Antworte auf:  Bilder der Einheitsvektoren unter stetiger Abbildung summierbar? von mpc
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Themenübersicht
Triceratops
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Mitteilungen: 5623
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 Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-15 21:15    [Diesen Beitrag zitieren]

Richtig. 👍


mpc
Aktiv
Dabei seit: 18.04.2017
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 Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-15 21:11    [Diesen Beitrag zitieren]

Ah!
\(\sum^n_{k=1} \vert f(e_k) \vert = \sum sgn(f(e_k)) f(e_k) = f(\sum sgn(f(e_k)) e_k)\). Die Einträge von dieser Summe sind allesamt \(0 , 1 \) oder \(-1\), und daher \(\vert \vert \sum sgn(f(e_k))e_k \vert \vert \leq 1 \). Und jetzt die Abschätzung die du erwähnt hast.
Danke!


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
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 Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-15 20:01    [Diesen Beitrag zitieren]

@Fabi: Stimmt.

@mpc: Eine stetige lineare Abbildung $f : V \to W$ zwischen normierten Räumen $(V,|~|)$, $(W,|~|)$ hat eine Norm $|f|$. Sie ist die kleinste nichtnegative reelle Zahl mit der Eigenschaft $|f(x)| \leq |f| \cdot |x|$ für alle $x \in V$. Insbesondere gilt $|x| \leq 1 \implies |f(x)| \leq |f|$.

Für $f \in (\ell^{\infty})'$ hat nun jede endliche Partialsumme von $\sum_k |f(e_k)|$ die Form $f(x)$ für ein $x \in \ell^{\infty}$ mit $|x| \leq 1$ (wieso?), ist also durch $|f|$ beschränkt.


mpc
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 Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-15 19:34    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich glaube ich habe einen Hinweis darauf gefunden, dass die Linearität von f wichtig ist.
Die Norm \(\vert \vert . \vert \vert _\infty \) auf \(l^\infty\) ist ja eine stetige nichtlineare Abbildung in den Skalarkörper. \(f(x):= \vert \vert x \vert \vert\). Dann ist \(f(e_k)=1 \) , also ist \(\sum \vert f(e_k) \vert \) sicher nicht endlich.


mpc
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 Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-15 18:22    [Diesen Beitrag zitieren]

\(f\) ist stetig , wenn es eine Konstante \(M\) gibt, sodass \(\vert f(x) \vert \leq M \vert \vert x \vert \vert \) für alle \(x \in l^\infty \). Im Falle der Einheitsvektoren gilt dann \( \vert f(e_k) \vert \leq M\). Daraus kann man jetzt noch nichts über die absolute Summierbarkeit folgern.

Dann gibt es noch das Kriterium, dass \(f\) stetig ist, genau dann wenn \(ker(f)\) abgeschlossen ist...


Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4572
 Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-15 17:28    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi,

@Triceratops Es wird auch nirgendwo behauptet, dass die Abbildung eine Bijektion ist.

@mpc Für lineare stetige Abbildungen gibt es eine deutlich einfachere Charakterisierung von Stetigkeit als Folgenstetigkeit.

vG,
Fabi


mpc
Aktiv
Dabei seit: 18.04.2017
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Wohnort: Wien, Österreich

 Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-15 17:13    [Diesen Beitrag zitieren]

2021-04-15 16:27 - Fabi in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

2021-04-15 16:01 - mpc im Themenstart schreibt:
und daher auch \((f(e_k)) \subset \mathbb{R}\) keine Nullfolge,

Kannst du dieses "daher" mal genauer begründen?

Als Hinweis: Es gibt zwei Bedingungen an f:

- f ist linear
- f ist stetig

Beide wirst du nutzen müssen.

vG,
Fabi



Richtig wäre eher: Die Folge \((e_k)_k\) hat in \(l^\infty\) keinen Grenzwert, also kann man über das Grenzverhalten der Folge \( (f(e_k))_k\) nicht viel aussagen, potenziell ist es sogar eine Nullfolge. Oder?

Und die (Folgen)Stetigkeit weiss ich nicht wie ich verwenden soll, da die Argumentfolge \((e_k)_k\) gegen nichts konvergiert...


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5623
Wohnort: Berlin

 Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-15 16:32    [Diesen Beitrag zitieren]

Ja, es ist anders herum. Es gilt $(\ell^1)' \cong \ell^{\infty}$, aber $(\ell^{\infty})'$ ist viel komplizierter und kann mit dem Raum der endlichen Borelmaße auf der Stone-Cech-Kompaktifizierung $\beta \IN$ identifiziert werden (siehe hier).

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4572
 Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-15 16:27    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

2021-04-15 16:01 - mpc im Themenstart schreibt:
und daher auch \((f(e_k)) \subset \mathbb{R}\) keine Nullfolge,

Kannst du dieses "daher" mal genauer begründen?

Als Hinweis: Es gibt zwei Bedingungen an f:

- f ist linear
- f ist stetig

Beide wirst du nutzen müssen.

vG,
Fabi



mpc
Aktiv
Dabei seit: 18.04.2017
Mitteilungen: 98
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 Themenstart: 2021-04-15 16:01    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo. Ich habe eine Aufgabe, bei der ich zeigen muss, dass: für \(f \in (l^\infty )'\) ist \( (f(e_k))_{k\in \mathbb{N}} \in l^1\), also \(\sum^\infty \vert f(e_k) \vert < \infty \).

Kann das überhaupt stimmen? Es ist doch \((e_k)_k \in l^\infty\) keine Nullfolge, und daher auch \((f(e_k)) \subset \mathbb{R}\) keine Nullfolge, und daher kann es gar nicht summierbar sein...

Über eine Aufklärung würde ich mich freuen, Lg!


 
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