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Martin_Infinite schrieb am 07.02.2006 und bewertete mit
Dieses Lehrbuch stellt eine umfassende Einführung in die Algebra (I) dar. Die lineare Algebra wird dabei nur soweit entwickelt, wie sie für die Algebra benötigt wird. Zu den Voraussetzungen schreibt der Autor in der Einleitung:

"Der Leser sollte eine gewisse Vertrautheit im Umgang mit mathematischen Begriffsbildungen besitzen und vielleicht die ersten beiden Studiensemester schon hinter sich haben. Vorkenntnisse werden dagegen nur in ganz geringem Umfang erwartet."

Das zeigt sich bereits in der Einleitung, die sich der Frage widmet, was Algebra heutzutage überhaupt ist, und wie sie sich entwickelt hat, sowie dem ersten Kapitel. Positiv ist anzumerken, dass sich nach fast jedem Paragraphen einige lohnende Aufgaben finden, die der Anwendung oder Vertiefung der Theorie dienen, und deren Lösungen man ggf. am Ende des Buches nachgeschlagen kann. Ferner findet sich im Text eine sehr gute Mischung aus Theorie und Beispielen.

Die Kapitel sind in Paragraphen aufgeteilt, die sich jeweils auf ein bestimmtes Thema konzentrieren. Um auf den Inhalt konkreter einzugehen, hier noch das Inhaltsverzeichnis:

Einleitung

1 Grundlagen
§ 1 Mengen
§ 2 Die Menge der natürlichen Zahlen
§ 3 Abbildungen
§ 4 Abzählbarkeit
§ 5 Äquivalenzrelationen

2 Gruppen
§ 6 Das Rechnen in Gruppen
§ 7 Darstellungen durch Transformationsgruppen
§ 8 Untergruppen
§ 9 Zyklische Gruppen
§10 Direkte Produkte
§11 Abelsche Gruppen
§12 Homomorphe Bilder von Gruppen
§13 Einbettung von Halbgruppen in Gruppen
§14 Spezielle Ergebnisse
§15 Automorphismen von Gruppen
§16 Operation einer Gruppe auf einer Menge
§17 Die Sylowschen Sätze
§18 Beispiele von Gruppen

3 Ringe
§19 Algebraische Strukturen
§20 Das Rechnen in Ringen
§21 Homomorphe Bilder von Ringen
§22 Einbettung von Integritätsbereichen in Körpern
§23 Der komplexe Zahlkörper
§24 Endomorphismenringe abelscher Gruppen
§25 Polynomringe
§26 Nullstellen von Polynomen
§27 Körpererweiterungen
§28 Halbgruppenringe
§29 Der Quaternionenschiefkörper
§30 Duale Zahlen
§31 Angeordnete Ringe
§32 Der Körper der reellen Zahlen
§33 Bewertete Körper
§34 Symmetrische Polynome

4 Ideale
§35 Rechenregeln
§36 Teilbarkeit
§37 Gausssche Ringe, Hauptidealringe, Euklidische Ringe
§38 Der Ring Z[i]
§39 Partialbruchzerlegung in K(x)

§40 Primideale
§41 Maximale Ideale
§42 Der Satz von Gauss
§43 Irreduzibilitätskriterien
§44 Teilbarkeitssätze in Polynomringen
§45 Kreisteilungspolynome
§46 Noethersche Ringe
§47 Der Hilbertsche Basissatz

5 Vektorräume
§48 Das Rechnen in Vektorräumen
§49 Teilräume
§50 Der Basissatz
§51 Homomorphismen von Vektorräumen
§52 Die Gradformel

6 Körpertheorie
§53 Einfache Körpererweiterungen
§54 Endliche Körpererweiterungen
§55 Der Satz von Frobenius
§56 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
§57 Nullstellen von Idealen
§58 Zerfällungskörper
§59 Endliche Körper
§60 Endliche Schiefkörper
§61 Die Sätze vom primitiven Element
§62 Inseparable Polynome

7 Galoistheorie
§63 Isomorphismen von Körpern
§64 Automorphismen von Körpern
§65 Normale Körpererweiterungen
§66 Der Hauptsatz der Galoistheorie
§67 Ein Beispiel
§68 Automorphismen von GF(pn)
§69 Kreisteilungskörper
§70 Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks

8 Auflösbare Polynome
§71 Polynome ersten bis vierten Grades
§72 Auflösbare Gruppen
§73 Der Satz von Abel

Lösungen der Aufgaben
Bezeichnungen
Literatur
Namen- und Sachverzeichnis



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