Antworte auf:  Linear unabhängige und orthogonale Vektoren von GaussGauss
Forum:  Lineare Unabhängigkeit, moderiert von: Fabi Dune ligning

[Zur Forum-Gliederung] [Wie man Fragen beantwortet] [Themenstart einblenden]

  Alle registrierten Mitglieder können Mitteilungen schreiben.
Benutzername:
Passwort:
Nachricht-Icon:                   
                  
              
Nachricht:


 
 


Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
 Show Preview      Write using fedgeo formula editor or Latex.

Smilies for your message:
😃 😄 😁 🙂 🙃 😉 🤗 🤫 🤔 🙄 😴 🤒 😎 😮 😲 😂
🙁 😖 😒 😐 😡 👌 👍 👎 🤢 🤧 🥵 🥶 😵 🤯 😛 😷
Optionen: Deaktiviere HTML in dieser Nachricht
Deaktiviere MATHML in dieser Nachricht. Wenn Dein Text $-Zeichen enthält, die nicht LaTeX-Formeln begrenzen.
Deaktiviere Smilies in dieser Nachricht
Zeige die Signatur (Kann in 'Mein Profil' editiert werden.)
    [Abbrechen]
 
Beachte bitte die [Forumregeln]


Themenübersicht
GaussGauss
Aktiv
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 66
 Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-04 20:26    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi,
Danke für die Antwort ! :) dann komm ich da in meinem Fall eh nicht weiter, trotzdem danke !

Grüße


Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 435
Wohnort: Muri AG, Schweiz

 Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-04 15:39    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Lieber GaussGauss

Ja, das ist richtig. Wenn du einen Vektor $0 \neq x=(x_1,\ldots,x_n) \in \R^n$ gegeben hast (also die $x_i$ kennst), dann kannst du zur Konstruktion einer orthogonalen Basis des $\R^n$ wiefolgt vorgehen:

(1) Betrachte die Standardbasis $\{e_1,\ldots,e_n\}$ des $\R^n$ mit $e_i=(0,\ldots,0,\underbrace{1}_{i},0,\ldots,0)$.

(2) Wenn $x \not\equiv 0$ ist, dann ist mindestens eine Vektorkomponente von null verschieden. Angenommen, $x_i \neq 0$. Ersetze dann den $i$-ten Standardbasisvektor mit deinem Vektor. Die so erhaltene Vektorfamilie ist nach dem Austauschlemma von Steinitz immer noch eine Basis des $\R^n$.

(3) Orthogonalisiere deine Vektorfamilie mit Hilfe von Gram-Schmidt. Ist die Normierung nicht gewünscht, kannst du diese weglassen.

(4) Die so konstruierte Familie von $n$ Vektoren ist dann eine orthogonalisierte Basis des $\R^n$.

LG Phoensie
\(\endgroup\)

GaussGauss
Aktiv
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 66
 Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-04 13:05    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi ochen,

ok danke dir für die schnelle Antwort. Das heißt aber, um diese Menge an linear unabhängigen und zu x orthogonalen Vektoren angeben zu können, braucht man schon x als explizit gegeben, verstehe ich das richtig ? Ich weiß in dem Fall nämlich nur ganz allgemein, dass $x=(x_1,...,x_n)^t \in \mathbb{R}^n$ gilt, kenne x aber nicht explizit. Dass es aber so eine Menge an Vektoren gibt, reicht mir für die Aufgabe.

Danke und Grüße 🙂


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3284
Wohnort: der Nähe von Schwerin

 Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-04 10:07    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo GaussGauss,

ja, das ist immer möglich. Wenn $x=0$ ist, dann nimm die ersten $n-1$ Standardbasisvektoren. Die sind linear unabhägig und orthogonal auf $x$. Wenn $x\neq 0$ dann kannst du eine Basis finden, die $x$ enthält und diese mit dem Gram-Schmidt-Verfahren orthogonalisieren.


GaussGauss
Aktiv
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 66
 Themenstart: 2021-03-04 09:53    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,
ist es denn immer möglich zu einem festen Vektor $x\in\mathbb{R}^n$ n-1 viele linear-unabhängige (das ist auf jeden Fall noch möglich) und zu $x$ orthogonale Vektoren zu finden ?

Grüße


 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]