vorschläge?

2021-01-23 22:59 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Was spricht denn eigentlich gegen ein LGS, bzw. die Berechnung des Kerns der zugehörigen Matrix?

Leider haben wir den Kern einer Matrix noch nicht wirklich behandelt und ich wüsste auch nicht welches LGS ich aufstellen könnte. 🤔

Als Hinweis haben wir bekommen, dass wir diese Aufgabe beinahe ohne Rechnung lösen können.

Liebe Grüße


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6521
Herkunft: Rosenfeld, BW

 Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-23 22:59    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

dein Resultat ist schon richtig. Die Begründung ist jedoch (für mich) nicht nachvollziehbar.

Was spricht denn eigentlich gegen ein LGS, bzw. die Berechnung des Kerns der zugehörigen Matrix?


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von Diophant]


Francesco
Aktiv
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 21
 Themenstart: 2021-01-23 22:47    [Diesen Beitrag zitieren]

Guten Abend, ich sitze seit geraumer Zeit an einer vermeintlich einfachen Aufgabe. Ich soll $dim(U\cap V)$ bestimmen mit
$$ U=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4\mid x_1+x_3=0=x_2+x_4\}
$$ und
$$ V=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4\mid x_1+x_2=0\}
$$ Mein Ansatz wäre
$$ dim(U\cap V)=dim(x_1)=1,
$$ jedoch glaube ich das ich falsch liege bzw. den Schnitt schon falsch bilde. Kann mir da wer Helfen? Liebe Grüße


 
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