Antworte auf:  Untere Konfidenzgrenze von 99% von PeterMeier123
Forum:  Stochastik und Statistik, moderiert von: Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel

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Themenübersicht
PeterMeier123
Aktiv
Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 86
 Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-22 10:42    [Diesen Beitrag zitieren]
Hey luis, vielen Dank für deine Antwort, die macht vieles deutlich klarer. 👍 Ich muss zugeben mit der Definition von Quelle 1 bin ich auch direkt auf die "Musterlösung" gekommen (ich hatte mir das genauso gezeichnet wie im ersten Beitrag von mir). Allerdings scheint es hier wirklich sehr viele unterschiedliche Auffassungen davon zu geben, was jetzt eine Unter/Obergrenze darstellt. In meinem Skript steht beispielsweise eine dritte Variante 😐

luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 585
 Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-20 15:24    [Diesen Beitrag zitieren]
Ich glaube, du brauchst eine bildliche Vorstellung. Am besten passt die Zeichnung deines ersten Beitrags. Interpretiere Sie als die Verdeutlichung der Gleichung \[P\left(\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\le\chi_{0.99}^2(n-1)\right)=0.99\,.\] wobei die Wsk links die rote Flaeche ist. Die Ungleichung fuehrt zu der Untergrenze \[\left(\frac{(n-1)S^2}{ \chi_{0.99}^2(n-1)},\infty\right)\] fuer $\sigma^2$. In Beitrag #2 habe ich das Ergebnis 0.00554 angegeben, was jedoch das UKI fuer $\sigma$ ist, weil du in einem anderen Thread ein KI fuer $\sigma$ zu bestimmen hattest. Da habe ich nicht aufgepasst. Das Ergebnis muss also zu $0.00554^2=0.000037$ korrigiert werden, was der Musterloesung entspricht. vg Luis

PeterMeier123
Aktiv
Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 86
 Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-20 12:41    [Diesen Beitrag zitieren]
Hey, Wenn du sagst, dass das Intervall $$\left(\frac{(n-1)S^2}{ \chi_{1-\alpha}^2(n-1)},\infty\right)$$ eine untere Zufallsgrenze definiert, dann stelle ich mir das als Plot in etwa so vor: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50292_KonfidenzintervallUntenKorr2.png Dann liegt das $\sigma^2$ genau dazwischen. Es geht ja um das "lower" untere 99% Konfidenzintervall, d.h. auch das müsste dann im Plot richtig sein, oder? Jetzt stelle ich aber fest, dass dein Intervall nicht mehr zu dem von Quelle 2 passt: $$\begin{array}{cc} \text{ Lower Interval } & \text{ Upper Interval }\\ \left(0, \frac{(n-1)s^2}{\chi_{1-\alpha,n-1}^2}\right) & \left(\frac{(n-1)s^2}{\chi_{\alpha,n-1}^2}, \infty\right) \end{array}$$ Was ist denn richtig? Ich danke erstmal für deine guten Beiträge und hoffe, dass du mir etwas weiterhelfen kannst 🙂 ----------------- PS: Ich habe die Aufgabe aus einem Buch, deren "Lösung" auch hier vorgestellt wird: https://www.slader.com/discussion/question/a-rivet-is-to-be-inserted-into-a-hole-a-random-sample/ Hier wurde dann "stumpf" mit der Formel von Quelle 1 gearbeitet, allerdings widerspricht das dem von Quelle 2 und der Lösung von Luis...

luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 585
 Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-19 20:57    [Diesen Beitrag zitieren]
Es gilt \[ \begin{align*} P\left(\chi_{\alpha/2}^2(n-1)\le\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\le\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)\right)=1-\alpha &\iff P\left(\frac{1}{ \chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)}\le\dfrac{\sigma^2}{(n-1)S^2}\le\frac{1}{\chi_{\alpha/2}^2(n-1)}\right)=1-\alpha \\ &\iff P\left(\frac{(n-1)S^2}{ \chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)}\le\sigma^2\le\frac{(n-1)S^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n-1)}\right)=1-\alpha \end{align*} \] Interpretation: Das Zufallsintervall \[\left(\frac{(n-1)S^2}{ \chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n-1)}\right)\] ueberdeckt $\sigma^2$ mit der Wsk $1-\alpha$. Fuer die Untergrenze musst du \[P\left(\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\le\chi_{1-\alpha}^2(n-1)\right)=1-\alpha\] wie oben nach $\sigma^2$ umstellen. Dann bildet das Intervall \[\left(\frac{(n-1)S^2}{ \chi_{1-\alpha}^2(n-1)},\infty\right)\] eine Zufallsuntergrenze, die $\sigma^2$ mit der Wsk $1-\alpha$ ueberdeckt. vg Luis

PeterMeier123
Aktiv
Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 86
 Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-19 19:57    [Diesen Beitrag zitieren]
Hey luis, $$\chi_{\alpha/2}^2(n-1)\le\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\le\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)$$ $$\sigma^2\chi_{\alpha/2}^2(n-1)\le(n-1)S^2\le\sigma^2\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)$$ Jetzt picke ich mir mal eine Seite der Ungleichung raus: $$(n-1)S^2\le\sigma^2\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)$$ $$\frac{(n-1)S^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)}\le\sigma^2$$ Jetzt wäre dann die Frage, wie man von der Ungleichung oben, auf diese kommt: $$\frac{(n-1)S^2}{\chi_{\alpha}^2(n-1)}\le\sigma^2$$ Ich nehme an, dass das deshalb erfolgt, damit man jetzt zwei Teilflächen hat, einmal eine die $\alpha$ groß ist und eine die $1-\alpha$ groß ist. ---------------------- Kitaktus hatte erwähnt, dass wenn man die untere Grenze sucht, die linke Fläche 1% hat und die rechte 99%. Ich weiß nicht ob ich das richtig deute, aber ich versuch es mal: "untere Konfidenzgrenze von 99%" mein, dass 99% der Werte größer sind, damit also rechts von X liegen? Das Bild wäre dann: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50292_KonfidenzintervallUntenKorr.png ---------------------- Wenn ich weiß, dass die rechte Fläche 99% hat, dann würde ich jetzt folgendermaßen die untere Konfidenzgrenze von 99% berechnen (das entspricht dann dem Bild und auch "zufällig" der Formel $\frac{(n-1)s^2}{\chi_{1-\alpha,n-1}^2}$ aus Quelle 2): $$\frac{(15-1)0.008^2}{\chi_{0.99,14}} = \frac{(15-1)0.008^2}{4.66} = 0.0001992$$ damit wäre dann das "lower interval" $\left[0,0.0001992\right]$ Wenn man jedoch diese Formel $\frac{(n-1)s^2}{\chi_{\alpha,n-1}^2}\leq \sigma^2$ benutzt, kommt man auf: $$ \frac{(n-1)s^2}{\chi_{\alpha,n-1}^2} = \frac{(15-1)0.008^2}{\chi_{0.01,14}^2} = \frac{(15-1)0.008^2}{29.14} = 0.00003074 \leq \sigma^2 $$ Was ist jetzt richtig? ---------------------- Ich weiß, dass das viele Infos sind, aber es würde mich wirklich sehr freuen, wenn mir hier weitergeholfen werden könnte! Schon mal vielen Dank, ich weiß das zu schätzen! 👍

luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 585
 Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-19 17:10    [Diesen Beitrag zitieren]
Die von mir angebene Formel fuehrt auf das Lower interval der Quelle 2. Fuer das KI der Quelle 1 nutzt man \[P\left(\chi_{\alpha/2}^2(n-1)\le\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\le\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)\right)=1-\alpha\,.\] Stelle die Ungleichungen einfach mal nach $\sigma^2$ um. vg Luis

PeterMeier123
Aktiv
Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 86
 Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-19 16:08    [Diesen Beitrag zitieren]
Danke für die Antworten, Kitaktus und luis52! 🙂 Also ich weiß theoretisch was ich machen muss nur folgendes verwirrt mich gerade sehr stark: Quelle 1: The $100(1-\alpha)$% lower and upper confidence bounds on $\sigma^2$ are: $$\frac{(n-1)s^2}{\chi_{\alpha,n-1}^2}\leq \sigma^2 \text{ and } \sigma^2 \leq \frac{(n-1)s^2}{\chi_{1-\alpha,n-1}^2}$$ Quelle 2: $$\begin{array}{cc} \text{ Lower Interval } & \text{ Upper Interval }\\ \left(0, \frac{(n-1)s^2}{\chi_{1-\alpha,n-1}^2}\right) & \left(\frac{(n-1)s^2}{\chi_{\alpha,n-1}^2}, \infty\right) \end{array}$$ Bitte beachtet die unterschiedlichen Indizes in den Chi-Termen. Diese Aussagen verwirren mich gerade, weil wenn ich das richtig verstehe, Sagt Quelle 1 genau das Gegenteil von Quelle 2, oder irre ich mich? Mein $\alpha$ würde ich etwa so bestimmen: $100(1-\alpha) = 99 \rightarrow \alpha = 0.01$. Aber welche der Formeln soll man jetzt weiter verwenden zur Berechnung der unteren Grenze?

luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 585
 Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-19 15:56    [Diesen Beitrag zitieren]
\quoteon(2021-06-19 14:46 - PeterMeier123 im Themenstart) Ist diese Darstellung der unteren Konfidenzgrenze von 99% so richtig? Wenn ja, dann würde ich im nächsten Schritt meine Rechnung vorstellen, aber, wie gesagt, ich bin mir nicht sicher, ob das so richtig ist... Ich würde mich sehr über eure Antworten freuen! \quoteoff Moin Peter, ich sehe hier so etwas wie die Dichte einer Verteilung (vllt die einer $\chi^2(14)$-Verteilung) mit zwei Teilbereichen. Ich kann nur raten, was du damit meinst, womoeglich dass bei Normalverteilung(!) gilt \[P\left(\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\le\chi_{1-\alpha}^2(n-1)\right)=1-\alpha\,.\] *Ich* erhalte die Untergrenze $0.00554$. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6879
Wohnort: Niedersachsen

 Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-19 15:48    [Diesen Beitrag zitieren]
Wenn Du die untere Grenze suchst, muss es genau andersherum sein. Links 1% und rechts 99%. Denkbar wäre noch eine Aufteilung in: Links 0,5%, Mitte 99%, rechts 0,5%. Was genau gemeint ist, hängt vom "Kleingedruckten" ab. Manche Autoren sprechen zur Unterscheidung von linksseitigen, rechtsseitgen und beidseitigen Konfidenz-Intervallen o.ä.

PeterMeier123
Aktiv
Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 86
 Themenstart: 2021-06-19 14:46    [Diesen Beitrag zitieren]
Hallo 🙂, Ich habe eine Frage zur Berechnung der unteren Konfidenzgrenze von 99% für $\sigma^2$. Die Aufgabe lautet folgendermaßen: Ein Niet soll in eine Bohrung eingesetzt werden. Es wird eine Stichprobe von n = 15 Teilen ausgewählt und der Lochdurchmesser gemessen. Die Stichprobenstandardabweichung der Messungen des Lochdurchmessers ist s = 0,008 Millimeter. Konstruieren Sie eine untere Konfidenzgrenze von 99% für $\sigma^2$ Mein Ansatz: Ich würde hier mit der Chi-Quadrat Verteilung arbeiten, jedoch kann ich mir graphisch nicht ganz vorstellen, was mit "untere Konfidenzgrenze von 99%" gemeint ist. Heißt das, angenommen ich gucke mir den Plot einer Chi-Quadrat Verteilung an, dann hätte ich zwei Abschnitte einen von 99% Intervall Größe und einen weiteren mit der Größe von 1%, ich würde das graphisch in etwa so darstellen: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50292_KonfidenzintervallUnten.png Ist diese Darstellung der unteren Konfidenzgrenze von 99% so richtig? Wenn ja, dann würde ich im nächsten Schritt meine Rechnung vorstellen, aber, wie gesagt, ich bin mir nicht sicher, ob das so richtig ist... Ich würde mich sehr über eure Antworten freuen!

 
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