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Finite Groups

Gorenstein, Daniel

Buchcover
Wenn man jahrelang in den Alpen unterwegs war, ist es schon ein berauschendes Gefühl, zum ersten Mal im Himalaya auf Tour zu sein, insbesondere wenn der Bergführer selbst Erstersteiger einiger der ganz grossen Gipfel ist.

Daniel Gorenstein ist ein hervorragender Führer in die Welt der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen. Gute Vorbereitung sollte man für diese Reise allerdings schon mitbringen: Im ersten Kapitel werden gleich auf den Seiten 6-9 (der Text beginnt auf Seite 3) der Homomorphiesatz, der 2. Isomorphiesatz, die Sätze von Schreier, Jordan-Hölder und Sylow sowie der Hauptsatz über die Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen vorgestellt. Also gleich ganz am Anfang einige III-er und IV-er Kletterstellen, keine Zeit zum Wiederholen der Seiltechnik ! In Kapitel 2 (Seiten 15-39) folgen charakteristische Untergruppen, Kommutatoren, nilpotente Gruppen, auflösbare Gruppen, semidirekte und zentrale Produkte, Automorphismen elementar abelscher Gruppen als lineare Transformationen, transitive und 2-fach transitive Permutationsgruppen sowie die 2-dimensionalen linearen und projektiven Gruppen endlicher Körper. Kapitel 3 und 4 werden einer ausführlichen Einführung in die linearen Darstellungen sowie in die Theorie der Charaktere gewidmet. Weiter geht es in den Kapiteln 5 - 9 des Abschnitts I. "Methoden" mit den Themen Gruppen von Primzahlordnung, auflösbare und pi-auflösbare Gruppen, Fusion, Transfer und p-Faktorgruppen, p-beschränkte und p-stabile Gruppen, und Gruppen gerader Ordnung, wobei hier insbesondere Theoreme von Feit, Suzuki und Thompson sowie von Brauer, Suzuki und Wall vorgestellt und bewiesen werden.

Abschnitt II. "Anwendungen" behandelt fixpunktfreie Automorphismen, den Satz von Hall-Higmann, Gruppen mit verallgemeinerten Quaternionen als Sylow 2-Untergruppen, Zassenhaus Gruppen - einschliesslich des Satzes von Feit als Schlüsselaussage für deren Klassifikation -, Gruppen mit nilpotenten Zentralisatoren, sowie Gruppen mit selbst-zentralisierenden Sylow 2-Untergruppen der Ordnung 4.

In Abschnitt III. "Allgemeines Klassifikationsproblem" werden keine Beweise mehr gegeben, sondern es wird ein konzeptionelles Bild der wesentlichen Sätze erstellt, und es wird auf einige der auftretenden Schwierigkeiten bei deren Beweisen eingegangen. Der Abschnitt behandelt einfache Gruppen niedrigen Ranges (Gruppen ungerader Ordnung, Gruppen mit abelschen und dihedralen Sylow 2-Untergruppen, C- und N-Gruppen gerader Ordnung), und schliesst mit einer Auflistung aller zum Zeitpunkt des Erscheines dieser 2.Auflage (1980) bekannten endlichen einfachen Gruppen, die diverse Familien von Matrixgruppen eines endlichen Körpers sowie 26 sporadische Gruppen beinhaltet. Neben einer allgemeinen Beschreibung wird jeweils die Gruppenbezeichnung, deren Ordnung, sowie allenfalls die Ordnung des Zentralisators, mit dem fakorisiert werden muss, angeführt.

Jedes der insgesamt 15 Kapitel der Abschnitte I. und II. beinhaltet eine Reihe von Übungen, die ich entsprechend dem allgemeinen Niveau des Textes als mittelschwierig bis schwierig einstufen würde.

Wer Gorensteins Ausführungen folgt, hat noch keinen einzigen Achttausender selbst bestiegen. Er ist den grossen Gipfeln jedoch schon ziemlich nahe.


Hinzugefügt am: 2009-10-07
Kritiker: Dirichlet
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