Antworte auf:  Doppeltes Kreuzprodukt von Irrlicht2040
Forum:  Mehrdim. Differentialrechnung, moderiert von: Curufin epsilonkugel

[Zur Forum-Gliederung] [Wie man Fragen beantwortet] [Themenstart einblenden]

  Alle registrierten Mitglieder können Mitteilungen schreiben.
Benutzername:
Passwort:
Nachricht-Icon:                   
                  
              
Nachricht:


 

Erledigt J


Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
 Show Preview      Write using fedgeo formula editor or Latex.

Smilies for your message:
😃 😄 😁 🙂 🙃 😉 🤗 🤫 🤔 🙄 😴 🤒 😎 😮 😲 😂
🙁 😖 😒 😐 😡 👌 👍 👎 🤢 🤧 🥵 🥶 😵 🤯 😛 😷
Optionen: Deaktiviere HTML in dieser Nachricht
Deaktiviere MATHML in dieser Nachricht. Wenn Dein Text $-Zeichen enthält, die nicht LaTeX-Formeln begrenzen.
Deaktiviere Smilies in dieser Nachricht
Zeige die Signatur (Kann in 'Mein Profil' editiert werden.)
    [Abbrechen]
 
Beachte bitte die [Forumregeln]


Themenübersicht
Irrlicht2040
Aktiv
Dabei seit: 25.04.2021
Mitteilungen: 27
 Beitrag No.11, eingetragen 2021-06-15 16:23    [Diesen Beitrag zitieren]
Hi, das klappt sehr gut und ich komm auch auf das gewünschte Ergebnis. Danke Euch für die Hilfe. lg Stephan

Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 625
 Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-15 15:42    [Diesen Beitrag zitieren]
\quoteon(2021-06-15 15:33 - Irrlicht2040 in Beitrag No. 9) die Weber-Transformation sieht zwar ganz schon aufwendig aus, aber sier erfüllt es komplett. Dank Dir. \quoteoff Auf die Gefahr einer Begriffsverwechslung: die in #0 gefragte Formel ist die Weber-Transformation. Die zur Herleitung verwendete "Skalarprodukt-Formel", die die Wirkung des Nabla-Operators auf ein Skalarprodukt beschreibt, leitet man z.B. mit Jacobi-Matrizen her.

Irrlicht2040
Aktiv
Dabei seit: 25.04.2021
Mitteilungen: 27
 Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-15 15:33    [Diesen Beitrag zitieren]
Hi, die Weber-Transformation sieht zwar ganz schon aufwendig aus, aber sier erfüllt es komplett. Dank Dir. lg Stephan

Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 625
 Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-15 14:58    [Diesen Beitrag zitieren]
\quoteon(2021-06-15 10:30 - Irrlicht2040 im Themenstart) \( \vec E \times (\vec\nabla \times \vec E) = \frac{1}{2} \vec\nabla \vec E^2 - (\vec E \cdot \vec\nabla ) \vec E \) \quoteoff Beachte, dass hier nicht die Graßman-Identität, sondern die Weber-Transformation ausgeschrieben wurde: Kennt man die "Skalarprodukt-Regel" $\nabla(\vec{A} \cdot \vec{B}) =(\vec{A} \cdot \nabla)\vec{B} \,+\, (\vec{B} \cdot \nabla)\vec{A} \,+\, \vec{A} {\times} (\nabla {\times} \vec{B}) \,+\, \vec{B} {\times} (\nabla {\times} \vec{A})$ (die je nachdem etwas aufwendig herzuleiten ist), folgt für den Sonderfall $\vec{A}=\vec{B}$ ohne Weiteres $\nabla \vec{A}^2 = 2(\vec{A} {\cdot} \nabla) \vec{A} \,+\, 2\vec{A} {\times} (\nabla {\times} \vec{A})$ ("Weber-Transformation") Mit $\vec{A}=\vec{E}$ folgt die Behauptung.

Irrlicht2040
Aktiv
Dabei seit: 25.04.2021
Mitteilungen: 27
 Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-15 12:59    [Diesen Beitrag zitieren]
\quoteon(2021-06-15 12:25 - wladimir_1989 in

Irrlicht2040
Aktiv
Dabei seit: 25.04.2021
Mitteilungen: 27
 Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-15 12:55    [Diesen Beitrag zitieren]
Hi Wladimir, im Moment noch nicht, werde ich mir aber ansehen. Dank Dir. lg Stephan

Irrlicht2040
Aktiv
Dabei seit: 25.04.2021
Mitteilungen: 27
 Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-15 12:54    [Diesen Beitrag zitieren]
Hi, wir haben es in Impulsbilanz des elektromagnetischen Feldes benutzt. Hier hatten wir aufgestellt, dass \( ( \dot E \times \vec B ) = \frac{\partial}{\partial t} (E \times \vec B) - ( \vec E \times \dot B ) = \frac{\partial}{\partial t} (\vec E \times \vec B) + \vec E (\nabla \times \vec E) \) für \( \dot B \) haben wird \(\nabla \times \vec E = - \dot B \) eingesetzt. Anschließend haben wir erstmal \( E \times (\nabla \times \vec E )\) berechnet mit \( \nabla (\vec E \cdot \vec E) - (\vec E \cdot \nabla ) \vec E = \nabla \frac {E^2}{2} - (\vec E \cdot \nabla) \vec E \) da steht halt das 1/2 mit drin, was ich mir leider nicht erklären kann. lg Stephan

wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1469
Wohnort: Freiburg

 Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-15 12:25    [Diesen Beitrag zitieren]
Hi Irrlicht2040, kennst du die $\epsilon$-Tensor-Darstellung vom Kreuzprodukt? Damit lassen sich solche Rechnungen meistens ziemlich elegant durhcführen. lg Wladimir [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.] PS: Bist du dir sicher, dass du im Beitrag 0 richtig geklammert hast? $\vec E \times \vec E$ ist ja trivialerweise 0, da der Kreuzprodukt zwischen zwei beliebigen linear abhängigen Vektoren 0 ist.

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7628
Wohnort: Rosenfeld, BW

 Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-15 12:03    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-06-15 11:46 - Irrlicht2040 in Beitrag No. 2) Mit der B(AC) - C(AB) regel bekomm ich dann. \( \nabla ( \vec E \cdot \vec E) - \vec E (\nabla \cdot \vec E ) \) \quoteoff Nein, das ist falsch. Es sollte so aussehen: \[\nabla\times\left(\vec{E}\times\vec{E}\right)=\nabla\circ\vec{E}\cdot\vec{E}-\nabla\circ\vec{E}\cdot\vec{E}=\vec{0}\] (Ich habe das Skalarprodukt zur besseren Unterscheidung einmal mit '\(\circ\)' notiert.) \quoteon(2021-06-15 11:46 - Irrlicht2040 in Beitrag No. 2) Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist dann der Betrag des Vektors zum Quadrat \( \vec E \cdot \vec E = |E|^2 \) \quoteoff So ist es, also ist natürlich \(|\vec{E}|^2=\vec{E}^2\). Wo kommt das denn her? Vielleicht hilft der Kontext ja dabei, hier Licht ins Dunkel zu bringen... Gruß, Diophant\(\endgroup\)

Irrlicht2040
Aktiv
Dabei seit: 25.04.2021
Mitteilungen: 27
 Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-15 11:46    [Diesen Beitrag zitieren]
Hi, habe es geändert, danke für den Tipp mit \times das große x sah scheußlich aus. Mit der B(AC) - C(AB) regel bekomm ich dann. \( \nabla ( \vec E \cdot \vec E) - \vec E (\nabla \cdot \vec E ) \) Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist dann der Betrag des Vektors zum Quadrat \( \vec E \cdot \vec E = |E|^2 \) Durch das Kreuzprodukt wirkt \( \nabla \) auf das eine E. Meine Dozentin hat es einmal benutzt, meinte dann aber, wir sollten es selbst nachrechnen. Daher habe ich es Versucht und bekomme es nicht hin ... Der Betrag heißt ja in den Fall, dass \( |E| = \sqrt {E_1^2 + E_2^2 + E_3^2} \) blöd gesagt würde dann für mich heißen, dass \( |E|^2 = E^2 \) ist. lg Stephan

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7628
Wohnort: Rosenfeld, BW

 Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-15 10:41    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, vorneweg: deine Notation ist schwierig zu entziffern. Schreibe \times für das Kreuzprodukt, und das Nabla braucht keinen Vektorpfeil. Es handelt sich hier offensichtlich um die sog. Graßman-Identität und demnach wäre der Vorfaktor \(1/2\) in der Tat falsch. Das wäre dann aber auch nicht der einzige Fehler. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]\(\endgroup\)

Irrlicht2040
Aktiv
Dabei seit: 25.04.2021
Mitteilungen: 27
 Themenstart: 2021-06-15 10:30    [Diesen Beitrag zitieren]
Hi, ich habe eine Frage, ich habe \( \vec E \times (\vec\nabla \times \vec E) = \frac{1}{2} \vec\nabla \vec E^2 - (\vec E \cdot \vec\nabla ) \vec E \) Das E und Nabla sind skalar verbunden. Das Skalarprodukt von \( \vec E \) ist der Betrag von \( \vec E \) zum Quadrat, aber ich verstehe leider nicht, wo das \( \frac{1}{2} \) herkommt. Kann es mir jemand erklären? lg Stephan

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]