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Euclidian and Non-Euclidian Geometries

Greenberg, Marvin Jay

Buchcover
Diese Rezension behandelt die vierte Auflage, welche im Jahre 2008 erschien.

Ich bin auf das Buch von Greenberg gestoßen auf der Suche nach einem Buch, das die euklidische Geometrie vom modernen Standpunkt aus betrachtet, dabei aber elementargeometrisch vorgeht. Damit meine ich in erster Linie, dass keine Koordinatensysteme verwendet werden. In der deutschsprachigen Literatur kenne ich bis heute kein solches Buch mit Ausnahme der "Grundlagen der Geometrie" von David Hilbert und - in Teilen - es auch schon recht alten Buches "Höhere Geometrie" von N. W. Efimow.

Greenbergs Buch hat die Entdeckung nichteuklidischer Geometrien zum Schwerpunkt, führt aber zunächst ausführlich in die euklidische Geometrie ein. Es enthält eine meiner Meinung nach sehr gelungenen Mischung aus nach modernen Maßstäben strikter Herangehensweise und historischem Kontext. Zunächst wird Euklids Axiomensystem vorgestellt. Dabei werden gleichzeitig die axiomatische Methode und Beweise als solche eingeführt und im historischen Kontext beleuchtet. Danach werden die Mängel des euklidischen Axiomensystems erläutert, und Hilberts Axiomensystem als moderne Alternative wird vorgestellt. Ungefähr 40% des Buches behandeln sogenannte neutrale Geometrie, also Geometrie, in der weder das Parallelenaxiom noch dessen Negation verwendet werden. Im zweiten Teil wird dann die Entdeckung nichteuklidischer Geometrien im historischen Kontext vorgestellt, und verschiedene Modelle werden betrachtet. Mit diesem Teil habe ich mich nicht eingehend befasst und kann deshalb nicht viel dazu sagen.

Das vorausgesetzte Startniveau des Buches ist recht niedrig. In den ersten Kapiteln werden mathematische Grundlagen gelegt, die jedem Mathematikstudenten geläufig sein sollten. Das hängt damit zusammen, dass das Buch auch für Nichtmathematiker geeignet sein soll. Der Autor hat es nach seiner Aussage selbst erfolgreich in einem Kurs über "scientific revolutions" eingesetzt. Die vielen historischen und auch philosophischen Anmerkungen können hier sicherlich hilfreich sein, allerdings halte ich diesen Ansatz doch für sehr ambitioniert, denn letztendlich enthält das Buch doch in erster Linie recht abstrakte Mathematik. Nichtsdestotrotz gefällt mir die Herangehensweise, denn auch wenn ich oben geschrieben habe, dass viele der Grundlagen einem Mathematikstudenten bekannt sein sollten, so werden sie in Vorlesungen doch nicht oft explizit ausgesprochen, und durch den historischen Kontext sind sie hier meiner Meinung nach sehr gut lesbar aufbereitet.

Das Buch enthält eine Vielzahl von Aufgaben von unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad. Viele Aufgaben beinhalten den Beweis einer Proposition aus dem Text. Oft ist im Text eine Beweisskizze gegeben, die dann im Rahmen einer Aufgabe zu einem vollständigen Beweis ausgearbeitet werden soll. Das macht das Buch in meinen Augen auch sehr geeignet für Studienanfänger, die "das Beweisen" einüben möchten. Die Geometrie bietet sich auch deshalb dafür an, weil viele der zu beweisenden Aussagen offensichtlich erscheinen und man daher an diesen Aufgaben ganz bewusst trainieren kann, sich von der Anschauung zu lösen und beweisbedürftige Aussagen zu erkennen. Darüber hinaus gibt es sogenannte "major exercises", die gewöhnlich über den Text hinausgehen und eher ergänzenden Charakter haben. Ich selbst habe kaum welche davon gelöst und kann mich deshalb zu ihrem Schwierigkeitsgrad nicht äußern.

Alles in allem halte ich Greenbergs Buch für sehr gelungen und zusammen mit Robin Hartshornes "Geometry: Euclid and beyond" für das beste Buch über Elementargeometrie, das ich kenne. Die elementare Herangehensweise und die Einbettung des Stoffes in den historischen Kontext sind genau das, was ich mir unter einem solchen Buch vorstelle. Einziger Minuspunkt für mich ist das fast völlige Fehlen von Kreisen, aber der Fokus dieses Buches liegt an anderer Stelle.

Die Kapitel:
1 Euclid's Geometry
2 Logic and Incidence Geometry
3 Hilbert's Axioms
4 Neutral Geometry
5 History of the Parallel Postulate
6 The Discovery of Non-Euclidian Geometry
7 Independence of the Parallel Postulate
8 Philosophical Implications, Fruitful Applications
9 Geometric Transformations
10 Further Results in Real Hyperbolic Geometry
A Elliptic and Other Riemannian Geometries
B Hilbert's Geometry Without Real Numbers


Hinzugefügt am: 2009-07-25
Kritiker: Morris
Bewertung

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Suchbegriffe : Axiomatik :: Beweise :: Euklid :: Geometrie :: Geschichte der Mathematik :: Hyperbolische Geometrie :: Lehrbuch :: Lehrbücher :: Minkowski :: Philosophie :: Riemannsche Geometrie :: Studienanfänger :

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