Antworte auf:  Über Tangentialräume: Lücke im Beweis schließen von FibreBundle
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FibreBundle
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 Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-21 15:21    [Diesen Beitrag zitieren]
Problem hat sich erledigt. Ich habe mir von den 3 Abbildungen, von denen ich bei 2 die Bijektivität nachweisen musste, die schwierigere Abbildung ausgesucht. Die anderen zwei waren viel leichter zu beweisen, weshalb ich das obige Problem nun nicht mehr wissen muss. Es ergibt sich aus der Verkettung der anderen leichter zu lösenden Bijektionen. Es bleibt natürlich noch ein interessantes Problem an sich. Setze trotzdem schon mal den Haken.

FibreBundle
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 Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-15 15:50    [Diesen Beitrag zitieren]
Meine Idee wäre gewesen, dass man mit den Operatoren $\partial_{v_i}\in D_pM$ die kanonischen Einheitsvektoren $e_i\in\mathbb{R}^n$ bastelt. $\Phi(\partial_{v_1}) = (\partial_{v_1}h_1,\partial_{v_1}h_2, ..., \partial_{v_1}h_n) = (1,0,0,...,0)$ ... $\Phi(\partial_{v_i}) = (\partial_{v_i}h_1,\partial_{v_i}h_2, ..., \partial_{v_i}h_n) = (0,..,1,...,0)$ ... $\Phi(\partial_{v_n}) = (\partial_{v_n}h_1,\partial_{v_n}h_2, ..., \partial_{v_n}h_n) = (0,0,0,...,1)$ Kurz notiert: $\partial_{i}\vec{h}=e_i$. Wenn ich nun alle Operatoren des $D_pM$ zur Verfügung habe, dann kann ich mir doch sicherlich alle kanonischen Einheitsvektoren basteln. Wie kann ich das präzisieren? Dann müsste ich noch linear-kombinieren. Das darf ich, weil $\Phi(a\partial_i+b\partial_j) = (a\partial_i + b\partial_j)\vec{h} = ae_i+be_j$.

FibreBundle
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 Themenstart: 2021-06-15 15:27    [Diesen Beitrag zitieren]
Hi Leute! Ich brauche, um die Lücke in einer größeren Argumentationskette (es geht um Äquivalenz von Tangentialraum-Versionen), einen Beweis für folgende Aussage. Die injektive Abbildung $\Phi: D_pM \rightarrow T_pM$ ist auch surjektiv. $D_pM$ ist dabei die Menge der Derivationen (Linearität und Produktregel) von Funktionskeime um den Punkt $p\in M$ und $M$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit endlicher Dimension. Die Keim-Funktionen $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ eines Keims stimmen in einer Umgebung $U \ni p, U \subseteq M$ überein. Der $T_pM$ ist dabei der 'physikalisch' definierte Tangentialraum, welcher eine Vektorraumstruktur trägt. Ein Vektor $v$ in diesem Tangentialraum ist dabei eine Abbildung von der Menge der Karten der Mannigfaltigkeit in den $\mathbb{R}^n$. Das bedeutet $v(U,h) \in \mathbb{R}^n$, wobei $(U,h:U\rightarrow \mathbb{R}^n)$ eine Karte ist. Außerdem müssen die Elemente des Tangentialraumes sich richtig 'transformieren'. Die Abbildung $\Phi$ ist dann so definiert. Es seien die Koordinatenfunkntions-Keime $h_i:U\rightarrow \mathbb{R}$ gegeben. Dann ist der Vektor $v=\Phi(w)=(w(h_1), w(h_2),...,w(h_n))$. Das Element $w\in D_pM$ ist dabei eine Derivation wie oben beschrieben. Wie zeige ich da die Surjektivität von $\Phi$?

 
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