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Martin_Infinite schrieb am 07.06.2011 und bewertete mit
Das Buch \"Algebraic Geometry\" von Robin Hartshorne, üblicherweise einfach \"der Hartshorne\" genannt, ist eines der bekanntesten Lehrbücher zur algebraischen Geometrie. Zunächst einmal eine Zusammenfassung des Inhalts:

Das erste Kapitel beginnt mit der klassischen algebraischen Geometrie: Es werden affine und projektive Varietäten als polynomiale Nullstellenmengen zusammen mit ihren regulären Funktionen eingeführt und studiert. Dabei kommen vor allem die Beispiele nicht zu kurz. Es gibt viele Bilder, die einem so wichtige Konzepte wie z.B. die Aufblasung und die Klassifikation von Singularitäten näher bringen. Spezieller werden dann nichtsinguläre Varietäten und insbesondere Kurven untersucht und die Durchschnittstheorie bis zum Satz von Bezout entwickelt.

Im letzten Abschnitt \"What is Algebraic Geometry?\" des ersten Kapitels wird man nun auf das zweite Kapitel vorbereitet, welches den moderneren und für den Anfänger meist sehr abstrakt wirkenden Apparat der algebraischen Geometrie eingeführt, in dem Garben und Schemata und ihre Morphismen im Mittelpunkt stehen. Spezieller geht es dann noch um quasikohärente Moduln, Divisoren, projektive Schemata, Differentiale (die infinitesemale Theorie) und schließlich formelle Schemata.

Das dritte Kapitel behandelt Garben- und Cechkohomologie. Wichtige Anwendungen wie z.B. die Serre-Dualität, flache und glatte Morphismen sowie der Halbstetigkeitssatz werden besprochen. Nach dieser ganzen Theorie wird man nun mit zwei recht konkreten und geometrischen Kapiteln belohnt, in denen Kurven (speziell elliptische Kurven) und Flächen studiert werden.

Die Anhänge skizzieren jeweils weiterführende Themen, wie z.B. Durchschnittstheorie mit dem Satz von Grothendieck-Riemann-Roch, komplex-analytische Mannigfaltigkeiten (Serres GAGA), und schließlich die berühmten Weil-Vermutungen.

Nun zu meiner Kritik:

Es gibt mittlerweile einige Lehrbücher und auch Vorlesungen, die die klassische algebraische Geometrie völlig ausblenden. Ich halte das für keine gute Idee. Nicht nur die historischen Wurzeln der algebraischen Geometrie finden sich dort wieder. Daher finde ich die inhaltliche Auswahl im Hartshorne sehr gut.

Allerdings fängt das Buch auf den ersten Seiten schon mit einem rasanten Tempo an. Viele Sätze aus der kommutativen Algebra, und später auch aus der homologischen Algebra, werden als bekannt vorausgesetzt (aber mit guten Referenzen, wo man weiterlesen kann). Man sollte dieses Buch also vielleicht erst dann lesen, wenn man sich reif genug dafür fühlt, oder auch bereit ist, algebraische Grundlagen nebenher zu lesen oder einfach zu akzeptieren. Das liegt aber auch daran, dass hier ein ungewöhnlich großer Teil der Grundlagen in die Übungsaufgaben verfrachtet wird, von denen der Leser möglichst viele bearbeiten sollte, um am Ball zu bleiben. Einige Beweise verwenden die Resultate und Notationen aus den Übungsaufgaben. Dieses Buch erfordert also viel Arbeit.

Ab einem gewissen Zeitpunkt nimmt Hartshorne alle betrachteten Schemata als lokal noethersch an. In diesem Kontext werden dann Definitionen gemacht, die im allgemeinen Setting nicht ganz korrekt sind (z.B. die einer kohärenten Garbe). Innerhalb des Buches ist das aber alles konsistent.

Mit seinen fast 500 Seiten deckt der Hartshorne sehr viele Grundlagen der algebraischen Geometrie ab. Die erste Ausgabe ist von 1977 und es gibt mittlerweile meiner Meinung nach schon bessere Bücher.

Ich möchte stattdessen diese Besprechung geben:
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