Antworte auf:  Konstruktion einer Kurve auf einer geschlitzten Ebene im R^2 von Phoensie
Forum:  Geometrie, moderiert von: viertel

[Zur Forum-Gliederung] [Wie man Fragen beantwortet] [Themenstart einblenden]

  Alle registrierten Mitglieder können Mitteilungen schreiben.
Benutzername:
Passwort:
Nachricht-Icon:                   
                  
              
Nachricht:


 

Erledigt J


Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
 Show Preview      Write using fedgeo formula editor or Latex.

Smilies for your message:
😃 😄 😁 🙂 🙃 😉 🤗 🤫 🤔 🙄 😴 🤒 😎 😮 😲 😂
🙁 😖 😒 😐 😡 👌 👍 👎 🤢 🤧 🥵 🥶 😵 🤯 😛 😷
Optionen: Deaktiviere HTML in dieser Nachricht
Deaktiviere MATHML in dieser Nachricht. Wenn Dein Text $-Zeichen enthält, die nicht LaTeX-Formeln begrenzen.
Deaktiviere Smilies in dieser Nachricht
Zeige die Signatur (Kann in 'Mein Profil' editiert werden.)
    [Abbrechen]
 
Beachte bitte die [Forumregeln]


Themenübersicht
Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 430
Wohnort: Muri AG, Schweiz

 Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-25 19:17    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
2021-02-25 16:59 - sonnenschein96 in Beitrag No. 1 schreibt:
Was spricht gegen \(\alpha(t)=\beta(t)=\arg(a)+t(\arg(b)-\arg(a))\)?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Nichts, ich hab einfach gedacht das wäre zu einfach (im Sinne: Löst du eine Aufgabe und funktioniert es beim ersten Ansatz, ist die Chance da, dass irgendwas faul ist 😁). Das klappt aber auf jeden Fall, danke für den Hinweis!


2021-02-25 16:59 - sonnenschein96 in Beitrag No. 1 schreibt:
Es wäre wohl einfacher gewesen, beide Punkte jeweils durch eine Gerade mit \((1,0)\) zu verbinden.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)

Wäre tatsächlich einfacher, aber ich finde die "kurvige" Lösung "geschmeidiger"/schöner.😄 Solche "Finde die Funktion, die ..."-Probleme mag ich ganz gerne.🤗

Gruss Phoensie
\(\endgroup\)

sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 439
 Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-25 16:59    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Phoensie,

zunächst einmal wäre es wohl einfacher gewesen, beide Punkte jeweils durch eine Gerade mit \((1,0)\) zu verbinden.

Ohne lange darüber nachgedacht zu haben, aber was spricht gegen \(\alpha(t)=\beta(t)=\arg(a)+t(\arg(b)-\arg(a))\)? Also wie Du es bei \(r\) ja auch schon gemacht hast. Solange Du \(\arg(a),\arg(b)\in(-\pi,\pi)\) wählst, sollte das kein Problem sein, da Du durch Konvexkombinationen dieses Intervall nicht verlässt. Die Richtung ergibt sich automatisch, Du läufst eben von \(a\) nach \(b\).


Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 430
Wohnort: Muri AG, Schweiz

 Themenstart: 2021-02-25 15:37    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Hallöchen miteinander

Ich versuche gerade mir eine bestimmte Kurve zu formulieren. Folgende Ausgangslage ist relevant: Man betrachte $X_1 := \R^2 \setminus \{(x,0) \in \R^2 \mid x \leq 0\}$, eine geschlitzte Ebene. Seien $a=(a_1,a_2)$ und $b=(b_1,b_2)$ Elemente von $X_1$ (also Punkte der geschl. Ebene).

Fragestellung.
Verbinde $a$ und $b$ mit einer stetigen Kurve, die in $X_1$ verläuft.

Mein Ansatz.
Informell kann man sich mit ein wenig Rumskizzieren schnell davon überzeugen, dass zwei Punkte in $X_1$ stets mit einem geschickt gewählten kreisähnlichen Bogen verbunden werden können. Ich möchte für den Formalismus dazu gerne über die Polarkoordinatendarstellung im $\R^2$ vorgehen. Bekanntlich ist für $x \in \R^2$
\[
\|x\| := \|x\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}
\] und der Winkel $\arg(x)$ lässt sich beispielsweise im ersten Quadranten mit $\arg(x)=\arctan(x_2/x_1)$ berechnen. Meine Kurve soll $\gamma$ heissen:
\[
\gamma: [0;1] \to X_1, \, t \mapsto \gamma(t),
\] stetig sein und $\gamma(0)=(a_1,a_2)$ sowie $\gamma(1)=(b_1,b_2)$ erfüllen. $\gamma$ soll eine kreisähnliche Bahn haben und den Betrag linear skalieren. Dazu führe eine "Betragsskalierung" $r:[0;1] \to \R_+$ mit
\[
t \mapsto r(t) := \|a\| + t(\|b\|-\|a\|)
\] ein. Ich hoffe meine Grundidee kristallisiert sich inzwischen raus. Nun definiere ich
\[
\gamma(t) := \big( r(t) \cos(\alpha(t)), r(t)\sin(\beta(t)) \big)
\] und muss nun nur noch meine "Winkelskalierer" $\alpha,\beta:[0;1] \to \R$ bestimmen, die mir den Winkel beschreiben. $\alpha$ und $\beta$ müssen vermutlich mit Fallunterscheidung $\arg(a)$ grösser/kleiner $\arg(b)$ arbeiten, um die Information der Richtung (Uhrzeiger-/Gegenuhrzeigersinn) zu "verpacken".

Habt ihr Anregungen? Würde mich freuen.😄

Gruss Phoensie
\(\endgroup\)

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]