Set Theory and the Continuum Problem

Fitting, Melvin / Smullyan, Raymond M.


Dieses Buch ist weniger Einführung in die Mengenlehre, als vielmehr eine Demonstration schöner Ergebnisse derselben. Nach einem kurzen einführenden Kapitel, das die Problematik des Mengenbegriffs und der Kontinuumshypothese veranschaulicht, steigen die beiden Autoren gleich ins Geschehen ein und führen den Leser durch das Konzept von Klassen und Mengen, durch Wohlordnungen, durch Transfinite Induktion und Rekursion sowie durch die natürlichen, Ordinal- und Kardinalzahlen.

Den Höhepunkt und Abschluss des ersten Abschnitts stellt dabei meines Erachtens der erstaunlich elementare Beweis dar, dass die verallgemeinerte Kontinuumshypothese das Auswahlaxiom impliziert.
In den beiden weiteren Kapiteln werden andere klassische Aussagen bewiesen, wie etwa die Tatsachen, dass Auswahlaxiom und die Kontinuumshypothese(n) unabhängig von den übrigen Axiomen von ZF (und dem im Buch häufiger verwendeten Axiomensystem NBG) sind.
Neben den beiden klassischen Diskussionsthemen im Zusammenhang mit Unentscheidbarkeit - dem Auswahlaxiom und den Kontinuumshypothesen - werden auch Untersuchungen des Fundierungsaxioms z.B. durchgeführt.

Inhalt
  1. Axiomatic set theory
    1. General Background
    2. Some basics of class-set-theory
    3. The natural numbers
    4. Superinduction, well ordering and choice
    5. Ordinal numbers
    6. Order isomorphismn and transfinite recursion
    7. Rank
    8. Foundation, <math>\in</math>-induction and rank
    9. Cardinals
  2. Consistency of the continuum hypothesis
    1. Mostowski-Shepherdson mappings
    2. Reflection principles
    3. Constructible sets
    4. L is a well founded first-order universe
    5. Constructibility is absolute over L
    6. Constructibility and the continuum hypothesis
  3. Forcing and independence results
    1. Forcing, the very idea
    2. The Construction of S4 models of ZF
    3. The axiom of constructibility is independent
    4. Independence of the continuum hypothesis
    5. Independence of the axiom of choice
    6. Constructing classical models
    7. Forcing background


Das Buch selbst ist in gut verständlichem Englisch geschrieben. Die Autoren legen zwar ein hohes Tempo an den Tag, indem sie auf nur 275 Seiten ein derart umfangreiches Programm durchgehen, trotzdem liest sich das Buch immer flüssig. Layout und Strukturierung überzeugen sofort.
Beim Durchblättern des Buches stößt man immer wieder unvermittelt auf schöne Resultate, z.B. Sätze wie "Für jede unendliche Kardinalzahl c gilt c*c=c", von denen man nie denken würde, dass sie sich ohne Auswahlaxiom beweisen ließen.

Einziges Manko ist eine heimtückische Notation, die einen beim Lesen in zwei, drei Stolperfallen locken kann: anstelle des üblichen Symbols wird <math>\supset</math> für Implikationen benutzt, während gleichzeitig <math>\subset</math> für die übliche Beziehung "echte Teilmenge von" steht.

Alles in allem trotzdem ein sehr, sehr empfehlenswertes Stück mathematischer Literatur, das wirklich Spaß macht zu lesen.


Hinzugefügt am: 2006-07-16
Kritiker: Gockel
Bewertung

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Durchschnittsbewertung: 2 Bewertungen

Suchbegriffe : Axiomatik :: Mengenlehre :: Modelltheorie :: Logik :: Mathematische Klassiker :

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Weitere Kommentare:
Set Theory and the Continuum Problem
Bewertung von Cerebus am 25.07.2006

Cerebus schreibt:

Ich kann Gockel nur voll zustimmen. Hier noch ein paar interessante Details: Es wird ein Haufen "lokaler" Konsequenzen des Auswahlaxioms bewiesen (wenn es eine Auswahlfunktion für M gibt dann...). Die Unabhängigkeitsbeweise sind äußerst originell und verwenden modallogische Modelle statt Standardmodelle oder boolschwertige Modelle, wie das sonst üblich ist. Besonders gut gefällt mir der zweite Teil des Buches der einige ziemlich esoterische Sachen verständlich darstellt.


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