Antworte auf:  Zeigen, dass eine Menge L ein zu C isomorpher Körper ist von Schnubelub
Forum:  Körper und Galois-Theorie, moderiert von: Buri Gockel

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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46406
Wohnort: Dresden

 Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-19 21:30    [Diesen Beitrag zitieren]
Hi Schnubelub, diese Aufgabe wurde vor kurzem hier gestellt und diskutiert. Gruß Buri

Schnubelub
Aktiv
Dabei seit: 08.12.2020
Mitteilungen: 60
 Themenstart: 2021-04-19 21:16    [Diesen Beitrag zitieren]
Hallo, ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabenstellung: L:={(x,-y;y,x)\el\ \IR^(2x2) : x,y\el\ \IR}. Zeige, dass L mit der Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation einen zu \IC isomorphen Körper bildet. Ich wollte fragen, wie man das am geschicktesten zeigen kann? Ich denke das sollte auch gehen, ohne die Körperaxiome abzuarbeiten, oder? Mein uneleganter Ansatz ist folgender: Sei h:= L -> \IC, (x,-y;y,x)->x+iy h ist offensichtlich bijektiv. L\subsetequal\ \IR^2x2 ist ein linearer Unterraum von \IR^2x2 und somit ein Vektorraum. Also ist (L,+,0_(2x2)) eine Gruppe. Da die Matrizenaddition kommutativ ist, auch eine abelsche Gruppe. Man prüft leicht durch eine Rechnung (die lass ich jetzt aus), dass h(A+B)=h(A)+h(B) gilt. Somit ist h Isomorphismus bzgl. +. \forall\ A\el\ L: detA!=0 => L\subsetequal\ GL_2(\IR). Mit Hilfe des Untergruppenkriteriums, sieht man, dass (L\\{0},*,E_2 ) eine Gruppe ist. Die Kommutativität prüft man auch mit einer einfachen Rechnung. Weiters rechnet man auch schnell nach, dass h(A*B)=h(A)*h(B) gilt. Somit ist h Isomorphismus bzgl *. Das Distributivgesetz kann man mit der Hilfe von h relativ leicht zeigen. Somit ist L isomorph zu \IC und somit auch ein Körper. Wie man sieht, hab ich hier schon viel rumgerechnet. Matrizen multipliziert etc. Gibt es da einen eleganteren Ansatz, das zu zeigen? Ist es hinreichend nur das folgende zu zeigen?: \forall\ A,B\el\ L: A+B\el\ L A*B\el\ L h bijektiv h(A+B)=h(A)+h(B) h(A*B)=h(A)*h(B) Danke für eure Antworten! LG

 
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