Höhere Mathematik für Ingenieure Band I

Burg, K., Haf, H., Wille, F., Meister, A.

Buchcover
Beschreibung vom Verlag:
Das Buch ist Teil einer Vorlesungsreihe, die sich über die ersten
vier bis fünf Semester erstreckt. Es wendet sich in erster Linie
an Studierende der Ingenieurwissenschaften, darüber hinaus aber
allgemein an Studierende aller technischen und physikalischen
Fachrichtungen sowie an Studierende der Angewandten Mathematik.
Dabei ist der Einstieg gezielt elementar gehalten, um allen
Lesern einen möglichst schnellen Zugang zur Mathematik und einen
 erfolgreichen Start ins Studium zu ermöglichen.
Das Standardwerk der Ingenieur-Mathematik, mit neuem Abschnitt zur numerischen Integration
Ein weiterer Zugang zu Folgen auf der Basis des bereits in der Schule genutzten Bisektionsverfahrens
Ein praxisorientiertes Lehrbuch, fundiert und mit vielen Beispielen

Inhaltsverzeichnis

1     Grundlagen                                                       1
    1.1 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
      1.1.1 Die Zahlengerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
      1.1.2 Rechnen mit reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 4
      1.1.3 Ordnung der reellen Zahlen und ihre Vollständigkeit . . . .8
      1.1.4 Mengenschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
      1.1.5 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
      1.1.6 Potenzen, Wurzeln, Absolutbetrag . . . . . . . . . . . . .21
      1.1.7 Summenformeln: geometrische, binomische, polynomische     25
    1.2 Elementare Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
      1.2.1 Fragestellungen der Kombinatorik . . . . . . . . . . . . .32
      1.2.2 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
      1.2.3 Permutationen mit Identifikationen . . . . . . . . . . . .33
      1.2.4 Variationen ohne Wiederholungen . . . . . . . . . . . . . 35
      1.2.5 Variationen mit Wiederholungen . . . . . . . . . . . . . .38
      1.2.6 Kombinationen ohne Wiederholungen . . . . . . . . . . . . 39
      1.2.7 Kombinationen mit Wiederholungen . . . . . . . . . . . . .40
      1.2.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
    1.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
      1.3.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
      1.3.2 Reelle Funktionen einer reellen Variablen . . . . . . . . 45
      1.3.3 Tabellen, graphische Darstellungen, Monotonie . . . . . . 47
      1.3.4 Umkehrfunktion, Verkettungen . . . . . . . . . . . . . . .52
      1.3.5 Allgemeiner Abbildungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . 55
    1.4 Unendliche Folgen reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .57
      1.4.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . .57
      1.4.2 Nullfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
      1.4.3 Konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
      1.4.4 Ermittlung von Grenzwerten . . . . . . . . . . . . . . . .63
      1.4.5 Häufungspunkte, beschränkte Folgen . . . . . . . . . . . .67
      1.4.6 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
      1.4.7 Lösen von Gleichungen durch Iteration . . . . . . . . . . 72
    1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .75
      1.5.1 Konvergenz unendlicher Reihen . . . . . . . . . . . . . . 75
      1.5.2 Allgemeine Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . .80
      1.5.3 Absolut konvergente Reihen . . . . . . . . . . . . . . . .83
      1.5.4 Konvergenzkriterien für absolut konvergente Reihen . . . .86
    1.6 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
      1.6.1 Problemstellung: Lösen von Gleichungen . . . .         .  90
      1.6.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   .  92
      1.6.3 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . .     .  95
      1.6.4 Regeln für stetige Funktionen . . . . . . . . . .      .  98
      1.6.5 Maximum und Minimum stetiger Funktionen  . .           . 100
      1.6.6 Gleichmäßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . .      . 103
      1.6.7 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . .        . 106
      1.6.8 Pole und Grenzwerte im Unendlichen . . . . . .         . 110
      1.6.9 Einseitige Grenzwerte, Unstetigkeiten . . . . . .      . 113

2     Elementare Funktionen                                          117
    2.1 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
      2.1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  117
      2.1.2 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  118
      2.1.3 Quadratische Polynome, Parabeln . . . . . . . . . . . .  123
      2.1.4 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 128
      2.1.5 Berechnung von Polynomwerten, Horner-Schema . . . . . .  130
      2.1.6 Division von Polynomen, Anzahl der Nullstellen . . . . . 134
    2.2 Rationale und algebraische Funktionen . . . . . . . . . . .  137
      2.2.1 Gebrochene rationale Funktionen . . . . . . . . . . . .  137
      2.2.2 Algebraische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .  141
      2.2.3 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  145
    2.3 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .  149
      2.3.1 Bogenlänge am Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . .  149
      2.3.2 Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  156
      2.3.3 Tangens und Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . .  160
      2.3.4 Arcus-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
      2.3.5 Anwendungen: Entfernungsbestimmung, Schwingungen . . . . 166
    2.4 Exponentialfunktionen, Logarithmus, Hyperbelfunktionen . . . 171
      2.4.1 Allgemeine Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . 171
      2.4.2 Wachstumsvorgänge. Die Zahl e . . . . . . . . . . . . .  174
      2.4.3 Die Exponentialfunktion exp(x) = ex und der natürliche Logarithmus . 177
      2.4.4 Hyperbel- und Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . 182
    2.5 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  185
      2.5.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
      2.5.2 Der Körper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . .  186
      2.5.3 Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus im Komplexen . .  193
      2.5.4 Polarkoordinaten, geometrische Deutung der komplexen Multiplikation, Zeigerdiagramm . 195
      2.5.5 Fundamentalsatz der Algebra, Folgen und Reihen, stetige Funktionen im Komplexen . . . 198

3     Differentialrechnung einer reellen Variablen                   201
    3.1 Grundlagen der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . .  201
      3.1.1 Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  201
      3.1.2 Differenzierbarkeit, Tangenten . . . . . . . . . . . . . 204
      3.1.3 Differentiationsregeln für Summen, Produkte und Quotienten reeller Funktionen  . . . 213
      3.1.4 Kettenregel, Regel für Umkehrfunktionen, implizites Differenzieren . . . 216
      3.1.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . .  222
      3.1.6 Ableitungen der trigonometrischen Funktionen und der Arcusfunktionen . . . 225
      3.1.7 Ableitungen der Exponential- und Logarithmus-Funktionen  228
      3.1.8 Ableitungen der Hyperbel- und Area-Funktionen . . . . .  232
      3.1.9 Zusammenstellung der wichtigsten Differentiationsregeln  232
    3.2 Ausbau der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . .  234
      3.2.1 Die Regeln von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . 234
      3.2.2 Die Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . .  239
      3.2.3 Beispiele zur Taylorformel . . . . . . . . . . . . . . . 242
      3.2.4 Zusammenstellung der Taylorreihen elementarer Funktionen 248
      3.2.5 Berechnung von π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
      3.2.6 Konvexität, geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung 252
      3.2.7 Das Newtonsche Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 257
      3.2.8 Bestimmung von Extremstellen . . . . . . . . . . . . . . 263
      3.2.9 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
    3.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  275
      3.3.1 Bewegung von Massenpunkten . . . . . . . . . . . . . . . 275
      3.3.2 Fehlerabschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  279
      3.3.3 Zur binomischen Reihe: physikalische Näherungsformeln .  280
      3.3.4 Zur Exponentialfunktion: Wachsen und Abklingen . . . . . 281
      3.3.5 Zum Newtonschen Verfahren . . . . . . . . . . . . . . .  284
      3.3.6 Extremalprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

4     Integralrechnung einer reellen Variablen                       291
    4.1 Grundlagen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . .  292
      4.1.1 Flächeninhalt und Integral . . . . . . . . . . . . . . . 292
      4.1.2 Integrierbarkeit stetiger und monotoner Funktionen . . . 296
      4.1.3 Graphisches Integrieren, Riemannsche Summen, numerische Integration mit der Tangentenformel . 298
      4.1.4 Regeln für Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . .   302
      4.1.5 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . .   305
    4.2 Berechnung von Integralen . . . . . . . . . . . . . . .  . . 308
      4.2.1 Unbestimmte Integrale, Grundintegrale . . . . . . . . .  308
      4.2.2 Substitutionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
      4.2.3 Produktintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
      4.2.4 Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . .  325
      4.2.5 Integration weiterer Funktionenklassen . . . . . . . . . 330
      4.2.6 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
    4.3 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . .  352
      4.3.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . 352
      4.3.2 Rechenregeln und Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . 355
      4.3.3 Integralkriterium für Reihen . . . . . . . . . . . . . . 362
      4.3.4 Die Integralfunktionen Ei, Li, si, ci, das Fehlerintegral und die Gammafunktion 365
    4.4 Anwendung: Wechselstromrechnung . . . . . . . . . . . . . .  369
      4.4.1 Mittelwerte in der Wechselstromtechnik . . . . . . . . . 369
      4.4.2 Komplexe Funktionen einer reellen Variablen . . . . . .  371
      4.4.3 Komplexe Wechselstromrechnung . . . . . . . . . . . . .  375
      4.4.4 Ortskurven bei Wechselstromschaltungen . . . . . . . . . 380

5     Folgen und Reihen von Funktionen                               385
    5.1 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen und -reihen . . 385
      5.1.1 Gleichmäßige und punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen . 385
      5.1.2 Vertauschung von Grenzprozessen . . . . . . . . . . . .  389
      5.1.3 Gleichmäßig konvergente Reihen . . . . . . . . . . . . . 392
    5.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
      5.2.1 Konvergenzradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
      5.2.2 Addieren und Multiplizieren von Potenzreihen sowie Differenzieren und Integrieren .399
      5.2.3 Identitätssatz, Abelscher Grenzwertsatz . . . . . . . .  400
    5.3 Der Weierstraß’sche Approximationssatz . . . . . . . . . . . 403
      5.3.1 Bemerkung zur Polynomapproximation . . . . . . . . . . . 403
      5.3.2 Approximation von stetigen Funktionen durch Bernstein-Polynome . 404
    5.4 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  409
      5.4.1 Polynominterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
      5.4.2 Splineinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . .  426
    5.5 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  435
      5.5.1 Periodische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
      5.5.2 Trigonometrische Reihen, Fourier-Koeffizienten . . . . . 436
      5.5.3 Beispiele für Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . .  438
      5.5.4 Konvergenz von Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . 446
      5.5.5 Komplexe Schreibweise von Fourierreihen . . . . . . . .  451
      5.5.6 Anwendung: Gedämpfte erzwungene Schwingung . . . . . . . 454

6     Differentialrechnung mehrerer reeller Variabler                459
    6.1 Der n-dimensionale Raum Rn . . . . . . . . . . . . . . .     459
      6.1.1 Spaltenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  459
      6.1.2 Arithmetik im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
      6.1.3 Folgen und Reihen von Vektoren . . . . . . . . . . . .   466
      6.1.4 Topologische Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . .  468
      6.1.5 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
    6.2 Abbildungen im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  475
      6.2.1 Abbildungen aus Rn in Rm . . . . . . . . . . . . . . .   475
      6.2.2 Funktionen zweier reeller Variabler . . . . . . . . . .  476
      6.2.3 Stetigkeit im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
    6.3 Differenzierbare Abbildungen von mehreren Variablen . .      484
      6.3.1 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . .  484
      6.3.2 Ableitungsmatrix, Differenzierbarkeit, Tangentialebene   488
      6.3.3 Regeln für differenzierbare Abbildungen. Richtungsableitung   494
      6.3.4 Das vollständige Differential . . . . . . . . . . . . .  498
      6.3.5 Höhere partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . 502
      6.3.6 Taylorformel und Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . .  504
    6.4 Gleichungssysteme, Extremalprobleme, Anwendungen . . . . . . 507
      6.4.1 Newton-Verfahren im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
      6.4.2 Satz über implizite Funktionen, Invertierungssatz . . .  512
      6.4.3 Extremalprobleme ohne Nebenbedingungen . . . . . . . . . 517
      6.4.4 Extremalprobleme mit Nebenbedingungen . . . . . . . . .  520

7     Integralrechnung mehrerer reeller Variabler                    527
    7.1 Integration bei zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . 527
      7.1.1 Anschauliche Einführung des Integrals zweier reeller Variabler . 527
      7.1.2 Analytische Einführung des Integrals zweier reeller Variabler .  537
      7.1.3 Grundlegende Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
      7.1.4 Riemannsche Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
      7.1.5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  549
      7.1.6 Krummlinige Koordinaten, Transformationen, Funktionaldeterminanten .556
      7.1.7 Transformationsformel für Bereichsintegrale . . . . . .  561
    7.2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen . . . . .  567
      7.2.1 Riemannsches Integral im Rn . . . . . . . . . . . . . .  567
      7.2.2 Grundlegende Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
      7.2.3 Krummlinige Koordinaten, Funktionaldeterminante, Transformationsformeln . 572
      7.2.4 Rauminhalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  578
      7.2.5 Rotationskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  581
      7.2.6 Anwendungen: Schwerpunkte, Trägheitsmomente . . . . . .  584
    7.3 Parameterabhängige Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 592
      7.3.1 Stetigkeit und Integrierbarkeit parameterabhängiger Integrale . 592
      7.3.2 Differentiation eines parameterabhängigen Integrals . .  593
      7.3.3 Differentiation bei variablen Integrationsgrenzen . . .  594

Anhang                                                               597
A Lösungen zu den Übungen                                            599
Symbole                                                              605
Literaturverzeichnis                                                 607
Stichwortverzeichnis                                                 611

Meine Bewertung:
Für Studierende der Ingenieurwissenschaften bietet dieser Band eine fundierte Einführung in die Analysis. Der Band I enthält die Differential- und Integralrechnung einer und mehrerer Veränderlicher. Die wesentlichen Sätze werden bewiesen. Bei einigen Beweisen wird, mit Zitat, auf die Literatur verwiesen. Meiner Meinung nach sind mathematische Strenge, Verständlichkeit und Anwendungen gut ausgewogen. Im Anhang sind u.a. Lösungen zu den Aufgaben enthalten.


Hinzugefügt am: 2020-12-14
Kritiker: AlphaSigma
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Weitere Kommentare:
Höhere Mathematik für Ingenieure Band I
Bewertung von Berufspenner am 29.01.2021

Berufspenner schreibt:

Ich mag diesen Band der Autoren zur Analysis sehr und finde, dass es ein gutes Gleichgewicht zwischen mathematisch korrektem Formalismus und Anschaulichkeit hat. Die Anwendungs- und Rechenbeispiele lockern den Stoff gut auf und helfen ebenso wie die Übungen mit Lösungen im Anhang dabei, den Inhalt zu verinnerlichen. Ich schätze, dass nicht nur Ingenieure, sondern auch Physiker und Mathematiker sowie andere technisch-naturwissenschaftliche Studenten aus der Darstellung als Erst- und Zweitlektüre einen großen Mehrwert ziehen können.


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Höhere Mathematik für Ingenieure Band I


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