Antworte auf:  Taylorreihe des Log - Konvergenz von WagW
Forum:  Taylorentwicklungen, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Themenübersicht
ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3407
Wohnort: der Nähe von Schwerin

 Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-25 10:39    [Diesen Beitrag zitieren]
Hallo, entschuldige bitte, das, was ich geschrieben hatte, war Unsinn.

WagW
Aktiv
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Mitteilungen: 286
 Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-25 10:17    [Diesen Beitrag zitieren]
Hallo ochen, Wie meinst Du das ? \quoteon(2021-02-25 08:04 - ochen in Beitrag No. 1) Hallo \quoteon(2021-02-24 23:42 - WagW im Themenstart) [...] Mein Ansatz: \[\ldots=|\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{(-1)^{k+1}}k(x-1)^k|=|\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{(-1)^{2k+1}}k(x-1)^k| \] \quoteoff Der Schritt ist leider falsch. Es geht eher um den Punkt $x=1$. Untersuche $x$ also nicht in der Nähe der Null, sondern in der Nähe der 1. \quoteoff Bei dem was Du zitierst sind $x$ und $-1$ vertauscht, das ist bei mir nicht?!

ochen
Senior
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 Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-25 08:04    [Diesen Beitrag zitieren]
Hallo \quoteon(2021-02-24 23:42 - WagW im Themenstart) Hallo zusammen, ich weiß, dass die Taylorreihe des Logarithmus, im Punkt $x=1$ entwickelt, punktweise konvergiert (also wenn $x\in(0,2)$ ). Hierbei sei $S_n(x):=\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}k(x-1)^k$. Wie zeige ich, dass die Taylorreihe nicht gleichmäßig konvergieren kann? Mein Ansatz: \[\ldots=|\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{(-1)^{k+1}}k(x-1)^k|=|\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{(-1)^{2k+1}}k(x-1)^k| \] \quoteoff Der Schritt ist leider falsch. Es geht eher um den Punkt $x=1$. Untersuche $x$ also nicht in der Nähe der Null, sondern in der Nähe der 1.

WagW
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 286
 Themenstart: 2021-02-24 23:42    [Diesen Beitrag zitieren]
Hallo zusammen, ich weiß, dass die Taylorreihe des Logarithmus, im Punkt $x=1$ entwickelt, punktweise konvergiert (also wenn $x\in(0,2)$ ). Hierbei sei $S_n(x):=\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}k(x-1)^k$. Wie zeige ich, dass die Taylorreihe nicht gleichmäßig konvergieren kann? Mein Ansatz: Für alle $x\in(0,2)$ existiert $\ln x = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}k(x-1)^k$ bekanntlich. Sei nun $(0,\delta)\subseteq(0,2)$ ein beliebiges Intervall (offen, halboffen,abgeschlossen). Um zu zeigen, dass keine gleichmäßige Konvergenz vorherrscht, wenden wir das Cauchy-Kriterium an bzw. zeigen, dass dieses nie erfüllt sein kann, also: $\exists \epsilon>0$, sodass für alle $n_0\in\mathbb{N}$ es, $n>m>n_0$ gibt, sodass $\Vert S_m-S_n\Vert_{\infty}\geq\epsilon$. Wir nehmen an, dass $0<\delta\leq1$ und beachten, dass $0\leq1-x<1$ und somit $(1-x)^k\leq(1-x)^{k+1}$. Dann schätzen wir ab: $\Vert S_m-S_n\Vert_{\infty}\geq|S_n(x)-S_m(x)|=|\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{(-1)^{k+1}}k(x-1)^k|=|\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{(-1)^{2k+1}}k(1-x)^k|=|-\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{(1-x)^k}k|\geq \sum\limits_{k=m+1}^n\frac{(1-x)}k=(1-x)\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{1}k$. Da die harmonische Reihe divergiert, kann das Cauchy-Kriterium nie erfüllt sein. Im Fall $1<\delta<2$ geht das aber irgendwie nicht so einfach. Ich habe sogar den Eindruck, dass die Taylorreihe für $x\in(1,2)$ gleichmäßig konvergiert, weil da dann eine Leibniz-Reihe auftaucht, aber man findet halt kein fixes $x\in(1,2)$!? $|S_n(x)-S_m(x)|=|\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{(-1)^{k+1}}k(x-1)^k|=...$? Ist der erste Teil denn wenigstens richtig? Und wie geht man beim zweiten Teil vor? Viele Grüße WagW

 
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