Antworte auf:  Stetigkeit Definition von Sven12345
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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5633
Wohnort: Berlin

 Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-21 22:55    [Diesen Beitrag zitieren]

Siehe math.stackexchange.com/questions/4107473/using-inverse-image-for-morphism-definitions


StrgAltEntf
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 Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-21 22:03    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Sven12345,

2021-04-21 21:43 - Sven12345 im Themenstart schreibt:
Intuitiv hätte ich mir unter einer stetigen (messbaren) Funktion, aber eine Funktion vorgestellt, die jede offene (messbare) Menge auf eine offene (messbare) Menge abbildet. Also die Eigenschaft bleibt erhalten bzgl. Funktionsabbildung.

Betrachte doch mal Funktionen \(\IR\rightarrow\IR\) mit der "üblichen" \(\varepsilon-\delta\)-Stetigkeitsdefinition und offene Mengen \(M\subseteq\IR\) mit der "üblichen" Definition von "offen". Ist dann wirklich \(f[M]\) für eine stetige Funktion f und eine offene Menge M immer offen?


Sven12345
Neu
Dabei seit: 21.04.2021
Mitteilungen: 3
 Themenstart: 2021-04-21 21:43    [Diesen Beitrag zitieren]

Hey,

warum wird bei sämtlichen Definitionen wie bspw. stetiger oder messbarer Funktionen immer mit Urbildern gearbeitet?

1. Definition stetige Abbildung

Seien $(X,T_X)$ und $(Y,T_Y)$ zwei topologische Räume, dann ist

$f: X \to Y$ genau dann stetig, falls $f^{-1}(O_Y) \in T_X$ f. a. $O_Y \in T_Y$

oder

2. Definition messbare Abbildung

Seien $(X_1,\mathcal{A}_1)$ und $(X_2,\mathcal{A}_2)$ zwei Messräume, dan ist

$f: X_1 \to X_2$ genau dann messbar, falls $f^{-1}(A_2) \in \mathcal{A}_1$ f. a. $A_2 \in \mathcal{A}_2$.

Könnte man das ganze Konstrukt nicht einfach auch mit dem Bild anstelle des Urbilds benutzen? Wie ist man (historisch) darauf gekommen?

In dieser Definition würde es also kein Problem darstellen, wenn eine offene Menge (messbare Menge) nicht auf eine offene Menge (messbare Menge) abgebildet wird.

Intuitiv hätte ich mir unter einer stetigen (messbaren) Funktion, aber eine Funktion vorgestellt, die jede offene (messbare) Menge auf eine offene (messbare) Menge abbildet. Also die Eigenschaft bleibt erhalten bzgl. Funktionsabbildung.

Beste Grüße


 
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