Antworte auf:  Stetige Differenzierbarkeit von Bilinearformen von GaussGauss
Forum:  Mehrdim. Differentialrechnung, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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StefanVogel
Senior
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3848
Wohnort: Raun

 Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-06 09:23    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo GaussGauss,
dafür ist bestimmt die Voraussetzung endlichdimensional gedacht, denn da sind alle Normen äquivalent, so dass du dir selbst irgendeine Norm definieren kannst.

Viele Grüße,
  Stefan


GaussGauss
Aktiv
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 66
 Themenstart: 2021-03-02 13:41    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi !

Ich soll zeigen, dass eine bilineare Abbildung $a: A\times B \to C$ mit endlich. dim. normierten VR $A,B,C$ stetig differenzierbar ist und dass das Differential gegeben ist durch: $Da(x,y)(a_1,h_2) = a(x,h_2) + a(h_1,y)$ für alle $(x,y),(h_1,h_2)\in A\times B$. Dafür habe ich in die Definition eingesetzt und wollte zeigen, dass das angegebene Differential tatsächlich die Ableitung ist. Durch einfaches Nachrechnen komme ich auf
$\frac{a(x+h_1,y+h_2)-(a(x,y)+a(x,h_2)+a(h_1,y))}{\|h\|}=...=\frac{a(h_1,h_2)}{\|h\|}$ wobei nach GÜ $\|h\| \to 0$ der Ausdruck gegen 0 konvergieren soll. Soweit nach der Def. aus der Vorlesung. Jedoch frage ich mich hier nun, wie ich weiter vorgehen soll (hatte an Stetigkeit und somit Beschränktheit von $a$ gedacht) bzw. was überhaupt $\|h\|$ sein soll, denn $h=(h_1,h_2)\in A\times B$ also ist dieser Normausdruck irgendwie ja gar nicht definiert oder ? Bzw. welche Norm ist hier denn nun gemeint ? 🙂

Freue mich über Antworten
Gruß!

Edit: man bräucht wohl dann die Norm am kartesischen Produkt $A\times B$ soweit ich das sehe um $\|(h_1,h_2)\|$ definieren zu können.


 
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