Antworte auf:  Halbgruppenhomomorphismus kein Monoidhomomorphismus von kokosnusskopf
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Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5624
Wohnort: Berlin

 Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-22 18:53    [Diesen Beitrag zitieren]

Ja. Hast du noch weitere Fragen?


kokosnusskopf
Aktiv
Dabei seit: 03.05.2019
Mitteilungen: 73
 Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-22 18:30    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke für die Antworten, auch wenn ich die von Triceratops nicht ganz verstanden habe. Idempotent heißt hier, es gilt \(e = e^2\), richtig?


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5624
Wohnort: Berlin

 Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-20 08:26    [Diesen Beitrag zitieren]

Hier noch eine ganze Klasse von Beispielen: Sei $M$ ein Monoid mit einem idempotenten Element $e \in M$. Dann ist $eMe$ ein Monoid mit der Multiplikation von $M$ und dem neutralem Element $e$. Die Inklusion $eMe \to M$ ist also multiplikativ, erhält aber nicht das neutrale Element (sofern $e \neq 1$).

Und tactacs Beispiel lässt sich so verallgemeinern: Seien $M,N$ Monoide, und $0 \in N$ sei ein absorbierendes Element. Dann ist $M \to N$, $m \mapsto 0$ multiplikativ, erhält aber nicht das neutrale Element (außer wenn $N= \{0\}$).


tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2075
 Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-20 03:24    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Nimm $M = \{0,1\}$ mit logischem Und als Verknüpfung (1 ist dann das neutrale Element). $h \colon M \to M$ mit $h(x) := 0$ ist ein Halbgruppenhomomorphismus, aber $h(1) = 0 \ne 1$.
\(\endgroup\)

kokosnusskopf
Aktiv
Dabei seit: 03.05.2019
Mitteilungen: 73
 Themenstart: 2021-04-20 03:06    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich habe den Verdacht, dass ein Halbgruppenhomomorphismus zwischen zwei Monoiden nicht immer auch ein Monoidhomomorphismus sein muss. Mir fällt jedoch kein Gegenbeispiel ein, kann mir jemand eins liefern?


 
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