Antworte auf:  Konstruktion eines Trapezes aus den beiden Diagonalen und den beiden nicht-parallelen Seiten von qwer1qwer
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Wario
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Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 502
 Beitrag No.20, eingetragen 2021-05-06 16:19    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich bin mit der Konstruktion #19 nicht zufrieden, da es normalerweise nicht die Idee ist, Rechenergebnisse zu bestimmen und diese dann zu konstruieren.

Es müsste eine Konstruktion geben, die -wie üblich- allein auf Strecken- und Winkelsätzen beruht.

Nach #19 gibt es ein Verhältnis $\dfrac{a}{c}=\dfrac{q^2}{r^2}.$

Das Verhältnis findet man, gemäß dem Kathetensatz ($q^2=a(a+c)$ und $r^2=c(a+c)$, vgl. Abbildung), in einem Thaleskreis über dem Ergänzungsparallelogramm.

Achtung: Die Bezeichnungen $q$ und $r$ sind an #19 angelehnt, aber anders als in #19 ist in folgendem Bild nicht $q^2 =f^2+b^2-e^2-d^2$ bzw. $r^2=f^2+d^2-e^2-b^2$. Es ist stattdessen ein anderes Paar $q$ und $r$ für das das genannte Verhältnis gilt.

Wenn sich also $q$ und $r$ aus der Abbildung aus $b,d,e,f$ konstruieren lassen, dann ist eine Konstruktion möglich, die nicht voraussetzt die Rechenergebnisse zu kennen.

Ich habe dafür zur Zeit keine Lösung. Da dürfen gerne mehr als 1 Paar Augen drüber nachdenken.
 


Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 502
 Beitrag No.19, eingetragen 2021-04-26 08:55    [Diesen Beitrag zitieren]

a. Es ist nicht sinnvoll einen komplizierten Term (#8) herzuleiten und diesen dann mit Gewalt zu konstruieren, nur weil es grundsätzlich möglich ist.
Man verwendet soweit möglich anschauliche Methoden.

b. Der relativ einfallslose Titel "Planimetrie" dieses Treads hier sollte sinnvoll korrigiert werden. Das ist doch nicht so schwer; wie wäre es mit: "Konstruktion eines Trapezes aus den beiden Diagonalen und den beiden nicht-parallelen Seiten"?
___________________________


Die
 Rechnung
2021-04-04 11:52 - qwer1qwer im Themenstart schreibt:
Beispiel 2
Gegeben Seiten b , d Diagonalen e, f Bedingung a//c ==> Trapez
Gesucht: a, c und h

Aber wie kann das Trapez im Beispiel 2 konstruiert werden?

2021-04-09 16:45 - Wario in Beitrag No. 11 schreibt:
<math>
%% von Bild
%\pgfmathsetmacro{\b}{4.9}
%\pgfmathsetmacro{\d}{5.7}
%\pgfmathsetmacro{\e}{7.4}
%\pgfmathsetmacro{\f}{5.9}

% Gut
\pgfmathsetmacro{\b}{3}
\pgfmathsetmacro{\d}{4}
\pgfmathsetmacro{\e}{7.5}
\pgfmathsetmacro{\f}{6}

% Geht
%\pgfmathsetmacro{\b}{5}
%\pgfmathsetmacro{\d}{4.5}
%\pgfmathsetmacro{\e}{5}
%\pgfmathsetmacro{\f}{6}

% Rechengren
\def\bsp{0}

\pgfmathsetmacro{\a}{sqrt(
( (\f^2-\d^2)^2 -(\e^2-\b^2)^2 )/(2*(\d^2-\b^2+\f^2-\e^2))
)}

\pgfmathsetmacro{\c}{sqrt(
((\f^2-\b^2)^2 -(\e^2-\d^2)^2 )/(2*(\b^2-\d^2+\f^2-\e^2))
)}

\pgfmathsetmacro{\p}{(\a^2-\c^2+\e^2-\f^2)/(2*(\a+\c))}
\pgfmathsetmacro{\q}{\a-\c-\p}
\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(\e^2-(\a-\p^2))}

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\d^2+(\a-\c)^2-\b^2)/(2*\d*(\a-\c))}
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\b^2+(\a-\c)^2-\d^2)/(2*\b*(\a-\c))}
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-\Beta} %
\pgfmathsetmacro{\Delta}{180-\Alpha} %

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
]
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={above}{D}] (D) at (\Alpha:\d);
%\coordinate[Punkt={above}{Ddd}] (D) at (\p,\h);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at ([shift={(B)}]180-\Beta:\b);
%\coordinate[Punkt={above}{Ccc}] (C) at (\p+\c,\h);

\draw[local bounding box=trapez] (A)
-- (B) node[midway, below]{$a$}
-- (C) node[midway, right]{$b$}
--(D) node[midway, above]{$c$}
--cycle node[midway, left]{$d$};

\draw[densely dashed] (A) -- (C) node[midway, below]{$e$};
\draw[densely dashed] (B) -- (D) node[midway, below]{$f$};

\draw[densely dashed] (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) node[midway, right]{$ h$};
\draw[densely dashed] (D) -- ($(A)!(D)!(B)$) node[midway, left]{$ h$};

% gegebene Strecken
\draw[red, thick] (A) -- ($(A)!\d cm!(D)$);
\draw[red, thick] (B) -- ($(B)!\b cm!(C)$);
\draw[red, thick] (A) -- ($(A)!\e cm!(C)$);
\draw[red, thick] (B) -- ($(B)!\f cm!(D)$);

%\draw[green, thick] (D) -- +(\cx,0); % Test
%\draw[green, thick] (A) -- +(\ax,0); % Test
%\draw[blue, very thick] (A) -- +(\Alpha:\d); % Test

% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\delta_1$", red
] {angle =A--D--B};
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\gamma_1$", red
] {angle =A--C--B};

\draw pic [draw, angle radius=9mm, angle eccentricity=0.7,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\alpha_1$", red
] {angle =C--A--D};
\draw pic [draw, angle radius=9mm, angle eccentricity=0.75,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\beta_1$", red
] {angle =C--B--D};

%\draw[densely dashed] (A) -- ($(D)!(A)!(C)$) -- (D) node[midway, above]{$p$};
%\draw[densely dashed] (B) -- ($(D)!(B)!(C)$) -- (C) node[midway, above]{$q$};

%%% Punkte
%\foreach \P in {B}
%\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

% Annotationen - Rechnung
\ifnum\bsp=1%=================
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of trapez, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(trapez.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
PosUnten,
%PosLinks,
]{
$\begin{array}{l l}
b = \b \text{ cm}  &   \\
d = \d \text{ cm}  &   \\
e = \e \text{ cm}  &  \\
f = \f \text{ cm}  &  \\ \hline
a = \a \text{ cm}  &  \\
c = \c \text{ cm}  &  \\  \hline
p = \p \text{ cm}  &  \\
q = \q \text{ cm}  &  \\
h = \h \text{ cm}  &  \\ \hline
\alpha = \Alpha^\circ    &   \\
\beta = \Beta^\circ    & \\
\gamma = \Gamma^\circ    & \\
\delta = \Delta^\circ    &  \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\end{array}$
};
\fi%=================
\end{tikzpicture}
</math>

Nach dem Kosinussatz ist

$\begin{array}{l l l}
a^2 =b^2+e^2 -2be \cos(\gamma_1)
& \Leftrightarrow
& \cos(\gamma_1) = \dfrac{b^2+e^2-a^2}{2be} \\
a^2 =d^2 +f^2 -2df \cos(\delta_1)
& \Leftrightarrow
& \cos(\delta_1) = \dfrac{d^2+f^2-a^2}{2df}
\end{array}$

Wegen gleicher Grundseite $a$ und Höhe $h$ sind die Dreiecke $\triangle ABD$ und $\triangle ABC$ flächengleich, also

$\dfrac12 be \sin(\gamma_1) =\dfrac12df \sin(\delta_1)
~\Rightarrow~  
b^2e^2 \bigl( 1-\cos^2(\gamma_1) \bigr)
     = d^2f^2 \bigl(  1-\cos^2(\delta_1) \bigr) \\
~\Leftrightarrow~  
d^2f^2  \cos^2(\delta_1)   -b^2e^2  \cos^2(\gamma_1)
     = d^2f^2-b^2e^2 \\
~\Leftrightarrow~  
d^2f^2  \left( \dfrac{d^2+f^2-a^2}{2df}  \right)^2
      - b^2e^2 \left( \dfrac{b^2+e^2-a^2}{2be} \right)^2
          = d^2f^2-b^2e^2 \\
~\Leftrightarrow~  
\left( d^2+f^2-a^2 \right)^2 -\left( b^2+e^2-a^2 \right)^2
          = 4\left( d^2f^2-b^2e^2 \right) \\
~\Leftrightarrow~  
\left(  d^2+f^2 \right)^2 -2 a^2 \left(  d^2+f^2 \right)
-\left(  b^2+e^2 \right)^2 +2 a^2 \left(  b^2+e^2 \right)
       = 4\left( d^2f^2-b^2e^2 \right)   \\
~\Leftrightarrow~  
\left(  d^2+f^2 \right)^2 -4 d^2f^2
-\left(  b^2+e^2 \right)^2 +4b^2e^2
      =2 a^2 \left(  d^2-b^2 +f^2-e^2 \right)  \\
~\Leftrightarrow~  
 \left( f^2-d^2 \right)^2 - \left( e^2-b^2 \right)^2
      =2 a^2 \left(  d^2-b^2 +f^2-e^2 \right)  \\
~\Rightarrow~  
\underline{  a =\sqrt{ \dfrac{ \left( f^2-d^2 \right)^2 - \left( e^2-b^2 \right)^2 }
                {2 \left(  d^2-b^2 +f^2-e^2 \right)}   }  }.$

Durch ähnliche Betrachtung findet man $
\underline{  c =\sqrt{ \dfrac{ \left( f^2-b^2 \right)^2 - \left( e^2-d^2 \right)^2 }
                {2 \left(  b^2-d^2 +f^2-e^2 \right)}   }  }.$

ergab

$\begin{array}{l l}
a^2 &=\dfrac{ \left( f^2-d^2 \right)^2 - \left( e^2-b^2 \right)^2 }
                {2 \left(  d^2-b^2 +f^2-e^2 \right)}   \\[1em]  
   &=\dfrac{\left((f^2-d^2)+(e^2-b^2)\right)\left((f^2-d^2)-(e^2-b^2)\right)}{2(d^2-b^2 +f^2-e^2)} \\[1em]
   &=\dfrac{(e^2+f^2-b^2-d^2)(f^2+b^2-e^2-d^2)}{2(f^2+d^2-e^2-b^2)} \\[1.5em]
& ~\Rightarrow  \underline{\underline{   a
     =\dfrac{\sqrt{e^2+f^2-b^2-d^2}\cdot \sqrt{f^2+b^2-e^2-d^2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{f^2+d^2-e^2-b^2}}
    =: \dfrac{pq}{\sqrt{2} r}     }}
\end{array}$

mit $p=\sqrt{e^2+f^2-b^2-d^2},~
q= \sqrt{f^2+b^2-e^2-d^2},~
r=\sqrt{f^2+d^2-e^2-b^2}.$

Ähnlich ergibt sich für die andere unbekannte Parallele

$\begin{array}{l l}
c^2 &=\dfrac{ \left( f^2-b^2 \right)^2 - \left( e^2-d^2 \right)^2 }
                {2 \left(  b^2-d^2 +f^2-e^2 \right)}   \\[1em]  
   &=\dfrac{\left((f^2-b^2)+(e^2-d^2)\right)\left((f^2-b^2)-(e^2-d^2)\right)}{2(b^2-d^2 +f^2-e^2)} \\[1em]
   &=\dfrac{(e^2+f^2-b^2-d^2)(f^2+d^2-e^2-b^2)}{2(f^2+b^2-e^2-d^2)}  \\[1.5em]
& ~\Rightarrow   \underline{\underline{   c
     =\dfrac{\sqrt{e^2+f^2-b^2-d^2}\cdot \sqrt{f^2+d^2-e^2-b^2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{f^2+b^2-e^2-d^2}}
    =: \dfrac{p r}{\sqrt{2} q} %=: \dfrac{a r^2}{q^2}
    }}
\end{array}$

Hinweis.
Man erkennt: $
\dfrac{a}{c}
=\dfrac{\dfrac{pq}{\sqrt{2}r}}{\dfrac{pr}{\sqrt{2}q}}
=\dfrac{q^2}{r^2}
=\dfrac{f^2+b^2-e^2-d^2}{f^2+d^2-e^2-b^2}$


· Es sind also zunächst Strecken $p, q, r$ zu konstruieren, die jeweils vom Typ $\sqrt{w^2+x^2-y^2-z^2}$ sind:

<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
every label/.style={text=black!1, opacity=0.0},
]


\pgfmathsetmacro{\b}{2}
\pgfmathsetmacro{\d}{3}
\pgfmathsetmacro{\e}{6.5}
\pgfmathsetmacro{\f}{5}
\def\bsp{0}

% Rechengren
\pgfmathsetmacro{\a}{sqrt(
( (\f^2-\d^2)^2 -(\e^2-\b^2)^2 )/(2*(\d^2-\b^2+\f^2-\e^2))
)}
\pgfmathsetmacro{\c}{sqrt(
((\f^2-\b^2)^2 -(\e^2-\d^2)^2 )/(2*(\b^2-\d^2+\f^2-\e^2))
)}

% Konstruktionsgren
\pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(\e^2+\f^2-\b^2-\d^2)}
\pgfmathsetmacro{\q}{sqrt(abs(\f^2+\b^2-\e^2-\d^2))}
\pgfmathsetmacro{\r}{sqrt(abs(\f^2+\d^2-\e^2-\b^2))}
\pgfmathsetmacro{\aK}{\p*\q/(sqrt(2)*\r)}
\pgfmathsetmacro{\cK}{\p*\r/(sqrt(2)*\q)}


\pgfmathsetmacro{\w}{\e}
\pgfmathsetmacro{\x}{\f}
\pgfmathsetmacro{\y}{\b}
\pgfmathsetmacro{\z}{\d}
\pgfmathsetmacro{\hI}{sqrt(\x^2+\w^2)}
\pgfmathsetmacro{\hII}{sqrt(\hI^2-\y^2)}
\pgfmathsetmacro{\s}{\w^2+\x^2-\y^2-\z^2}

\pgfmathsetmacro{\dw}{10}

\pgfmathsetmacro{\AlphaI}{acos((\w^2+\hI^2-\x^2)/(2*\w*\hI))}
\pgfmathsetmacro{\BetaI}{acos((\x^2+\hI^2-\w^2)/(2*\x*\hI))}

\pgfmathsetmacro{\AlphaII}{acos(\hII/\hI)}
\pgfmathsetmacro{\BetaII}{acos(\y/\hI}

\pgfmathsetmacro{\AlphaII}{acos(\hII/\hI)}
\pgfmathsetmacro{\BetaII}{acos(\y/\hI}

\pgfmathsetmacro{\AlphaIII}{asin(\z/\hII)}
\pgfmathsetmacro{\BetaIII}{acos(\z/\hII}


% Konstruktion von s, also p, q, r
\coordinate[label=below:$C$] (C) at (0,0);
\coordinate[label=below:$A$] (A) at (\w,0);
\coordinate[label=$B$] (B) at (90:\x);
\coordinate[label=$M_{AB}$] (MAB) at ($(A)!0.5!(B)$);

\draw[local bounding box=dreieck] (C)
-- (A) node[midway, below]{$w$}
-- (B) node[pos=0.333, above, sloped]{$h_1$}
-- (C) node[midway, left]{$x$};

%\draw[gray] (MAB) circle[radius=0.5*\hI];
\pgfmathsetmacro{\u}{-\AlphaI}
\draw[densely dashed, name path=kreisMAB] ([shift={(\u:0.5*\hI)}]MAB) arc (\u:\u+180:0.5*\hI);

% y, Thaleskreis ber h1
\path[name path=kreisB, draw=none] (B) circle[radius=\y];
\pgfmathsetmacro{\u}{-90+\BetaI+\BetaII}
\draw[] (B) -- +(\u:\y) coordinate[label=$B"$](Bs) node[midway, below]{$y$};
\draw[] ([shift={(\u-\dw-7:\y)}]B) arc (\u-\dw-7:\u+\dw+3:\y) coordinate[label={$\bigodot(B, y)$}](Bss);

% B", h1, Thaleskreis ber h2
\draw[] (Bs) --  (A) node[pos=0.333, sloped, above]{$h_2$};
\coordinate[label=$M_{AB"}$] (MABs) at ($(A)!0.5!(Bs)$);

\pgfmathsetmacro{\u}{-\AlphaII-\AlphaI}
%\draw[blue] (MABs) -- +(\u:0.5*\hII);
\draw[red, densely dashed, name path=kreisMABs] ([shift={(\u:0.5*\hII)}]MABs) arc (\u:\u+180:0.5*\hII);

% z, s
\pgfmathsetmacro{\u}{-\AlphaI-\AlphaII+\BetaIII}
\draw[] (Bs)
-- +(\u:\z) coordinate[label=$C"$](Cs) node[midway, below, sloped]{$z$}
-- (A) node[midway, right]{$s$};
\draw[] ([shift={(\u-\dw:\z)}]Bs) arc (\u-\dw:\u+\dw:\z) coordinate[label={[opacity=0]:$\bigodot(B", y)$}](Css);

% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$",
] {angle =A--C--B};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$",
] {angle =B--Bs--A};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$",
] {angle =Bs--Cs--A};

%% Punkte
\draw[red, fill=black!1] (MABs) circle (1.5pt);
\foreach \P in {MAB, Bs, Cs} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);

% Annotationen - Rechnung
\ifnum\bsp=1%========================
\node[yshift=-5mm,  anchor=north west,
draw, align=left, fill=lightgray!50,
] at (C) {
$\begin{array}{l l}
b = \b \text{ cm}  &  \\
d = \d \text{ cm}  &  \\
e = \e \text{ cm}  &  \\
f = \f \text{ cm}  &  \\ \hline
\text{Konstruktion:} \\
p = \p \text{ cm}  &  \\
q = \q \text{ cm}  &  \\
r = \r \text{ cm}  &  \\
a = \aK \text{ cm}  &  \\
c = \cK \text{ cm}  &  \\ \hline
\text{Rechnung:} \\
a = \a \text{ cm}  &  \\
c = \c \text{ cm}  & \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (5) \\
%\beta = \Beta^\circ    & (4) \\
%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\ \hline
%\multicolumn{2}{l}{aaa} \\
\end{array}$
};
\fi%========================
\end{tikzpicture}
</math>

(1) Errichte das rechtwinklige Dreieck aus den Katheten $w$ und $x$, die  Hypotenuse sei $h_1$.

(2) Errichte über $h_1$ den Thaleskreis und trage darin eine Kathete $y$ ab, die andere Kathete sei $h_2$.

(3) Errichte über $h_2$ den Thaleskreis und trage darin eine Kathete $z$ ab, die andere Kathete sei $s$.

Dann ist

$\begin{array}{l l}
s^2
&= h_2^2 -z^2 \\
&= (h_1^2-y^2) -z^2 \\
&=w^2+x^2-y^2-z^2
\end{array}$

bzw. $s=\sqrt{w^2+x^2-y^2-z^2 }$

· Mit nunmehr bekannten Strecken $p,q,r$ kann der Nenner $\sqrt{2} r$ von $a =\dfrac{pq}{\sqrt{2} r}$ im Sinne der
graphischen Multiplikation
<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
every label/.style={text=black!1, opacity=1},
]
\pgfmathsetmacro{\Phi}{33}
\pgfmathsetmacro{\a}{1.25}
\pgfmathsetmacro{\b}{2}
\pgfmathsetmacro{\ab}{\a*\b}
\pgfmathsetmacro{\ZR}{sqrt(\a^2 +cos(\Phi)^2 -1) +cos(\Phi)}
\pgfmathsetmacro{\ZS}{sqrt(\b^2 *(\a^2 +cos(\Phi)^2 -1)) + \b*cos(\Phi)}
\pgfmathsetmacro{\v}{0.7}
\def\bsp{0}

\coordinate[label=$Z$] (Z) at (0,0);
\coordinate[label=below:$P$] (P) at (0:1);
\coordinate[label=below:$Q$] (Q) at (0:\b);
\coordinate[label=135:$R$] (R) at (\Phi:\ZR);
\coordinate[label=135:$S$] (S) at (\Phi:\ZS);

\draw[](Z) -- (0:1) node[midway, above, inner sep=1pt]{1};
\draw[](P) -- (0:\b) node[midway, above, inner sep=1pt]{$b-1$} -- +(0:\v);

\draw[] (P) -- ($(P)!\a cm!(R)$) node[midway, right]{$a$};
\draw[thick] (Q) -- ($(Q)!\ab cm!(S)$) node[midway, right]{$a\cdot b$};

\draw[] (Z) -- (\Phi:\ZS+\v);

%% Punkte
\foreach \P in {Z, P, Q, R, S}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);

\ifnum\bsp=1%======================
% Annotationen - Rechnung
\node[yshift=-5mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
anchor=north west,
] at (Z) {
$\begin{array}{l l}
a = \a \text{ cm}  &  \\
b = \b \text{ cm}  &  \\
ab =  \ab \text{ cm}  &  \\
|ZR| = \ZR \text{ cm}  &  \\
|ZS| = \ZS\text{ cm}  &  \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\end{array}$
};
\fi%=============================
\end{tikzpicture}
</math>

(1) Trage auf einer Geraden die Strecken $|ZP|:=1$ und $|ZQ|:=b$ ab.

(2) Lege an $P$ die Strecke $a=: |PR|$ und lege eine Gerade durch $|ZR|.$

Die Parallele $|QS|$ zu $|PR|$ durch den Geradenpunkt $S$ ist nach dem Strahlensatz gleich $a\cdot b.$
konstruiert werden, wobei der Faktor $\sqrt{2}$ als Diagonale des Einheitsquadrates bestimmt wird:

<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
every label/.style={text=black!1, opacity=0},
]
\pgfmathsetmacro{\Phi}{44}
\pgfmathsetmacro{\a}{3.5}
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(2)}
\pgfmathsetmacro{\ab}{\a*\b}
\pgfmathsetmacro{\ZR}{sqrt(\a^2 +cos(\Phi)^2 -1) +cos(\Phi)}
\pgfmathsetmacro{\ZS}{sqrt(\b^2 *(\a^2 +cos(\Phi)^2 -1)) + \b*cos(\Phi)}
\pgfmathsetmacro{\v}{0.7}
\def\bsp{0}

\coordinate[label=$Z$] (Z) at (0,0);
\coordinate[label=below:$P$] (P) at (0:1);
\coordinate[label=below:$Q$] (Q) at (0:\b);
\coordinate[label=135:$R$] (R) at (\Phi:\ZR);
\coordinate[label=135:$S$] (S) at (\Phi:\ZS);

\draw[](Z) -- (0:1) node[midway, above]{1};
\draw[red](P) -- (0:\b) coordinate(Qs) node[midway, above]{$$}; %b-1
\draw[] (Qs) -- +(0:\v);

\draw[] (P) -- ($(P)!\a cm!(R)$) node[midway, left]{$r$};
\draw[thick] (Q) -- ($(Q)!\ab cm!(S)$) node[midway, right]{$r\sqrt{2}$};

\draw[] (Z) -- (\Phi:\ZS+\v);

% Annotation
\pgfmathsetmacro\h{sqrt(2)}
\draw[densely dashed] (P) -- +(-135:\h)node[red, midway, above, sloped]{%
$\sqrt{2}$$-$1};
\draw[red] (P) -- +(-135:\h-1) coordinate(Ps);

\draw[] (Z) rectangle +(1,-1);

\pgfmathsetmacro\u{-135}
%\draw[blue] (P) -- +(0*-135:2);
%\draw[blue] (P) circle[radius=\h-1];
\draw[-, densely dashed] ([shift={(\u:\h-1)}]P) arc (\u:\u+135:\h-1);

%% Punkte
\foreach \P in {Z, P, Q, R, S}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);

\ifnum\bsp=1%======================
% Annotationen - Rechnung
\node[yshift=-15mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
anchor=north west,
] at (Z) {
$\begin{array}{l l}
a = \a \text{ cm}  &  \\
b = \b \text{ cm}  &  \\
ab =  \ab \text{ cm}  &  \\
|ZR| = \ZR \text{ cm}  &  \\
|ZS| = \ZS\text{ cm}  &  \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\end{array}$
};
\fi%=============================
\end{tikzpicture}
</math>

· Ähnlich ließe sich auch der Zähler $pq$ konstruieren und das Verhältnis von Zähler und Nenner könnte im Sinne der
graphischen Division
<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
every label/.style={opacity=1},
]
\pgfmathsetmacro{\Phi}{44}
\pgfmathsetmacro{\z}{4}
\pgfmathsetmacro{\zDIVn}{1.25}
\pgfmathsetmacro{\n}{2.0}
\pgfmathsetmacro{\zDIVnb}{\zDIVn*\n}
\pgfmathsetmacro{\ZR}{sqrt(\zDIVn^2 +cos(\Phi)^2 -1) +cos(\Phi)}
\pgfmathsetmacro{\ZS}{sqrt(\n^2 *(\zDIVn^2 +cos(\Phi)^2 -1)) + \n*cos(\Phi)}
\pgfmathsetmacro{\v}{0.7}
\def\bsp{0}

\coordinate[label=$Z$] (Z) at (0,0);
\coordinate[label=below:$P$] (P) at (0:1);
\coordinate[label=below:$Q$] (Q) at (0:\n);
\coordinate[label=135:$R$] (R) at (\Phi:\ZR);
\coordinate[label=135:$S$] (S) at (\Phi:\ZS);

\draw[](Z) -- (0:1) node[midway, above, inner sep=1pt]{1};
\draw[](P) -- (0:\n) node[midway, above, inner sep=1pt]{$n-1$} -- +(0:\v);

\draw[thick] (P) -- ($(P)!\zDIVn cm!(R)$) node[pos=0.725, right]{$\dfrac{z}{n}$};
\draw[] (Q) -- ($(Q)!\zDIVnb cm!(S)$) node[midway, right]{$z$};

\draw[] (Z) -- (\Phi:\ZS+\v);

%% Punkte
\foreach \P in {Z, P, Q, R, S}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);

\ifnum\bsp=1%======================
% Annotationen - Rechnung
\node[yshift=-5mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
anchor=north west,
] at (Z) {
$\begin{array}{l l}
z/n= \zDIVn \text{ cm}  &  \\
b = \n \text{ cm}  &  \\
ab =  \zDIVnb \text{ cm}  &  \\
|ZR| = \ZR \text{ cm}  &  \\
|ZS| = \ZS\text{ cm}  &  \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\end{array}$
};
\fi%=============================
\end{tikzpicture}
</math>

(1) Trage auf einer Geraden die Strecken $|ZP|:=1$ und $|ZQ|:=n$ ab.

(2) Lege an $Q$ die Strecke $z=: |QS|$ und lege eine Gerade durch $|ZS|.$

Die parallele $|PR|$ zu $|QS|$ durch den Geradenpunkt $R$ ist nach dem Strahlensatz gleich $\dfrac{z}{n}.$
bestimmt werden.

Allerdings lässt sich der Gesamtterm $a=\dfrac{pq}{\sqrt{2}r}
~\Leftrightarrow~ \dfrac{a}{q} =\dfrac{p}{\sqrt{2}r}
$, bei konstruiertem Nenner $\sqrt{2}r,$ auch (mit Hilfe der bereits erklärten Methoden) in einem Zug durch eine Strahlensatzfigur bestimmen:

<math>

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
every label/.style={text=black!1, opacity=0},
]
\pgfmathsetmacro{\b}{2}
\pgfmathsetmacro{\d}{3}
\pgfmathsetmacro{\e}{6.5}
\pgfmathsetmacro{\f}{5}
\def\bsp{0}

% Rechengren
\pgfmathsetmacro{\a}{sqrt(
( (\f^2-\d^2)^2 -(\e^2-\b^2)^2 )/(2*(\d^2-\b^2+\f^2-\e^2))
)}
\pgfmathsetmacro{\c}{sqrt(
((\f^2-\b^2)^2 -(\e^2-\d^2)^2 )/(2*(\b^2-\d^2+\f^2-\e^2))
)}

% Konstruktionsgren
\pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(\e^2+\f^2-\b^2-\d^2)}
\pgfmathsetmacro{\q}{sqrt(abs(\f^2+\b^2-\e^2-\d^2))}
\pgfmathsetmacro{\r}{sqrt(abs(\f^2+\d^2-\e^2-\b^2))}
\pgfmathsetmacro{\sr}{sqrt(2)*\r}
\pgfmathsetmacro{\aK}{\p*\q/(sqrt(2)*\r)}
\pgfmathsetmacro{\cK}{\p*\r/(sqrt(2)*\q)}

\pgfmathsetmacro{\Phi}{atan(\a/\p)}
\pgfmathsetmacro{\a}{\q}
\pgfmathsetmacro{\b}{\p-sqrt(2)*\r}
\pgfmathsetmacro{\ab}{\a*\b}
\pgfmathsetmacro{\ZR}{sqrt(\a^2 +cos(\Phi)^2 -1) +cos(\Phi)}
\pgfmathsetmacro{\ZS}{sqrt(\b^2 *(\a^2 +cos(\Phi)^2 -1)) + \b*cos(\Phi)}
\pgfmathsetmacro{\v}{0.7}
\def\bsp{0}

\coordinate[label=$Z$] (Z) at (0,0);
\coordinate[label=below:$P$] (P) at (0:\sr);
\coordinate[label=below:$Q$] (Q) at (0:\p);
\coordinate[label=135:$R$] (R) at ([shift={(P)}]90:\q);
\coordinate[label=135:$S$] (S) at  ([shift={(Q)}]90:\aK);

\draw[](Z) -- (S) -- +($(Z)!\v cm!(S)$);

\draw[](Z) -- (P) node[midway, below]{$\sqrt{2}r$};
\draw[](P) -- (Q) node[midway, below]{$p-\sqrt{2}r$} -- +(0:\v);

\draw[] (P) -- ($(P)!\q cm!(R)$) node[midway, right]{$q$};
\draw[thick] (Q) -- (S) node[midway, right]{$a$};

%% Punkte
\foreach \P in {Z, P, Q, R, S}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);

\ifnum\bsp=1%======================
% Annotationen - Rechnung
\node[yshift=-5mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
anchor=north west,
] at (Z) {
$\begin{array}{l l}
a = \a \text{ cm}  &  \\
b = \b \text{ cm}  &  \\
ab =  \ab \text{ cm}  &  \\
|ZR| = \ZR \text{ cm}  &  \\
|ZS| = \ZS\text{ cm}  &  \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\end{array}$
};
\fi%=============================
\end{tikzpicture}
</math>

· Nach gleichem Verfahren kann die andere Parallele $c=\dfrac{p r}{\sqrt{2} q}$ konstruiert werden; womit endlich alle vier Seiten des Trapezes bekannt sind.

· Zahlenbeispiel.
<math>
\pgfmathsetmacro{\b}{2}
\pgfmathsetmacro{\d}{3}
\pgfmathsetmacro{\e}{6.5}
\pgfmathsetmacro{\f}{5}
\def\bsp{1}

% Rechengren
\pgfmathsetmacro{\a}{sqrt(
( (\f^2-\d^2)^2 -(\e^2-\b^2)^2 )/(2*(\d^2-\b^2+\f^2-\e^2))
)}
\pgfmathsetmacro{\c}{sqrt(
((\f^2-\b^2)^2 -(\e^2-\d^2)^2 )/(2*(\b^2-\d^2+\f^2-\e^2))
)}

% Konstruktionsgren
\pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(\e^2+\f^2-\b^2-\d^2)}
\pgfmathsetmacro{\q}{sqrt(abs(\f^2+\b^2-\e^2-\d^2))}
\pgfmathsetmacro{\r}{sqrt(abs(\f^2+\d^2-\e^2-\b^2))}
\pgfmathsetmacro{\aK}{\p*\q/(sqrt(2)*\r)}
\pgfmathsetmacro{\cK}{\p*\r/(sqrt(2)*\q)}

% Rechengren
\def\bsp{1}
\def\winkel{0}
\def\hoehe{0}

\pgfmathsetmacro{\a}{sqrt(
( (\f^2-\d^2)^2 -(\e^2-\b^2)^2 )/(2*(\d^2-\b^2+\f^2-\e^2))
)}

\pgfmathsetmacro{\c}{sqrt(
((\f^2-\b^2)^2 -(\e^2-\d^2)^2 )/(2*(\b^2-\d^2+\f^2-\e^2))
)}

\pgfmathsetmacro{\p}{(\a^2-\c^2+\e^2-\f^2)/(2*(\a+\c))}
\pgfmathsetmacro{\q}{\a-\c-\p}
\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(\e^2-(\a-\p^2))}

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\d^2+(\a-\c)^2-\b^2)/(2*\d*(\a-\c))}
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\b^2+(\a-\c)^2-\d^2)/(2*\b*(\a-\c))}
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-\Beta} %
\pgfmathsetmacro{\Delta}{180-\Alpha} %

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
]
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={above}{D}] (D) at (\Alpha:\d);
%\coordinate[Punkt={above}{Ddd}] (D) at (\p,\h);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at ([shift={(B)}]180-\Beta:\b);
%\coordinate[Punkt={above}{Ccc}] (C) at (\p+\c,\h);

\draw[local bounding box=trapez] (A)
-- (B) node[midway, below]{$a$}
-- (C) node[midway, right]{$b$}
--(D) node[midway, above]{$c$}
--cycle node[midway, left]{$d$};

\draw[densely dashed] (A) -- (C) node[midway, below]{$e$};
\draw[densely dashed] (B) -- (D) node[midway, below]{$f$};

% Hhen
\ifnum\hoehe=1%===================
\draw[densely dashed] (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) node[midway, right]{$ h$};
\draw[densely dashed] (D) -- ($(A)!(D)!(B)$) node[midway, left]{$ h$};
\fi%===========================

% gegebene Strecken
\draw[ thick] (A) -- ($(A)!\d cm!(D)$);
\draw[thick] (B) -- ($(B)!\b cm!(C)$);
\draw[thick] (A) -- ($(A)!\e cm!(C)$);
\draw[thick] (B) -- ($(B)!\f cm!(D)$);

%\draw[green, thick] (D) -- +(\c,0); % Test
%\draw[green, thick] (A) -- +(\a,0); % Test
%\draw[blue, very thick] (A) -- +(\Alpha:\d); % Test

% Winkel
\ifnum\winkel=1%============================
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\delta_1$", red
] {angle =A--D--B};
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\gamma_1$", red
] {angle =A--C--B};

\draw pic [draw, angle radius=9mm, angle eccentricity=0.7,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\alpha_1$", red
] {angle =C--A--D};
\draw pic [draw, angle radius=9mm, angle eccentricity=0.75,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\beta_1$", red
] {angle =C--B--D};
\fi%==============================

%\draw[densely dashed] (A) -- ($(D)!(A)!(C)$) -- (D) node[midway, above]{$p$};
%\draw[densely dashed] (B) -- ($(D)!(B)!(C)$) -- (C) node[midway, above]{$q$};

%%% Punkte
%\foreach \P in {B}
%\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

% Annotationen - Rechnung
\ifnum\bsp=1%=================
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of trapez, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(trapez.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
PosUnten,
%PosLinks,
]{
$\begin{array}{l l}
b = \b \text{ cm}  &   \hspace{3cm} \\
d = \d \text{ cm}  &   \\
e = \e \text{ cm}  &  \\
f = \f \text{ cm}  &  \\ \hline
\text{Konstruktion:} \\
p = \p \text{ cm}  &  \\
q = \q \text{ cm}  &  \\
r = \r \text{ cm}  &  \\
a = \aK \text{ cm}  &  \\
c = \cK \text{ cm}  &  \\ \hline
\text{Rechnung:} \\
a = \a \text{ cm}  &  \\
c = \c \text{ cm}  & \\
%\alpha = \Alpha^\circ    &   \\
%\beta = \Beta^\circ    & \\
%\gamma = \Gamma^\circ    & \\
%\delta = \Delta^\circ    &  \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\end{array}$
};
\fi%=================
\end{tikzpicture}
</math>




Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 502
 Beitrag No.18, eingetragen 2021-04-11 17:11    [Diesen Beitrag zitieren]

2021-04-11 10:47 - qwer1qwer in Beitrag No. 16 schreibt:
Die Herkunft ist schnell erklärt: Es ist einfach meine Neugier, weil es  konstruierbar sein sollte, da die Bedingungen ja erfüllt sind.

Alles klar, verstanden. Es hätte einen Unterschied machen können, wenn die Aufgabe aus einem "Schulbuch Klasse 7" stammt.

Die Beiträge #8, #9 ff. sind m.E. der strikte Beweis, dass das Trapez (prinzipiell) aus b,d,e,f konstruierbar ist. Die dort verwendeten Formeln sind konstruierbar, haben aber keine Anschaulichkeit; und es nützt auch nichts da immerzu weiter drauf rumzureiten.

Im Sinne einer anschaulichen Konstruktion könnte es -vielleicht- mit Hilfe folgender Figur gehen.

<math>
\pgfmathsetmacro{\a}{5}
\pgfmathsetmacro{\b}{3}
\pgfmathsetmacro{\k}{0.3}

\pgfmathsetmacro{\ABs}{\k*\a}
\pgfmathsetmacro{\AD}{\k*\b}

\colorlet{colord}{blue!22}
\colorlet{colore}{red!22}
\colorlet{colorde}{colord!50!colore}

\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (\a,0);
\coordinate[label=$Q$] (Q) at (\a,\b);
\coordinate[label=:$D"$] (Ds) at (0,\b);

\coordinate[label=below:$B"$] (Bs) at (\ABs,0);
\coordinate[label=$C"$] (Cs) at (\ABs,\b);

\coordinate[label=135:$P$] (P) at (\ABs,\AD);

\coordinate[label=left:$D$] (D) at (0,\AD);
\coordinate[label=right:$C$] (C) at (\a,\AD);
\end{pgfonlayer}
%
%\fill[purple!44] (A) rectangle (P);
%\fill[red!33] (Bs) rectangle (C);
%\fill[cyan!33] (D) rectangle (Cs);

\fill[colorde] (A) rectangle (P);
\fill[colore] (Bs) rectangle (C);
\fill[colord] (D) rectangle (Cs);

\draw[local bounding box=rechteck] (A) -- (B) -- (Q) --(Ds) --cycle;
\draw[] (A) -- (Q);
\draw[] (Bs) -- (Cs);
\draw[] (D) -- (C);

\draw[densely dashed] (A) -- (Cs);

\end{tikzpicture}
</math>

Die Rechtecke $ABCD$ und $AB'C'D'$ sind flächengleich.

Beweis: Nach dem Strahlesatz ist

$\dfrac{|AB'|}{|AB|} =\dfrac{|B'P|}{|BQ|} =\dfrac{|BC|}{|B'C'|}
~\Leftrightarrow~ |AB|\cdot|BC| =|AB'|\cdot|B'C'|.$


werner
Senior
Dabei seit: 23.10.2004
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 Beitrag No.17, eingetragen 2021-04-11 11:46    [Diesen Beitrag zitieren]


l = 1.15 ist ja relativ einfach zu basteln, der Rest steht oben🙂




qwer1qwer
Junior
Dabei seit: 04.04.2021
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 Beitrag No.16, eingetragen 2021-04-11 10:47    [Diesen Beitrag zitieren]

Die Herkunft ist schnell erklärt: Es ist einfach meine Neugier, weil es  konstruierbar sein sollte, da die Bedingungen ja erfüllt sind.

Werner hat es ja beschrieben, Danke nochmals!


Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 502
 Beitrag No.15, eingetragen 2021-04-10 19:13    [Diesen Beitrag zitieren]

2021-04-10 10:32 - qwer1qwer in Beitrag No. 13 schreibt:
Ich habe schon mit etlichen Ansätzen gesucht....

Verrätst Du jetzt noch, woher die Aufgabe kommt
2021-04-09 16:45 - Wario in Beitrag No. 11 schreibt:
Aber, das scheint außergewöhnlich aufwendig. Ob das im Sinne des Erfinders ist? Woher stammt die Aufgabe und ist das wirklich die Originalaufgabe?
oder bleibt das Dein Geheimnis?


werner
Senior
Dabei seit: 23.10.2004
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 Beitrag No.14, eingetragen 2021-04-10 12:20    [Diesen Beitrag zitieren]

dass Problem 1 sehr einfach zu konstruieren ist, hast du ja selbst am Anfang
geschrieben.
wie man Problem 2 (prinzipiell) konstruieren kann, steht doch in meinem 1. Beitrag oben (einfache Multiplikationen und Divisionen mit ZuL sollten dir allerdings vertraut sein 😒)


qwer1qwer
Junior
Dabei seit: 04.04.2021
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Wohnort: Schweiz

 Beitrag No.13, eingetragen 2021-04-10 10:32    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Werner, Caban, Wario und Cramilu
Vielen Dank, dass Ihr Euch um eine Lösung bemüht. Wie feststellbar ist, können mathematisch diverse Wege zur Lösung führen.

Mit planimetrisch, zeichnerischen Mitteln (ZuL) ist Beispiel 1 soooo einfach.

Trägt man c auf der Geraden AB von B aus nach rechts ab, erhält man B' und mit den Seiten des Dreiecks a+c, e und f den Punkt C.
Trägt man c auf der Geraden AB von A aus nach links ab, erhält man A', und mit den Seiten des Dreiecks c+a, e und f den Punkt D. Fertig!

Stelle ich mir das Beispiel 2 als Modell vor, in welchem sowohl die Punkte der Dreiecke A, B, C als auch die Punkte A, B, D Scharniere wären, so könnte mit Strecken oder Stauchen der Seite a (ginge natürlich auch mit Seite c) solange variiert werden, bis die Seiten a und c parallel sind.
 
Ich habe schon mit etlichen Ansätzen gesucht, planimetrisch vorzugehen, z.B. auch mit Affinitätsregeln etc. Bis jetzt gescheitert, tröstet mich,   dass Ihr zwar sehr versiert seid, aber offensichtlich auch nicht einfach eine Lösung aus dem Ärmel schütteln könnt.

Herzliche Grüsse!


cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 980
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken

 Beitrag No.12, eingetragen 2021-04-09 21:07    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo qwer1qwer,

auf Ehre und Gewissen: Ich erinnere mich sicher daran,
dass unsere geometrisch wahrlich gewiefte Mathelehrerin
der Gymnasialklassen 5 bis 8 seinerzeit mit uns genau
eine solche Konstruktion durchexerziert hat!
Und nun habe ich seit Tagen einen argen "Knoten im Hirn"
und komme nicht mehr auf die korrekte Strahlensatz-
Verschränkung...
Ich glaubte, es müsste darauf hinauslaufen, dass die
beiden Diagonalen einander im Verhältnis \(b:(b+d)\) teilen.
Das kann aber nicht sein, denn dann würde es ja spätestens
für den Spezialfall eines Quadrates nicht mehr stimmen...
Und ich krieg's "ums Verrecken" nicht mehr hergeleitet. 😡

Der tollen Grafik in Warios Beitrag sieht man unmittelbar an,
dass das Trapez durch die Längen von Schenkeln und Diagonalen
eindeutig bestimmt - und damit konstruierbar - sein muss!
Es sei denn natürlich, es handelt sich um den Spezialfall
eines Parallelogrammes...

werner, an Deiner Herleitung kann ich "kein Fehl" finden. 😉
Aber es muss nach meiner Erinnerung einfacher gehen...
... oder ich bin der Senilität anheim gefallen. 🙄


Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 502
 Beitrag No.11, eingetragen 2021-04-09 16:45    [Diesen Beitrag zitieren]


2021-04-04 11:52 - qwer1qwer im Themenstart schreibt:
Beispiel 2
Gegeben Seiten b , d Diagonalen e, f Bedingung a//c ==> Trapez
Gesucht: a, c und h

Aber wie kann das Trapez im Beispiel 2 konstruiert werden?

<math>
%% von Bild
%\pgfmathsetmacro{\b}{4.9}
%\pgfmathsetmacro{\d}{5.7}
%\pgfmathsetmacro{\e}{7.4}
%\pgfmathsetmacro{\f}{5.9}

% Gut
\pgfmathsetmacro{\b}{3}
\pgfmathsetmacro{\d}{4}
\pgfmathsetmacro{\e}{7.5}
\pgfmathsetmacro{\f}{6}

% Geht
%\pgfmathsetmacro{\b}{5}
%\pgfmathsetmacro{\d}{4.5}
%\pgfmathsetmacro{\e}{5}
%\pgfmathsetmacro{\f}{6}

% Rechengren
\def\bsp{0}

\pgfmathsetmacro{\a}{sqrt(
( (\f^2-\d^2)^2 -(\e^2-\b^2)^2 )/(2*(\d^2-\b^2+\f^2-\e^2))
)}

\pgfmathsetmacro{\c}{sqrt(
((\f^2-\b^2)^2 -(\e^2-\d^2)^2 )/(2*(\b^2-\d^2+\f^2-\e^2))
)}

\pgfmathsetmacro{\p}{(\a^2-\c^2+\e^2-\f^2)/(2*(\a+\c))}
\pgfmathsetmacro{\q}{\a-\c-\p}
\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(\e^2-(\a-\p^2))}

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\d^2+(\a-\c)^2-\b^2)/(2*\d*(\a-\c))}
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\b^2+(\a-\c)^2-\d^2)/(2*\b*(\a-\c))}
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-\Beta} %
\pgfmathsetmacro{\Delta}{180-\Alpha} %

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
]
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={above}{D}] (D) at (\Alpha:\d);
%\coordinate[Punkt={above}{Ddd}] (D) at (\p,\h);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at ([shift={(B)}]180-\Beta:\b);
%\coordinate[Punkt={above}{Ccc}] (C) at (\p+\c,\h);

\draw[local bounding box=trapez] (A)
-- (B) node[midway, below]{$a$}
-- (C) node[midway, right]{$b$}
--(D) node[midway, above]{$c$}
--cycle node[midway, left]{$d$};

\draw[densely dashed] (A) -- (C) node[midway, below]{$e$};
\draw[densely dashed] (B) -- (D) node[midway, below]{$f$};

\draw[densely dashed] (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) node[midway, right]{$ h$};
\draw[densely dashed] (D) -- ($(A)!(D)!(B)$) node[midway, left]{$ h$};

% gegebene Strecken
\draw[red, thick] (A) -- ($(A)!\d cm!(D)$);
\draw[red, thick] (B) -- ($(B)!\b cm!(C)$);
\draw[red, thick] (A) -- ($(A)!\e cm!(C)$);
\draw[red, thick] (B) -- ($(B)!\f cm!(D)$);

%\draw[green, thick] (D) -- +(\cx,0); % Test
%\draw[green, thick] (A) -- +(\ax,0); % Test
%\draw[blue, very thick] (A) -- +(\Alpha:\d); % Test

% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\delta_1$", red
] {angle =A--D--B};
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\gamma_1$", red
] {angle =A--C--B};

\draw pic [draw, angle radius=9mm, angle eccentricity=0.7,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\alpha_1$", red
] {angle =C--A--D};
\draw pic [draw, angle radius=9mm, angle eccentricity=0.75,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\beta_1$", red
] {angle =C--B--D};

%\draw[densely dashed] (A) -- ($(D)!(A)!(C)$) -- (D) node[midway, above]{$p$};
%\draw[densely dashed] (B) -- ($(D)!(B)!(C)$) -- (C) node[midway, above]{$q$};

%%% Punkte
%\foreach \P in {B}
%\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

% Annotationen - Rechnung
\ifnum\bsp=1%=================
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of trapez, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(trapez.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
PosUnten,
%PosLinks,
]{
$\begin{array}{l l}
b = \b \text{ cm}  &   \\
d = \d \text{ cm}  &   \\
e = \e \text{ cm}  &  \\
f = \f \text{ cm}  &  \\ \hline
a = \a \text{ cm}  &  \\
c = \c \text{ cm}  &  \\  \hline
p = \p \text{ cm}  &  \\
q = \q \text{ cm}  &  \\
h = \h \text{ cm}  &  \\ \hline
\alpha = \Alpha^\circ    &   \\
\beta = \Beta^\circ    & \\
\gamma = \Gamma^\circ    & \\
\delta = \Delta^\circ    &  \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\end{array}$
};
\fi%=================
\end{tikzpicture}
</math>

Nach dem Kosinussatz ist

$\begin{array}{l l l}
a^2 =b^2+e^2 -2be \cos(\gamma_1)
& \Leftrightarrow
& \cos(\gamma_1) = \dfrac{b^2+e^2-a^2}{2be} \\
a^2 =d^2 +f^2 -2df \cos(\delta_1)
& \Leftrightarrow
& \cos(\delta_1) = \dfrac{d^2+f^2-a^2}{2df}
\end{array}$

Wegen gleicher Grundseite $a$ und Höhe $h$ sind die Dreiecke $\triangle ABD$ und $\triangle ABC$ flächengleich, also

$\dfrac12 be \sin(\gamma_1) =\dfrac12df \sin(\delta_1)
~\Rightarrow~  
b^2e^2 \bigl( 1-\cos^2(\gamma_1) \bigr)
     = d^2f^2 \bigl(  1-\cos^2(\delta_1) \bigr) \\
~\Leftrightarrow~  
d^2f^2  \cos^2(\delta_1)   -b^2e^2  \cos^2(\gamma_1)
     = d^2f^2-b^2e^2 \\
~\Leftrightarrow~  
d^2f^2  \left( \dfrac{d^2+f^2-a^2}{2df}  \right)^2
      - b^2e^2 \left( \dfrac{b^2+e^2-a^2}{2be} \right)^2
          = d^2f^2-b^2e^2 \\
~\Leftrightarrow~  
\left( d^2+f^2-a^2 \right)^2 -\left( b^2+e^2-a^2 \right)^2
          = 4\left( d^2f^2-b^2e^2 \right) \\
~\Leftrightarrow~  
\left(  d^2+f^2 \right)^2 -2 a^2 \left(  d^2+f^2 \right)
-\left(  b^2+e^2 \right)^2 +2 a^2 \left(  b^2+e^2 \right)
       = 4\left( d^2f^2-b^2e^2 \right)   \\
~\Leftrightarrow~  
\left(  d^2+f^2 \right)^2 -4 d^2f^2
-\left(  b^2+e^2 \right)^2 +4b^2e^2
      =2 a^2 \left(  d^2-b^2 +f^2-e^2 \right)  \\
~\Leftrightarrow~  
 \left( f^2-d^2 \right)^2 - \left( e^2-b^2 \right)^2
      =2 a^2 \left(  d^2-b^2 +f^2-e^2 \right)  \\
~\Rightarrow~  
\underline{  a =\sqrt{ \dfrac{ \left( f^2-d^2 \right)^2 - \left( e^2-b^2 \right)^2 }
                {2 \left(  d^2-b^2 +f^2-e^2 \right)}   }  }.$

Durch ähnliche Betrachtung findet man $
\underline{  c =\sqrt{ \dfrac{ \left( f^2-b^2 \right)^2 - \left( e^2-d^2 \right)^2 }
                {2 \left(  b^2-d^2 +f^2-e^2 \right)}   }  }.$


Man könnte also die Strecken $a$ und $c$ mit Hilfe diverser Katheten rechtwinkliger Dreiecke konstruieren.

Aber, das scheint außergewöhnlich aufwendig. Ob das im Sinne des Erfinders ist? Woher stammt die Aufgabe und ist das wirklich die Originalaufgabe?



werner
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 Beitrag No.10, eingetragen 2021-04-07 10:14    [Diesen Beitrag zitieren]

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werner
Senior
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 Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-06 19:06    [Diesen Beitrag zitieren]

in Ergänzung zu oben:
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womit auch mein Weg klar sein dürfte 🙂


werner
Senior
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 Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-06 18:48    [Diesen Beitrag zitieren]

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Caban
Senior
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 Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-06 10:44    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo

Mein Vorschlag ist weiterhin, aus dem Term den Konstruktionsplan abzuleiten.

Gruß Caban


Wario
Aktiv
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 Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-05 21:46    [Diesen Beitrag zitieren]

Achso, ich habe versehentlich Beispiel 1 gelöst. Ja, knapp daneben.

2021-04-04 11:52 - qwer1qwer im Themenstart schreibt:
Beispiel 1
Gegeben: Seiten a , c Diagonalen e, f Bedingung a//c ==> Trapez
Gesucht. b, d und h

Der Abbildung

<math>% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{6}
\pgfmathsetmacro{\c}{2}
\pgfmathsetmacro{\e}{7}
\pgfmathsetmacro{\f}{6}

\pgfmathsetmacro{\a}{7}
\pgfmathsetmacro{\c}{4}
\pgfmathsetmacro{\e}{5}
\pgfmathsetmacro{\f}{6}



\pgfmathsetmacro{\p}{(\a^2-\c^2+\e^2-\f^2)/(2*(\a+\c))}
\pgfmathsetmacro{\q}{\a-\c-\p}
\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(\e^2-(\a-\p^2))}
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\h^2+\q^2)}
\pgfmathsetmacro{\d}{sqrt(\h^2+\p^2)}

\def\bsp{0}


\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\d^2+(\a-\c)^2-\b^2)/(2*\d*(\a-\c))}
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\b^2+(\a-\c)^2-\d^2)/(2*\b*(\a-\c))}
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-\Beta} %
\pgfmathsetmacro{\Delta}{180-\Alpha} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={above}{D}] (D) at (\Alpha:\d);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at ([shift={(B)}]180-\Beta:\b);

\draw[local bounding box=trapez] (A) -- (B) node[midway, below]{$a$}
-- (C) node[midway, right]{$\boldsymbol b$}
--(D) node[midway, above]{$c$}
--cycle node[midway, left]{$\boldsymbol d$};

\draw[densely dashed] (A) -- (C) node[midway, right]{$e$};
\draw[densely dashed] (B) -- (D) node[midway, right]{$f$};

\draw[densely dashed] (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) node[midway, right]{$\boldsymbol h$};
\draw[densely dashed] (D) -- ($(A)!(D)!(B)$) node[midway, right]{$\boldsymbol h$};

\draw[densely dashed] (A) -- ($(D)!(A)!(C)$) -- (D) node[midway, above]{$\boldsymbol p$};
\draw[densely dashed] (B) -- ($(D)!(B)!(C)$) -- (C) node[midway, above]{$\boldsymbol q$};

%%% Punkte
%\foreach \P in {B}
%\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

% Annotationen - Rechnung
\ifnum\bsp=1%=================
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of trapez, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(trapez.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
PosUnten,
%PosLinks,
]{
$\begin{array}{l l}
a = \a \text{ cm}  &  \\
c = \c \text{ cm}  &  \\
e = \e \text{ cm}  &  \\
f = \f \text{ cm}  &  \\ \hline
p = \p \text{ cm}  &  \\
q = \q \text{ cm}  &  \\ \hline
h = \h \text{ cm}  &  \\
b = \b \text{ cm}  &   \\
d = \d \text{ cm}  &   \\ \hline
\alpha = \Alpha^\circ    &   \\
\beta = \Beta^\circ    & \\
\gamma = \Gamma^\circ    & \\
\delta = \Delta^\circ    &  \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\end{array}$
};
\fi%=================
\end{tikzpicture}
</math>

entliest man das Gleichungssystem

$\begin{array}{|l l}
(1) & a =c+p+q \\
(2) & h^2 =e^2 -(a-q)^2 \\
(3) & h^2 =f^2 -(a-p)^2 \\
(4) & b^2 =h^2+q^2 \\
(5) & d^2 =h^2+p^2 \\
\end{array}$

mit den Unbekannten $b,d,h,p,q$.

$(2)=(3):~ e^2 -(a-q)^2 =f^2 -(a-p)^2$  mit $
(1) \Leftrightarrow~ q=a-c-p$ wird

$e^2 -(c+p)^2 =f^2 -(a-p)^2 \\
~\Leftrightarrow~ (c+p)^2 -(a-p)^2 =e^2-f^2  \\
~\Leftrightarrow~ c^2-a^2 +2pc+2ap=e^2-f^2 \\[1em]
~\Leftrightarrow~ \underline{  p=\dfrac{a^2-c^2+e^2-f^2}{2(a+c)}  } \\
\overset{(1)}{\Rightarrow}~ q=a-c-p
=a-c-\dfrac{a^2-c^2+e^2-f^2}{2(a+c)}
={ \dfrac{2(a^2-c^2)}{2(a+c)} -\dfrac{a^2-c^2+e^2-f^2}{2(a+c)} }  \\
~\Leftrightarrow~ \underline{  q=\dfrac{a^2-c^2-e^2+f^2}{2(a+c)}  }
$

Damit sind die restlichen Größen berechenbar,
z.B. aus $(2):~
h^2 =e^2 -(a-p)^2
=e^2 -\left(a-\dfrac{a^2 -c^2+e^2-f^2}{2(a+c)}\right)^2 \\
%~\Leftrightarrow~
%h^2 =e^2 -\left( \dfrac{(a+c)^2-e^2+f^2}{2(a+c)} \right)^2 \\
~\Rightarrow~  \underline{
h=\sqrt{e^2 -\left( \dfrac{(a+c)^2-e^2+f^2}{2(a+c)} \right)^2}  }$



qwer1qwer
Junior
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 Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-05 10:50    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo cramilu

Danke, dass Du dich noch einmal der Sache annimmst. Aber wie eingangs erwähnt hatte ich die Lösung mathematisch genau nach Deinem zweiten Ansatz schon gemacht. a, c und h sind mathematisch mit beliebiger Genauigkeit iterativ ermittelbar. Benutzt hatte ich excel und den dazu verfügbaren Solver.
Für ein Beispiel mit  b=54, d=34 e=82, f=112
ergeben  a≈119.10259...   c≈63.7937.....   und  h≈31.907...

Also, das funktionierte schon👍.

Aber ich suche nach der Konstruktion mit planimetrischen Mitteln (Zirkel, Lineal etc.)

Für den Hinweis über die Verhältnisse per Strahlensatz bin ich Dir dankbar🙂, komme damit aber auch nicht weiter.😡


cramilu
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 Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-05 05:55    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo qwer1qwer,

hinsichtlich Heron [(V3)] ist es für Beispiel 2 sicher eine gute Übung,
die Länge der Basis \(a=\vert AB\vert\) allein aus den Längen b, d, e und f
zu berechnen.
Die Dreiecke  \(\triangle ABC\)  und  \(\triangle ABD\) stimmen ja in der Basis  \(a=\vert AB\vert\)
und der Höhe  \(h_a\)  überein. Also entsprechend eine Gleichsetzung
der beiden Flächeninhalte gemäß Heron vornehmen, auf beiden Seiten
mit 4 durchmultiplizieren und anschließend quadrieren...
Beim Ausmultiplizieren, Zusammenfassen und Einsetzen kann man da
herrlich üben, sich nicht zu verrechnen! 😉


qwer1qwer
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 Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-04 20:03    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Camilu

Es trifft zu, dass die Diagonalen im gleichen Verhältnis unterteilt werden. Der Strahl von der Verlängerung aus durch den Diagonalenschnittpunkt teilt die Parallelseiten a und c in zwei gleiche Hälften. Diese Erkenntnis hilft vielleicht weiter zur Konstruktion. Danke auf jeden Fall


cramilu
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 Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-04 13:51    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo qwer1qwer,

Frohe Ostern und willkommen auf dem "Matheplaneten"!

Wenn Du zu "Beispiel 2" zunächst eine Skizze anfertigst,
fällt Dir doch auf, dass a, c und die beiden Diagonalen e und f
eine Strahlensatzfigur bilden. Außerdem sind die vier Trapezseiten
quasi der "Stumpf" einer verwandten Strahlensatzfigur...
Der Diagonalenschnittpunkt teilt also beide Diagonalen
im gleichen Verhältnis, und zwar... ?

Bitte beiß' Dich daran erst einmal fest,
bevor Du womöglich c über eine Heron'sche Gleichsetzung
ausrechnest... 🤔


Caban
Senior
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 Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-04 12:25    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo

Schreib mal die Formel zur Berechnung auf, daruas könntest du einen Konstruktionsplan ableiten.

Gruß Caban


qwer1qwer
Junior
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 Themenstart: 2021-04-04 11:52    [Diesen Beitrag zitieren]

Zur Definition eines 4-Ecks braucht es 5 Angaben.

Beispiel 1
Gegeben: Seiten a , c Diagonalen e, f Bedingung a//c ==> Trapez
Gesucht. b, d und h

Beispiel 2
Gegeben Seiten b , d Diagonalen e, f Bedingung a//c ==> Trapez
Gesucht: a, c und h

Mathematisch lassen sich die gesuchten Grössen über die Formel von Heron problemlos berechnen.👍

Planimetrisch kann das Trapez im Beispiel 1 problemlos und einfach per Linieal und Zirkel konstruiert werden.👍

😡Aber wie kann das Trapez im Beispiel 2 konstruiert werden?😒😒😒😒


 
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