Antworte auf:  Orthogonalprojektion Orthonormalbasis von sina1357
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Themenübersicht
sina1357
Aktiv
Dabei seit: 14.11.2020
Mitteilungen: 142
 Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-15 16:03    [Diesen Beitrag zitieren]
Danke für eure Antworten und den zusätzlichen Beweis. Jetzt habe ich es verstanden.

Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3009
 Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-15 15:10    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hier ist ein einfacher Beweis, dass Orthogonalprojektionen in euklidischen Räumen symmetrisch sein müssen: Die Orthogonalprojektion auf einen Unterraum $U\subset V$ ist charakterisiert als die eindeutige lineare Abbildung $P:V\to V$ mit der Eigenschaft $\forall v\in V: Pv\in U \land v- Pv \in U^\perp$. Daher gilt für alle $v,w\in V$: $$ \langle Pv, w\rangle = \langle Pv, Pw + (w-Pw)\rangle = \langle Pv, Pw\rangle+ \langle Pv,w-Pw\rangle = \langle Pv,Pw\rangle.$$ Analog zeigt man $ \langle v, Pw\rangle = \langle Pv,Pw\rangle$, so dass sich insgesamt $ \langle Pv,w\rangle = \langle v,Pw\rangle$ ergibt, was gerade bedeutet, dass $P$ symmetrisch ist.\(\endgroup\)

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7635
Wohnort: Rosenfeld, BW

 Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-15 14:54    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, das steht doch auf Wikipedia. In dem Unterraum, in den projiziert wird, nimmt man ebenfalls eine Orthogonalbasis an. Die \(y_i\) sind die Koordinatenvektoren dieser Basis (bzgl. der Orthonormalbasis von \(V\), von der wir ausgehen). Schaue dir am besten dort die beiden Beispiele für den \(\IR^3\) einmal genauer an (vor allem das zweite mit der Projektion auf eine Ebene). Gruß, Diophant\(\endgroup\)

sina1357
Aktiv
Dabei seit: 14.11.2020
Mitteilungen: 142
 Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-15 14:43    [Diesen Beitrag zitieren]
Hallo Diophant, danke für deine schnelle Antwort. Allerdings wird mir nicht so richtig klar, was yi sein soll. Kannst du mir da vielleicht nochmal weiterhelfen? Danke! Viele Grüße sina1357

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7635
Wohnort: Rosenfeld, BW

 Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-15 14:39    [Diesen Beitrag zitieren]
Hallo, im reellen Fall ist das tatsächlich immer so. Auf Wikipedia wird es kurz und knapp erklärt. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von Diophant]

sina1357
Aktiv
Dabei seit: 14.11.2020
Mitteilungen: 142
 Themenstart: 2021-06-15 14:33    [Diesen Beitrag zitieren]
Hallo zusammen, ich habe soeben ein paar Orthogonalprojektionsmatrizen bezüglich Orthonormalbasen ausgerechnet und mir ist aufgefallen, dass diese Matrizen stets symmetrisch waren. Ich frage mich nun, ob das immer der Fall ist und wenn ja warum.. Danke für eure Hilfe!

 
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