Antworte auf:  Zufallsvariablen zu allgemein definiert ? von carlox
Forum:  Stochastik und Statistik, moderiert von: Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel

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carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
 Beitrag No.17, eingetragen 2021-04-24 08:53    [Diesen Beitrag zitieren]


Betrachten wir die Frage, welcher Spieler nach wievielen Zügen ein Mensch-Ärgere-Dich-Nicht-Spiel gewinnt. Ein brauchbares Modell wäre eine Zufallsvariable $X\colon \Omega \rightarrow \{ \mathrm{rot}, \mathrm{gelb}, \mathrm{grün}, \mathrm{blau} \} \times \mathbb{N}$ und die zugehörige Verteilung $\mathbb{P}^X$.

Was der W-Raum ist, spielt überhaupt keine Rolle und der Bildraum der Zufallsvariable ist nur dann in den $\mathbb{R}^2$ einzubetten, wenn man irgendwelche Software nutzen will, die nur mit "reellen" Zahlen umgehen kann...

Hallo AnnaKath,
1)
$X\colon \Omega \rightarrow \{ \mathrm{rot}, \mathrm{gelb}, \mathrm{grün}, \mathrm{blau} \} \times \mathbb{N}$ und die zugehörige Verteilung $\mathbb{P}^X$
Bis jetzt kenne ich es nur so, daß das Bild einer ZV eine reelle ZV sein muß bzw. das kartesische Produkt von reellen Zahlen.

2)
Ich würde es nach meinem Schema machen
$\Omega \subset \mathbb{R}^n \cup \{f \, \vert f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\}$
konkret:
$\Omega = \{1,2,3,4\} \times \mathbb{N}$ mit
$X_1(w1,w2)=w1$
$X_2(w1,w2)=w2$

mfg
cx


AnnaKath
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3529
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)

 Beitrag No.16, eingetragen 2021-04-23 16:47    [Diesen Beitrag zitieren]

Huhu carlox,

2021-04-23 11:06 - carlox in Beitrag No. 13 schreibt:

Wenn ich noch eine Anmerkung machen darf, was meiner Meinung nach der richtige Weg ist: Jeder wahrscheinlichkeitstheoretische Text, in dem ein $\Omega$ auch nur explizit aufgeführt wird, ist bereits fragwürdig. Diese Räume sind völlig abstrakte Hintergründe und ihre konkreten Realisierungen dürfen keine Rolle spielen, um die Resultate robust und verständlich zu machen*.
Meine persönliche Antwort auf Deine Frage wäre: Zufallsvariablen werden Schülern und Studenten viel zu konkret vorgestellt und erschweren damit für den Rest ihres "Lebens" den Blick auf das Wesentliche.
Bei mir ist es gerade umgekehrt.
Wenn ich die konkreten Fälle verstehe, kann ich mir das Abstrakte besser vorstellen.

Vermutlich verstehen wir uns hier nur falsch; ich will (jedenfalls nicht notwendig) keine Abstraktion um ihrer selbst Willen. Es ergibt aus meiner Sicht nur keinen rechten Sinn, sich überhaupt mit dem Wahrscheinlichkeitsraum $\Omega$ zu beschäftigen.

Betrachten wir die Frage, welcher Spieler nach wievielen Zügen ein Mensch-Ärgere-Dich-Nicht-Spiel gewinnt. Ein brauchbares Modell wäre eine Zufallsvariable $X\colon \Omega \rightarrow \{ \mathrm{rot}, \mathrm{gelb}, \mathrm{grün}, \mathrm{blau} \} \times \mathbb{N}$ und die zugehörige Verteilung $\mathbb{P}^X$.

Was der W-Raum ist, spielt überhaupt keine Rolle und der Bildraum der Zufallsvariable ist nur dann in den $\mathbb{R}^2$ einzubetten, wenn man irgendwelche Software nutzen will, die nur mit "reellen" Zahlen umgehen kann...

lg, AK


carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
 Beitrag No.15, eingetragen 2021-04-23 16:26    [Diesen Beitrag zitieren]

2021-04-21 17:16 - Kitaktus in Beitrag No. 5 schreibt:
Zum Thema "mathematische Objekte": {Niete, Trostpreis, Hauptgewinn} _ist_ doch eine Menge?
Ja, du hast Recht:
Du hast jeweils mittels einer Zeichenfolge reale Objekte mathematisch formalisiert.
Ich habe das übersehen.

mfg
cx


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6859
Wohnort: Niedersachsen

 Beitrag No.14, eingetragen 2021-04-23 14:10    [Diesen Beitrag zitieren]


Frage:
Kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit Folgendes voraussetzen:
$\Omega \subset \mathbb{R}^n \cup \{f \, \vert f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\}$
Rein technisch gesehen, "Ja.", zumindest solange $\Omega$ nicht noch mächtiger ist.
Von der Zweckmäßigkeit her ist das dann vergleichbar mit der Frage: Wozu brauche ich $\IQ$, ich kann doch jede Zahl aus $\IQ$ mit einer Zahl aus $\IN$ identifizieren. Um die Summe des zweiundvierzigsten Bruchs und der siebenundachtzigsten Bruchs auszurechnen, bräuchte ich 'ne Weile, aber gehen würde es.


carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
 Beitrag No.13, eingetragen 2021-04-23 11:06    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo AnnaKath,
2021-04-23 09:31 - AnnaKath in Beitrag No. 12 schreibt:
2021-04-23 08:12 - carlox in Beitrag No. 11 schreibt:
Frage:
Kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit Folgendes voraussetzen:
$\Omega \subset \mathbb{R}^n \cup \{f \, \vert f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\}$


Ich nehme an, Dir ist völlig klar, dass es eine (aus meiner Sicht völlig unnötige) Einengung des Konzepts einer Zufallsvariable darstellt. Du fragst doch vermutlich mehr, ob man alle praktisch relevanten Fälle in dieser Form darstellen kann.
Ja, weil ich bis jetzt nur solche Fälle kenne.


Zunächst eine kleine Anmerkung: Ich verstehe nicht, inwiefern Du den zweiten Summanden in der Vereinigung hinzufügst; das liegt aber vermutlich daran, dass ich persönlich es nur verwirrend finde, mit diskreten Zufallsvariablen auf eine auf den ersten Blick andere Weise umzugehen als mit "stetigen".
Meinst du diesen "Summanden":
$\{f \, \vert f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\}$
Das ist im Prinzip eine Abkürzung für R hoch unendlich
$\mathbb{R}^{00}$
Durch die reellen Zahlen habe ich doch den kontinuierlichen Fall.
Vermutlich verstehe ich dich falsch.
Kannst du mir das bitte genauer erklären?


Deine Frage kann man wohl nicht abschliessend beantworten; es ist nicht völlig abwegig, sich alle praktisch relevanten Zufallsvariablen als reellwertig Vorzustellen (allerdings solltest Du schon einen $\mathbb{R}^d$ zulassen, Konzepte wie Korrelation und Kovarianz spielen durchaus auch in - beruflicher oder ähnlicher - Praxis eine Rolle).
Statt "Praxis" kann man auch sagen: Solange Du Statistik betreibst.
Was meinst du mit $\mathbb{R}^d$ ?
Ich verstehe nicht, was du meinst.
Warum kann man mit meiner Einschränkung von $\Omega$ keine Korrelation und keine Varianz darstellen?


Sobald man sich jedoch auch ein wenig mit nicht-statistischen Aspekten der Stochastik beschäftigt, ist eine solche Verengung des Begriffs der Zufallsvariable völlig unbrauchbar. Es ist etwa sehr sinnvoll, Zufallsvariablen zu betrachten, deren Bilder Abbildungen sind. Die ganze stochastische Analysis und die Analyse stochastischer Prozesse beruht darauf.
Da wirst du schon recht haben.
Allerdings habe ich davon keine Ahnung.


Wenn ich noch eine Anmerkung machen darf, was meiner Meinung nach der richtige Weg ist: Jeder wahrscheinlichkeitstheoretische Text, in dem ein $\Omega$ auch nur explizit aufgeführt wird, ist bereits fragwürdig. Diese Räume sind völlig abstrakte Hintergründe und ihre konkreten Realisierungen dürfen keine Rolle spielen, um die Resultate robust und verständlich zu machen*.
Meine persönliche Antwort auf Deine Frage wäre: Zufallsvariablen werden Schülern und Studenten viel zu konkret vorgestellt und erschweren damit für den Rest ihres "Lebens" den Blick auf das Wesentliche.
Bei mir ist es gerade umgekehrt.
Wenn ich die konkreten Fälle verstehe, kann ich mir das Abstrakte besser vorstellen.


mfg
cx




AnnaKath
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3529
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 Beitrag No.12, eingetragen 2021-04-23 09:31    [Diesen Beitrag zitieren]

Huhu Carlox,

2021-04-23 08:12 - carlox in Beitrag No. 11 schreibt:
Frage:
Kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit Folgendes voraussetzen:
$\Omega \subset \mathbb{R}^n \cup \{f \, \vert f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\}$

Ich nehme an, Dir ist völlig klar, dass es eine (aus meiner Sicht völlig unnötige) Einengung des Konzepts einer Zufallsvariable darstellt. Du fragst doch vermutlich mehr, ob man alle praktisch relevanten Fälle in dieser Form darstellen kann.

Zunächst eine kleine Anmerkung: Ich verstehe nicht, inwiefern Du den zweiten Summanden in der Vereinigung hinzufügst; das liegt aber vermutlich daran, dass ich persönlich es nur verwirrend finde, mit diskreten Zufallsvariablen auf eine auf den ersten Blick andere Weise umzugehen als mit "stetigen".

Deine Frage kann man wohl nicht abschliessend beantworten; es ist nicht völlig abwegig, sich alle praktisch relevanten Zufallsvariablen als reellwertig vorzustellen (allerdings solltest Du schon einen $\mathbb{R}^d$ zulassen, Konzepte wie Korrelation und Kovarianz spielen durchaus auch in - beruflicher oder ähnlicher - Praxis eine Rolle).
Statt "Praxis" kann man auch sagen: Solange Du Statistik betreibst.

Sobald man sich jedoch auch ein wenig mit nicht-statistischen Aspekten der Stochastik beschäftigt, ist eine solche Verengung des Begriffs der Zufallsvariable völlig unbrauchbar. Es ist etwa sehr sinnvoll, Zufallsvariablen zu betrachten, deren Bilder Abbildungen sind. Die ganze stochastische Analysis und die Analyse stochastischer Prozesse beruht darauf.

Wenn ich noch eine Anmerkung machen darf, was meiner Meinung nach der richtige Weg ist: Jeder wahrscheinlichkeitstheoretische Text, in dem ein $\Omega$ auch nur explizit aufgeführt wird, ist bereits fragwürdig. Diese Räume sind völlig abstrakte Hintergründe und ihre konkreten Realisierungen dürfen keine Rolle spielen, um die Resultate robust und verständlich zu machen*.

Meine persönliche Antwort auf Deine Frage wäre: Zufallsvariablen werden Schülern und Studenten viel zu konkret vorgestellt und erschweren damit für den Rest ihres "Lebens" den Blick auf das Wesentliche.

lg, AK

*) bestenfalls kann man abstrakte Eigenschaften des Raumes fordern, etwa dass es sich um einen polnischen Raum handelt o.ä. Das sind dann die technische Randbemerkungen, die man aber ruhig überlesen darf


carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
 Beitrag No.11, eingetragen 2021-04-23 08:12    [Diesen Beitrag zitieren]

2021-04-22 22:08 - StrgAltEntf in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo carlox,

2021-04-21 08:29 - carlox im Themenstart schreibt:
Eine Zufallsvariable X ist eine Abbildung:
$X: \Omega \to \mathbb{R} $

Frage:
Kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit Folgendes voraussetzen:
$\Omega \subset \mathbb{R}^n $

Beim Mensch-ärgere-dich-nicht darf ein Spieler erst dann das Haus verlassen, wenn sein Würfel eine 6 zeigt. X sei die Anzahl der Würfe, bis der Spieler das Haus verlassen kann. Wie würdest du hier \(\Omega\) definieren?
Hallo StrgAltEntf,
Das ist ein gutes Gegenbeispiel, falls man die Frage als Behauptung auffaßt.
Deswegen muß man noch die unendlichen Folgen ergänzen:
$\Omega \subset \mathbb{R}^n \cup \{f \, \vert f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\}$ und ich stelle die:

Frage:
Kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit Folgendes voraussetzen:
$\Omega \subset \mathbb{R}^n \cup \{f \, \vert f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\}$


mfg
cx




StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6957
Wohnort: Milchstraße

 Beitrag No.10, eingetragen 2021-04-22 22:08    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo carlox,

2021-04-21 08:29 - carlox im Themenstart schreibt:
Eine Zufallsvariable X ist eine Abbildung:
$X: \Omega \to \mathbb{R} $

Frage:
Kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit Folgendes voraussetzen:
$\Omega \subset \mathbb{R}^n $

Beim Mensch-ärgere-dich-nicht darf ein Spieler erst dann das Haus verlassen, wenn sein Würfel eine 6 zeigt. X sei die Anzahl der Würfe, bis der Spieler das Haus verlassen kann. Wie würdest du hier \(\Omega\) definieren?


carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
 Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-22 21:11    [Diesen Beitrag zitieren]


Zum Thema Projektionen. Mag ja sein, dass alle bisherigen Beispiele so aussehen. Aber im allgemeinen beschränkt man sich damit zu sehr.
Wenn man z.B. danach fragt, nach welcher Zeit ein radioaktives Teilchen zerfallen ist, dann weiß man natürlich nicht, welches Teilchen nach welcher Zeit zerfallen ist, trotzdem kann man z.B. Aussagen über die Verteilung dieser Zufallsvariable machen (z.B. "Exponentialverteilt mit Parameter ...")
Für jedes radioaktive Teilchen eine Zufallsvariable bilden:Projektion Xi.
Dann die ZV M bilden:
M := (X1 + .... + Xn)/n
und den Limes für n gegen unendlich bilden.
Geht also mit Projektionen.
Oder wie würdest du das machen?

mfg
cx


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6859
Wohnort: Niedersachsen

 Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-21 22:40    [Diesen Beitrag zitieren]

2021-04-21 19:02 - carlox in Beitrag No. 6 schreibt:
Geht dieser Link:
drive.google.com/file/d/1AA_QqXF-xc8KSwTXsDEIn-JesN5twSjC/view?usp=sharing

Ja, der funktioniert und es ist, wie ich in #5 vermutet habe. Es fehlen hier die Begriffe, Schreibweisen und Symbole, um eine allgemeinere Definition aufzuschreiben. Beachte inbesondere die Seite 193, wo der Autor auf einige Probleme eingeht und am Ende auf den Abschnitt 5.1. verweist. Leider gibt er dort aber gar keinen so klaren Ausblick auf einen allgemeineren Integralbegriff.
Also lange Rede kurzer Sinn: Man kann das alles allgemeiner und einheitlicher formulieren, dazu bräuchte es aber einiges an mathematischem Rüstzeug und das würde dann für die angedachten Zwecke zu weit führen.

Falls es Dich beruhigt. Als ich meine erste Vorlesung in Wahrscheinlichkeitstheorie gehört habe, bin ich auch darüber gestolpert, dass die selben Begriffe (Wahrscheinlichkeit eines Ereignis A, Erwartungswert, ...) für diskrete und kontinuierliche Grundgesamtheiten so unterschiedlich definiert wurden. Die Verbindung zwischen den beiden habe ich dann erst einige Semester später verstanden.

Zumindest für Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume sollte aber nachvollziehbar sein, dass es überhaup nicht darauf ankommt, dass $\Omega$ eine abzählbare Menge von _Zahlen_ ist. Die Elemente können auch ganz anders aussehen, ohne dass sich an den Formeln etwas ändert, siehe z.B. S. 192 linker Teil der Tabelle.


tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2078
 Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-21 20:41    [Diesen Beitrag zitieren]

2021-04-21 10:33 - carlox in Beitrag No. 2 schreibt:
"Niete" und "Trostpreis" sind keine mathematischen Objekte.
Deshalb geb ich gleich die Codierung an und habe es dann einfacher.
Die Zufallsvariasble X ist dann die Idendität.
So vereinfache ich mir zumindest das Problem.
Ich denke unmittelbar an


carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
 Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-21 19:02    [Diesen Beitrag zitieren]

2021-04-21 17:16 - Kitaktus in Beitrag No. 5 schreibt:
Ansonsten:
Ich kann die verlinkte Seite leider nicht aufrufen. Vielleicht kannst Du mal aufschreiben, wie dort der Erwartungswert definiert wird.
Ganz kurz (später noch etwas mehr):
Geht dieser Link:
drive.google.com/file/d/1AA_QqXF-xc8KSwTXsDEIn-JesN5twSjC/view?usp=sharing

Wenn nicht, gib  mir bitte eine email, an die ich diese pdf als Anhang senden kann.


mfg
cx



Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6859
Wohnort: Niedersachsen

 Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-21 17:16    [Diesen Beitrag zitieren]

Zum Thema "mathematische Objekte": {Niete, Trostpreis, Hauptgewinn} _ist_ doch eine Menge?

Ansonsten:
Ich kann die verlinkte Seite leider nicht aufrufen. Vielleicht kannst Du mal aufschreiben, wie dort der Erwartungswert definiert wird.

Sicher $\Omega\subseteq\IR^n$ ist ein wichtiges Anwendungsbeispiel, bei dem sich einiges einfacher darstellen lässt. Ich kann mir sogar vorstellen, dass sich ein Autor eines Lehrbuches ganz auf solche Fälle zurückzieht, weil er sich dann einige Schwierigkeiten erspart. Besonders dann, wenn die Leser des Lehrbuchs gar nicht die ganze Bandbreite benötigen (oder nicht die notwendigen Vorkenntnisse haben).
Ein häufiges Problem der Wahrscheinlichkeitstheorie an Universitäten ist folgendes:
Die Theorie ist wichtig, nützlich und nicht übermäßig kompliziert, es bietet sich also an, das verhältnismäßig früh zu behandeln. Zu meiner Zeit war so 3. oder 4. Semester Standard.
Will man das aber in seiner vollen Tiefe tun, dann fehlen den Studenten dann regelmäßig Voraussetzungen, insbesondere aus der Maßtheorie.
Maßtheorie selbst ist aber nicht so super-attraktiv. Wer nicht direkt Mathematik studiert, wird damit wohl nicht in Berührung kommen.
Also versucht man das Problem zu umgehen, indem man manchen Themen aus dem Weg geht.
Ist Dir z.B. aufgefallen, dass die Formeln für den Erwartungswert einer stetigen und einer diskreten Zufallsgröße ganz anders aus sehen (Integral vs. Summe). Da fehlt ein einheitlicher "Integral"-Begriff, für den man aber einen allgemeineren "Maß"-Begriff braucht.
["Maß" = "Größe" einer Menge. Das kann zum einen Länge, Fläche, Volumen sein, zum anderen aber auch Anzahl der Elemente (ggf. mit Gewichtung).]

Zum Thema Projektionen. Mag ja sein, dass alle bisherigen Beispiele so aussehen. Aber im allgemeinen beschränkt man sich damit zu sehr.
Wenn man z.B. danach fragt, nach welcher Zeit ein radioaktives Teilchen zerfallen ist, dann weiß man natürlich nicht, welches Teilchen nach welcher Zeit zerfallen ist, trotzdem kann man z.B. Aussagen über die Verteilung dieser Zufallsvariable machen (z.B. "Exponentialverteilt mit Parameter ...")


carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
 Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-21 13:12    [Diesen Beitrag zitieren]

2021-04-21 12:25 - Kitaktus in Beitrag No. 3 schreibt:
Was sind den "mathematische Objekte"?
Alles was man mathematisch darstellen kann.
Im "Normalfall" also eine Menge.
Ein Auto ist also kein mathematisches Objekt, da ein Auto keine Menge ist.


Und wenn die Elemente von $\Omega$ "Drehung um den Ursprung um +90°", "Drehung um den Ursprung um -90°", Spiegelung an der x-Achse" und "Spiegelung an der y-Achse" heißen, sind sie dann "mathematisch" genug?
Nein :-)


Wenn Du damit klar kommst, für $\Omega$ nur bestimmte Mengen zu verwenden, dann tu das, wenn Du willst. Andere tun sich halt leichter damit, in $\Omega$ die eigentlichen Elementarereignisse reinzuschreiben und nicht eine Kodierung davon.
Janko Böhm macht es so auf S.192 - wenn ich das richtig verstanden habe -
bei der Definition von P(A)
Und implizit auf S.196 bei der Definition von
E(X)
www.mathematik.uni-kl.de/~boehm/lehre/20_MfI/mfi_kss.pdf
Frage:
Wird dort auf S. 196 bei der Definition von E(X) implizit
$\Omega$ = Menge der reellen Zahlen
vorausgesetzt und über diese integriert?


Über Deine Projektionen habe ich nochmal nachgedacht. Nehmen wir mal ein Beispiel:
Wir losen zufällig ein Kind einer Klasse aus, mögliche Ereignisse sind {Alexa, Bibi, Carlos, Dennis, Evita, Francesca, ...}.
Die kodiere ich jetzt mit Zahlen {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.
Jetzt fragt mich einer, mit welcher Wahrscheinlichkeit das ausgeloste Kind eine "1" in Mathe habe. Mit einer Projektion der laufenden Nummern kann ich das ganz bestimmt nicht abbilden.
Wir versuchen eine Behelfslösung und schreiben die Mathenoten mit an die laufenden Nummern dran: {(1,2), (2,2), (3,4), (4,1), (5,1), (6,3), ...}. Juhu, jetzt ist die Mathenote die Projektion auf die zweite Variable.
Dann fragt uns noch jemand nach der Zahl der Geschwister, der Köpergröße und der Hausnummer und wir blähen $\Omega$ immer mehr auf, nur damit wir jede Zufallsgröße als Projektion darstellen können.
Also gehen würde das, es wäre aber auch ein riesiger Mehraufwand, all diese Informationen in $\Omega$ mitzuschleppen und im Zweifelsfall müsste ich mit jeder neuen Fragestellung $\Omega$ verändern, obwohl sich am eigentlichen Auslosen gar nichts geändert hat.
Wie willst du es sonst machen ?
Bei allen mir bekannten Beispielen (z.B. zweimaliger Wurf einer Münze,
zweimaliges Ziehen einer rellen Zahl zwischen 0 und 1) wird die
Menge $\Omega$ als kartesisches Produkt darsgestellt und die Zufallsvariablen als Projektionen darauf.

mfg
cx






Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6859
Wohnort: Niedersachsen

 Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-21 12:25    [Diesen Beitrag zitieren]

Was sind den "mathematische Objekte"?
Und wenn die Elemente von $\Omega$ "Drehung um den Ursprung um +90°", "Drehung um den Ursprung um -90°", Spiegelung an der x-Achse" und "Spiegelung an der y-Achse" heißen, sind sie dann "mathematisch" genug?

Wenn Du damit klar kommst, für $\Omega$ nur bestimmte Mengen zu verwenden, dann tu das, wenn Du willst. Andere tun sich halt leichter damit, in $\Omega$ die eigentlichen Elementarereignisse reinzuschreiben und nicht eine Kodierung davon.

Über Deine Projektionen habe ich nochmal nachgedacht. Nehmen wir mal ein Beispiel:
Wir losen zufällig ein Kind einer Klasse aus, mögliche Ereignisse sind {Alexa, Bibi, Carlos, Dennis, Evita, Francesca, ...}.
Die kodiere ich jetzt mit Zahlen {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.
Jetzt fragt mich einer, mit welcher Wahrscheinlichkeit das ausgeloste Kind eine "1" in Mathe habe. Mit einer Projektion der laufenden Nummern kann ich das ganz bestimmt nicht abbilden.
Wir versuchen eine Behelfslösung und schreiben die Mathenoten mit an die laufenden Nummern dran: {(1,2), (2,2), (3,4), (4,1), (5,1), (6,3), ...}. Juhu, jetzt ist die Mathenote die Projektion auf die zweite Variable.
Dann fragt uns noch jemand nach der Zahl der Geschwister, der Köpergröße und der Hausnummer und wir blähen $\Omega$ immer mehr auf, nur damit wir jede Zufallsgröße als Projektion darstellen können.
Also gehen würde das, es wäre aber auch ein riesiger Mehraufwand, all diese Informationen in $\Omega$ mitzuschleppen und im Zweifelsfall müsste ich mit jeder neuen Fragestellung $\Omega$ verändern, obwohl sich am eigentlichen Auslosen gar nichts geändert hat.


carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
 Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-21 10:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Kitaktus,
vielen Dank für deine Antwort,
2021-04-21 09:53 - Kitaktus in Beitrag No. 1 schreibt:
$\Omega$ kann ja auch so was wie {Kopf, Zahl}, oder {Niete, Trostpreis, Haupgewinn} sein. Natürlich könnte man das auch mit reellen Zahlen "codieren", aber wenn man eine Abbildung von einem beliebigen $\Omega$ in irgendeine Teilmenge eines $\IR^n$ hat und von dort eine Abbildung (=Zufallsvariable) in den $\IR$, warum soll man dann nicht gleich von $\Omega$ nach $\IR$ abbilden.
Oft hat die Zufallsvariable gerade den Zweck, diese Codierung $\Omega$ nach $\IR$ vorzunehmen, wenn man z.B. der Niete den Wert 0 zuordnet, dem Trostpreis den Wert 1 und dem Hauptgewinn den Wert 100 (*).
"Niete" und "Trostpreis" sind keine mathematischen Objekte.
Deshalb geb ich gleich die Codierung an und habe es dann einfacher.
Die Zufallsvariasble X ist dann die Idendität.
So vereinfache ich mir zumindest das Problem.
Für das Experiment mit der Niete und dem Trostpreis:
$X(0)=0$ und
$X(1)=1$


Als Zufallsvariablen kommt viel mehr in Betracht als Projektionen, z.B. $w_1+w_2$, $w_1\cdot w_2\cdot w_3$, oder wie im Beispiel (*) eine willkürliche Zuordnung.
Die kann ich aber durch die Projektionen darstellen:
Gegeben die 2 Zufallsvariablen:
$X_1(w1,w2) = w1 $
$X_2(w1,w2) = w2 $
Dann kann man daraus aller mögliche konstruieren:
$X_3 := X_1 + X_2$
$X_4 := X_1 * X_2$
usw.

mfg
cx


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6859
Wohnort: Niedersachsen

 Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-21 09:53    [Diesen Beitrag zitieren]

$\Omega$ kann ja auch so was wie {Kopf, Zahl}, oder {Niete, Trostpreis, Hauptgewinn} sein. Natürlich könnte man das auch mit reellen Zahlen "codieren", aber wenn man eine Abbildung von einem beliebigen $\Omega$ in irgendeine Teilmenge eines $\IR^n$ hat und von dort eine Abbildung (=Zufallsvariable) in den $\IR$, warum soll man dann nicht gleich von $\Omega$ nach $\IR$ abbilden.
Oft hat die Zufallsvariable gerade den Zweck, diese Codierung $\Omega$ nach $\IR$ vorzunehmen, wenn man z.B. der Niete den Wert 0 zuordnet, dem Trostpreis den Wert 1 und dem Hauptgewinn den Wert 100 (*).

Als Zufallsvariablen kommt viel mehr in Betracht als Projektionen, z.B. $w_1+w_2$, $w_1\cdot w_2\cdot w_3$, oder wie im Beispiel (*) eine willkürliche Zuordnung.


carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
 Themenstart: 2021-04-21 08:29    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo allerseits,
Welchen Sinn hat eine Zufallsvariable bzw. ist diese nicht viel zu allgemein definiert?

Eine Zufallsvariable X ist eine Abbildung:
$X: \Omega \to \mathbb{R} $

Frage:
Kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit Folgendes voraussetzen:
$\Omega \subset \mathbb{R}^n $

Beispiele:

1)
Modellierung eines Experiments (n=1):
Eine reelle Zahl zwischen 0 und 5 wird zufällig gezogen.
$\Omega =  \{w \, \vert \, 0 \leq w \leq 5 \} \subset \mathbb{R} $
$X: \Omega \to \mathbb{R} $
$X = Idendität $


2) Modellierung eines Experiments (n>1):
Zwei reelle Zahlen zwischen 0 und 5 werden zufällig gezogen.
$\Omega =  [0,5] \times [0,5] \subset \mathbb{R}^2 $
$X_1: \Omega \to \mathbb{R} $
$X_2: \Omega \to \mathbb{R} $  mit:
$X_i(w1,w2)= w_i $


Rein praktisch gesehen, habe ich für n=1 immer
$X=Idendität $ benutzt und bei unabhängigen
Zufallsvariablen immer die Projektion (wie bei 2)
verwendet.

Kommt man damit aus bzw. kann das Experiment so formalisieren
(d.h. die Ereignisse als Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ codieren
und X als Idendität oder Projektion setzen)

mfg
cx







 
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