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Categories of Commutative Algebras

Diers, Yves

Buchcover
Inhalt:

1. Zariski Categories
2. Classical Objects
3. Spectra
4. Schemes
5. Jacobson Ultraschemes
6. Algebraic Varieties
7. Zariski Toposes
8. Neat Objects and Morphisms
9. Flatness Properties
10. Etale Objects and Morphisms
11. Terminators
12. Some Constructions of Zariski Categories

Bei "Categories of Commutative Algebras" von 1992 handelt es sich um eine Symbiose aus algebraischer Geometrie und Kategorientheorie. Genauer gesagt wird folgende Beobachtung gemacht:

In der Kategorie der Ringe lassen sich Lokalisierungen rein kategoriell beschreiben, mit Hilfe sogenannter Kodisjunktoren, die der Autor selbst in einer früheren Arbeit erfunden hat. Infolge dessen lässt sich auch die Zariski-Topologie rein kategoriell beschreiben und entsprechend die Kategorie der Schemata rein kategoriell aus der Kategorie der affinen Schemata gewinnen. Der Autor abstrahiert nun von der Kategorie der Ringe und fasst die Eigenschaften, die nötig sind, um eine solche algebraische Geometrie zu entwickeln, zur Definition einer Zariski-Kategorie zusammen. Grob gesagt handelt es sich dabei um lokal endlich präsentierbare Kategorien mit guten Stabilitätseigenschaften und Verträglichkeit für kodisjunktierbare Kongruenzen. Beispiele dafür sind CRng (kommutative Ringe), RedCRing (reduzierte kommutative Ringe), RegCRing (reguläre kommutative Ringe), CAlg(k) (kommutative Algebren über einem Körper k), AlgCAlg(k) (kommutative algebraische Algebren über einem Körper k), Mod (Moduln über variablen kommutativen Ringen), CAlg (kommutative Algebren über variablen kommutativen Ringen), RlRng (reelle Ringe), und einige Varianten davon.

Es werden zunächst einige tiefliegende kategorielle Eigenschaften von Zariski-Kategorien hergeleitet. Dann werden in einer Zariski-Kategorie verschiedene Objekte definiert (einfach, integer, reduziert, primär, regulär, lokal, etc.), die im Fall der Kategorie der Ringe mit den üblichen übereinstimmen. Es wird aber auch immer jeweils erwähnt, wie diese Objekte in den anderen Standardbeispielen von Zariski-Kategorien aussehen. Dann wird das Spektrum eines Objektes eines Objektes einer Zariski-Kategorie definiert und untersucht. Das generelle Motto ist, das man die Theorie, die aus der gewöhnlichen algebraischen Geometrie bekannt ist, in diesem Setting verallgemeinert. Über den üblichen Verklebeprozess erhält man Schemata relativ zu einer Zariski-Kategorie. An dieser Stelle hat die Theorie Verbindungen mit der Doktorarbeit "Topos Anneles et Schemas Relatifs" von Grothendiecks Schülerin Monique Hakim. Grundlegende Begriffe und Konstruktionen mit Schemata lassen sich erstaunlich parallel entwickeln. Die Kategorie der Schemata bezüglich Mod stellt sich als die Kategorie der quasikohärenten Moduln (auf variablen Schemata) heraus, um nur mal ein Beispiel zu nennen, wie flexibel und neuartig diese Theorie ist.

Nun wird die Theorie spezieller: Im fünften Kapitel erhält man durch Verklebung von Jacobson Objekten (im Falle von CRng sind das die Jacobson Ringe) sogenannte Ultraschemata. Das Vorbild sind hier wieder die gewöhnlichen Jacobson Schemata, in denen die abgeschlossenen Punkte bereits völlig ausreichen. Im sechsten Kapitel werden algebraische Varietäten im Kontext von Zariski-Kategorien untersucht, die Ähnlichkeiten zur klassischen Theorie RedCAlg(k) der reduzierten k-Algebren aufweisen. Zum Beispiel wird der Nullstellensatz in einer Zariski-Kategorie gezeigt, die ein initiales einfaches Objekt besitzt, und in einer amalgamierten Zariski-Kategorie werden algebraische Abschlüsse konstruiert.
Im siebten Kapitel werden der Zariski Topos einer Zariski-Kategorie definiert und - inspiriert durch Topos Theorie - Morphismen zwischen Zariski-Kategorien eingeführt. In den nächsten Kapiteln geht es dann noch um "hübsche Objekte" (neat objects), wobei die separablen algebraischen Körpererweiterungen als Vorbild dienen, sowie flache, étale und henselsche Objekte bzw. Morphismen.

Im elften Kapitel geht es um Terminatoren, einer Variante von Kodisjunktoren. In diesem Kontext lässt sich dann Chevalleys Theorem in der folgenden Form beweisen: Wenn eine Zariski-Kategorie A endlich-präsentierbare Terminatoren hat, so erhält jeder endlich-präsentierbare Morphismus von Schemata über A konstruktible Teilmengen. Im letzten Kapitel geht es um einfache Konstruktionen, wie man aus Zariski-Kategorien neue bekommt (z.B. Produkte, Komma-Kategorien, reduzierte Objekte).

Soviel zum Inhalt. Es sollte erwähnt werden, dass schon zu Beginn des Buches intensiver Gebrauch von moderner Kategorientheorie gemacht wird. Für verschiedene Begriffe und Argumente wird frei auf teilweise recht neue Artikel verwiesen. Man merkt dem Autor seinen Hintergrund in der Kategorientheorie an und man sollte selbst einiges an Vorwissen mitbringen. Weil das Buch die algebraische Geometrie in einem abstrakten kategoriellen Rahmen entwickelt, versteht es sich von selbst, dass hier auch ein Hintergrund in algebraischer Geometrie vorhanden sein muss, obwohl formal gesehen nichts als bekannt vorausgesetzt wird. Aber ansonsten dürfte das Buch für den Leser ohnehin uninteressant sein.

Es gibt nun einige Kritikpunkte: Die Beweise werden ohne Zeilenumbrüche hingeklatscht. Die Beispiele werden zu knapp besprochen, meistens ohne Beweise. Und der Autor geht kaum auf die überaus berechtigte Frage "Wozu das ganze?" ein. Ich versuche das einmal zu beantworten: Zunächst einmal finde ich es sehr überraschend, wie gut letzlich sich die Theorie in der allgemeinen Form entwickeln lässt. Außerdem werden durch die Abstraktion auch bekannte Zusammenhänge in einer neuen konzeptionelleren Form sichtbar, zum Beispiel dass die Äquivalenz zwischen klassischen Varietäten und modernen Varietäten (mit generischen Punkten) in Wahrheit von einem Morphismus von Zariski-Kategorien herkommt. Ich frage mich, ob die allgemein bewiesenen Sätze wie z.B. der Nullstellensatz und Chevalleys Theorem in den besprochenen Beispielkategorien zu neuen Einsichten führen. Darauf hätte der Autor vielleicht eingehen sollen.

Dieses Buch stellt trotzdem ein interessantes und anspruchvolles Projekt dar, welches mehr Beachtung verdient. Wenn man die Theorie von Yves Diers (vertikal) kategorifizieren könnte, würden sich daraus womöglich Anwendungen in der algebraischen Geometrie ergeben.


Hinzugefügt am: 2011-06-07
Kritiker: Martin_Infinite
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Suchbegriffe : Kategorientheorie :: algebraische Geometrie :

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