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Statistik für Psychologen und Sozialwissenschaftler

Markus Bühner, Matthias Ziegler


Gesamteinschätzung:
Dieses Buch ist für Vorlesungen ungeeignet, falls diese über die deskriptive Statistik hinausgehen. Wenn man schließende Statistik betreiben will, ist das Buch abzulehnen, da es sehr viele mathematische Fehler enthält. Die Fehler sind symptomatisch für den ganzen Text. Die Bearbeitung von Daten mit SPSS und die grafischen Darstellungen sind nicht zu beanstanden.
Einzeleinschätzungen:
Im Kapitel 2 wird in die deskriptive Statistik eingeführt – Wahrscheinlichkeitsrechnung kommt da noch nicht vor aber eigenartiger Weise gibt es da den Abschnitt 2.2.5 Die Normalverteilung ( S. 55) (in der Folge NV) obwohl noch gar nicht klar ist, was eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. Dort steht, Messwerte seien in der Psychologie normalverteilt – etwas, was man sicher bezweifeln kann, Messwerte folgen nämlich einer empirischen Verteilung und nicht einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Richtig wäre, Messwerte in der Psychologie folgen einer empirischen Verteilung, die man oft (keinesfalls immer) durch eine NV approximieren kann.
Dann wird die Normalverteilung mit der Glockenkurve gleichgesetzt, bekanntlich ist aber die Glockenkurve eine grafische Darstellung der Dichtefunktion der NV, damit steht da, dass eine Abbildung gleich einer Formel ist. Auf S.62 folgt die Definition der NV wie folgt: „Unter einer Normalverteilung wird eine nicht lineare Transformation verstanden, bei der eine schiefe Verteilung in eine Normalverteilung überführt wird….“. Abgesehen davon, dass in dieser „Definition“ der zu definierende Begriff NV bereits vorkommt, handelt es sich hier um eine Falschaussage. Eine Verteilung ist nun eben keine Transformation.
Weiter steht „Es gibt genau einen Messwert, der am häufigsten vorkommt“. Mit der Dichte ließe sich laut Autoren ausrechnen, wie häufig ein Messwert auftritt. Die Wahrscheinlichkeit (in der Folge Wk) des Auftretens eines beliebigen Wertes zwischen -∞ und ∞ ist aber immer gleich null. Es heißt dann noch, es ließe sich ausrechnen, wie viele Personen einer Stichprobe mindestens eine Standardabweichung über dem Mittelwert liegen.
In der Wk-Rechnung wird die Zufallsvariable X fast richtig als Funktion definiert, (Zufallsvariablen werden also durch Großbuchstaben charakterisiert), die reelle Zahlen annimmt, sie können diskret sein, wie die Augenzahl beim Würfeln oder stetig (z.B. Stichprobenmittelwert) und letzteres ist voll daneben. Der Stichprobenmittelwert von diskreten Werten ist doch auch diskret, denn aus endlich vielen möglichen Werten lassen sich für festes n auch nur endlich viele Mittelwerte berechnen.
Dann folgt eine Beschreibung der Berechnung von Wk für Ereignisse. Was Wk ist, wird zunächst nicht definiert, das ist für Psychologen exakt auch schwer zu machen. Die moderne maßtheoretische Definition, wonach die Wk ein auf 1 normiertes Maß ist, kann man nur verstehen, wenn man weiß, was ein Maß ist und das ist keinem Psychologen zuzumuten. Man kann sich helfen, indem man sagt, die WK sei eine Zahl zwischen 0 und 1, die bestimmten Rechenregeln folgt (dabei kann man die Kolmogorovschen Axiome anführen).
Ab S. 108 werden Ereignisraum und Elementarereignis eingeführt. Und nun wird es ganz schlimm, da die Autoren nun doch versuchen, Wk zu definieren. Es gäbe die Wk nach Laplace und die nach Bernoulli. Bei letzterer wird die v. Misessche Definition der Wk als Grenzwert der relativen Häufigkeit angeführt, etwas, was bereits in den 20-er Jahren des vorigen Jahrhunderts als lediglich laienhaft brauchbar erkannt wurde und schließlich 1933 nach den Kolmogorovschn Axiomen keine Rolle mehr spielte – nun taucht es 2009 leider wieder auf.
Für Ereignisräume mit endlich vielen Elementarereignissen, kann man die Wk mit Hilfe der Laplaceschen Formel als Quotient aus der Anzahl der für Ereignis günstigen und der Gesamtanzahl der Elementarereignisse berechnen. Als Definition der Wk kann diese Formel nicht dienen. Beispielsweise setzt sich das Ereignis „gerade Zahl beim Würfeln“ aus drei der sechs Elementarereignisse zusammen. Das Ergebnis ½ ist aber nur richtig, wenn es sich um einen fairen Würfel handelt, bei dem jede der sechs Zahlen mit der gleichen Wk auftritt, hier wird also in der Definition der Wk der zu defiinierende Begriff Wk bereits impliziert. Nun werden die Laplacesche und die Bernoullische (gemeint ist die v. Misesche Definition als Grenzwert der relativen Häufigkeit) Wk verglichen, dies alles ist sehr verwirrend und unklar. Mathematisch gibt es nur eine Definition der Wk, die Frage ist, wie man sie interpretiert, z.B. als relative Häufigkeit oder als persönlichen Überzeugtheitsgrad im Sinne von de Finetti oder als Bestätigungsgrad nach Carnap.
Beim Rechnen mit Wk wird der Additionssatz erwähnt, er ist aber gar kein Satz sondern Inhalt des 3. Kolmogorovschen Axioms.
Bei der Einführung der bedingten Wk auf S. 121 wird versäumt, zu fordern, dass die Nenner größer null sein müssen.
Die Zufallsvariable X wird „definiert“, Großbuchstaben treten aber im weiteren Text kaum auf. Das führt dazu, dass Wk für die Realisationen (die Werte, die X annimmt) und nicht für X gemacht werden – was wohl sinnlos ist, weil was bereist aufgetreten ist, kann keine Wahrscheinlichkeit haben.
Das mit Zufallsvariablen geschriebene Konfidenzintervall (KI) überdeckt, wenn richtig hingeschrieben, den unbekannten Parameter mit Wk 1-α. Ein festes (realisiertes) Intervall dagegen überdeckt ihn oder überdeckt ihn nicht. Darauf und darauf, wie man sich aus diesem Dilemma befreien kann (auf die Frage, warum berechnen wir es dann, wenn wir doch nicht wissen, ob es den Parameter überdeckt oder nicht) wird überhaupt nicht eingegangen, gerade das ist aber für den Psychologiestudenten ganz wichtig.
In 4.1 wird die Effektstärke (besser praktisch interessierende Mindestdifferenz) besprochen, sie kommt später in der Varianzanalyse (kurz VA) vor, ohne dass dort gesagt wird, dass es mehrere Definitionen gibt, die je nach dem zum maximalen oder zum minimalen Mindeststichprobenumfang führen. Überhaupt erfährt der Student nicht, wie man eigentlich zu den Versuchsumfängen kommt.
Bei den Tests gibt es ein Durcheinander von Fehler erster und zweiter Art und den Wk, mit denen sie auftreten können. Zitat von S. 197 „Werte für …den Fehler 1. Und 2. Art“. Was für Werte? Gemeint ist z.B. 0,05. Das Auftreten des Fehlers 1. Art ist ein Ereignis und keine Zahl. Eine Zahl ist die Wk für diesen Fehler und das heißt in der mathematischen Statistik Risiko 1. Art. Schlimm ist die Bezeichnung α– und β-Fehler, sind beide Wk 0,05, haben wir nur noch 0,05-Fehler.
Nun zur VA, sie ist ausschließlich für das Modell I beschrieben, das kann man machen aber man muss es sagen, dass es auch noch das Modell II – in der Psyhcologie durchaus relevant. Nun werden aus ein und derselben Population zufällig Elemente entnommen und zufällig auf drei Behandlungen aufgeteilt. [Hier tritt die Bezeichnung Streuung an Stelle von Standardabweichung auf, ob das irgendwo als Synonym eingeführt wurde?] „Nun stellt sich die Frage, ob die drei Gruppen immer noch zur selben Population gehören“. Sie kamen doch aus derselben Population und das ist auch gut so, weil man nur dann bei Unterschieden zwischen den Gruppen davon ausgehen kann, dass die drei Behandlungen unterschiedlich wirken. Es geht also um die Frage nach den Behandlungseffekten und nicht um Populationen.
Stur nach falschen Formulierungen in SPSS wird von „unabhängigen Variablen“ geschrieben. Es geht hier aber nicht um die notwendige Unkorreliertheit der Komponenten einer Zufallsstichprobe (ist bei NV identisch mit unabhängig) sondern eine Nomenklatur von SPSS in der VA und der Regressionsanalyse.
Was der zentrale Grenzwertsatz besagt, scheint den Autoren unbekannt zu sein. Auf S. 339 wird behauptet, er besage, dass die Varianz des Mittelwertes von n Komponenten einer Zufallsstichprobe (X_1,…,X_n ) durch
σ_X ̅^2=var(X ̅ )=σ^2/n
gegeben ist. Das ist falsch, die Beziehung gilt für jedes endliche n, was jetzt gezeigt wird.
Es fehlt zunächst die Definition der Zufallsstichprobe, der Vektor (X_1,…,X_n ) ist nämlich genau dann eine solche, wenn
alle Komponenten die gleiche Verteilung haben
die Komponenten stochastisch unabhängig sind.
Da ein Faktor bei der Varianz quadratisch herauszuziehen ist, haben wir nun
var(X ̅ )=1/n^2 var(∑_(i=1)^n▒X_i ).
Aus Eigenschaft b) folgt, da alle Kovarianzen verschwinden, var(∑_(i=1)^n▒X_i )=∑_(1=1)^n▒var(X_i ) und da alle X_i die gleiche Verteilung und damit u.a. die gleiche Varianz σ^2 haben, ergibt sich
var(X ̅ )=1/n^2 ∑_(1=1)^n▒var(X_i ) =1/n^2 nσ^2=σ^2/n.
Nirgends ist da eine Limesbetrachtung nötig, das gilt für jede endliche Stichprobe.
Getoppt wird das dann noch, weil nach Multiplikation mit n auf S.340 aus
σ_X ̅^2=σ^2/n
plötzlich die Schätzung der Varianz wird, nämlich
〖nσ〗_X ̅^2=σ ̂^2
, wobei es eigentlich ein Schätzwert ist, weil er nicht groß geschrieben und damit nicht zufällig wurde.

Ich könnte noch zahlreiche derartige Ungereimtheiten und Falschaussagen herbeibringen, will es aber damit bewenden lassen.


Hinzugefügt am: 2015-11-09
Kritiker: Renatedieter
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