Höhere Mathematik für Ingenieure Band II - Lineare Algebra

Burg, K., Haf, H., Wille, F., Meister, A.

BuchcoverBeschreibung vom Verlag: Das Buch umfasst den Inhalt einer Vorlesungsreihe, die sich über die ersten vier bis fünf Semester erstreckt. Es wendet sich in erster Linie an Studenten der Ingenieurwissenschaften, darüber hinaus aber allgemein an alle Studierende technischer und physikalischer Fachrichtungen, sowie an Studierende der Angewandten Mathematik. Lineare Algebra bereitet Studierenden der Ingenieurwissenschaften zunächst gewisse Schwierigkeiten. Diese Einführung vermittelt umfassend und mit vielfältigen Bezügen zur Technik und Naturwissenschaft die Grundlagen zum Verständnis einer der wichtigsten mathematischen Methoden für Ingenieure. Neu aufgenommen wurde ein Abschnitt über lineare Ausgleichsprobleme. Inhaltsverzeichnis 1 Vektorrechnung in zwei und drei Dimensionen 1 1.1 Vektoren in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Kartesische Koordinaten und Zahlenmengen . . . . . . . 1 1.1.2 Winkelfunktionen und Polarkoordinaten . . . . . . . . . 3 1.1.3 Vektoren im R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4 Physikalische und technische Anwendungen . . . . . . . 13 1.1.5 Inneres Produkt (Skalarprodukt) . . . . . . . . . . . . 22 1.1.6 Parameterform und Hessesche Normalform einer Geraden 26 1.1.7 Geometrische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.2 Vektoren im dreidimensionalen Raum . . . . . . . . . . . . . 41 1.2.1 Der Raum R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.2.2 Inneres Produkt (Skalarprodukt) . . . . . . . . . . . . 46 1.2.3 Dreireihige Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.2.4 Äußeres Produkt (Vektorprodukt) . . . . . . . . . . . . 50 1.2.5 Physikalische, technische und geometrische Anwendungen 55 1.2.6 Spatprodukt, mehrfache Produkte . . . . . . . . . . . . 63 1.2.7 Lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.2.8 Geraden und Ebenen im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2 Vektorräume beliebiger Dimensionen 75 2.1 Die Vektorräume Rn und Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.1.1 Der Raum Rn und seine Arithmetik . . . . . . . . . . . .. 75 2.1.2 Inneres Produkt, Beträge von Vektoren . . . . . . . . . . 76 2.1.3 Unterräume, lineare Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . .. 78 2.1.4 Geometrie im Rn , Winkel, Orthogonalität . . . . . . . .. 82 2.1.5 Der Raum Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.2 Lineare Gleichungssysteme, Gaußscher Algorithmus . . . . . .. 86 2.2.1 Lösung quadratischer Gleichungssysteme . . . . . . . . .. 87 2.2.2 Matlab-Programme zur Lösung quadratischer Gleichungssysteme .. 90 2.2.3 Singuläre lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . 96 2.2.4 Allgemeiner Satz über die Lösbarkeit linearer quadratischer Gleichungssysteme 101 2.2.5 Rechteckige Systeme, Rangkriterium . . . . . . . . . . . 104 2.3 Algebraische Strukturen: Gruppen und Körper . . . . . . . . 106 2.3.1 Einführung: Beispiel einer Gruppe . . . . . . . . . . . 106 2.3.2 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.3.3 Endliche Permutationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . 114 2.3.4 Homomorphismen, Nebenklassen . . . . . . . . . . . . . . 116 2.3.5 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.4 Vektorräume über beliebigen Körpern . . . . . . . . . . 121 2.4.1 Defnition und Grundeigenschaften . . . . . . . . . 121 2.4.2 Beispiele für Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . 123 2.4.3 Unterräume, Basis, Dimension . . . . . . . . . . . . 125 2.4.4 Direkte Summen, freie Summen . . . . . . . . . . . 130 2.4.5 Lineare Abbildungen: Definition und Beispiele . . . 133 2.4.6 Isomorphismen, Konstruktion linearer Abbildungen . 136 2.4.7 Kern, Bild, Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 2.4.8 Euklidische Vektorräume, Orthogonalität . . . . . . 141 2.4.9 Ausblick auf die Funktionalanalysis . . . . . . . . . 143 3 Matrizen 147 3.1 Defnition, Addition, s-Multiplikation . . . . . . . . . . . 147 3.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3.1.2 Grundlegende Begriffsbildung . . . . . . . . . . . . . . 147 3.1.3 Addition, Subtraktion und s-Multiplikation . . . . . . . 149 3.1.4 Transposition, Spalten-und Zeilenmatrizen . . . . . . . 152 3.2 Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3.2.1 Matrix-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3.2.2 Produkte mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 3.2.3 Matrizen und lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . 158 3.2.4 Blockzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 3.3 Reguläre und inverse Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . 164 3.3.1 Reguläre Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 3.3.2 Inverse Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 3.4 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 3.4.1 Definition, Transpositionsregel . . . . . . . . . . . . 169 3.4.2 Regeln für Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . 171 3.4.3 Berechnung von Determinanten mit dem Gaußschen Algorithmus 174 3.4.4 Matrix-Rang und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.4.5 Der Determinanten-Multiplikationssatz . . . . . . . . . . . 180 3.4.6 Lineare Gleichungssysteme: die Cramersche Regel . . . . . . 181 3.4.7 Inversenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 3.4.8 Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 3.4.9 Zusammenstellung der wichtigsten Regeln über Determinanten . 189 3.5 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 3.5.1 Definition der wichtigsten speziellen Matrizen . . . . . . . 191 3.5.2 Algebraische Strukturen von Mengen spezieller Matrizen . . . 195 3.5.3 Orthogonale und unitäre Matrizen . . . . . . . . . . . . . . 197 3.5.4 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen . . . . . . . 200 3.5.5 Zerlegungen und Transformationen symmetrischer Matrizen . . 201 3.5.6 Positiv definite Matrizen und Bilinearformen . . . . . . . . 204 3.5.7 Kriterien für positiv definite Matrizen . . . . . . . . . . . 206 3.5.8 Direkte Summe und direktes Produkt von Matrizen . . . . . . 209 3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 3.6.1 Defnition von Eigenwerten und Eigenvektoren . . . . . . . . 211 3.6.2 Anwendung: Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 3.6.3 Eigenschaften des charakteristischen Polynoms . . . . . . . 217 3.6.4 Eigenvektoren und Eigenräume . . . . . . . . . . . . . . . . 223 3.6.5 Symmetrische Matrizen und ihre Eigenwerte . . . . . . . . . 228 3.7 Die Jordansche Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 3.7.1 Praktische Durchführung der Transformation auf Jordansche Normalform . 240 3.7.2 Berechnung des charakteristischen Polynoms und der Eigenwerte einer Matrix mit dem Krylov-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 3.7.3 Das Jacobi-Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 3.7.4 Von-Mises-Iteration, Deflation und inverse Iteration zur numerischen Eigen- wert- und Eigenvektorberechnung . . . . . . . . . . . . . 254 3.8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen . . . . . . . . . . . . . 260 3.8.1 Rangkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 3.8.2 Quadratische Systeme, Fredholmsche Alternative . . . . . . . 262 3.8.3 Dreieckszerlegung von Matrizen durch den Gaußschen Algorithmus, Cholesky- Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 3.8.4 Lösung großer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . 269 3.8.5 Einzelschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 3.9 Matrix-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 3.9.1 Matrix-Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 3.9.2 Matrixpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 3.9.3 Annullierende Polynome, Satz von Cayley-Hamilton . . . . . . 289 3.9.4 Das Minimalpolynom einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . 294 3.9.5 Folgen und Reihen von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . 297 3.9.6 Potenzreihen von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 3.9.7 Matrix-Exponentialfunktion, Matrix-Sinus- und Matrix-Cosinus-Funktion . 303 3.10 Drehungen, Spiegelungen, Koordinatentransformationen . . . . . . . 307 3.10.1 Drehungen und Spiegelungen in der Ebene . . . . . . . . . . 308 3.10.2 Spiegelung im Rn , QR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . 310 3.10.3 Drehungen im dreidimensionalen Raum . . . . . . . . . . . . 313 3.10.4 Spiegelungen und Drehspiegelungen im dreidimensionalen Raum 320 3.10.5 Basiswechsel und Koordinatentransformation . . . . . . . . 321 3.10.6 Transformation bei kartesischen Koordinaten . . . . . . . . 324 3.10.7 Affine Abbildungen und affine Koordinatentransformationen . 326 3.10.8 Hauptachsentransformation von Quadriken . . . . . . . . . . 328 3.10.9 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 3.10.10 Flächen zweiten Grades: Ellipsoide, Hyperboloide, Paraboloide 336 3.11 Lineare Ausgleichsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 3.11.1 Die Methode der kleinsten Fehlerquadrate . . . . . . . . . 340 3.11.2 Lösung der Normalgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 349 3.11.3 Lösung des Minimierungsproblems . . . . . . . . . . . . . . 350 4 Anwendungen 363 4.1 Technische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 4.1.1 Ebene Stabwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 4.1.2 Elektrische Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . 370 4.2 Roboter-Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 4.2.1 Einführende Betrachtungen . . . . . . . . . . . . 380 4.2.2 Kinematik eines (n + 1)-gliedrigen Roboters . . . 381 Anhang 391 A Lösungen zu den Übungen 393 Symbole 401 Literaturverzeichnis 403 Stichwortverzeichnis 409 Meine Bewertung: Der Band II behandelt die Vektorrechnung, endlichdimensionale Vektorräume, die algebraischen Grundstrukturen, lineare Gleichungen, Eigenwertprobleme und Anwendungen der Linearen Algebra. Das Verhältnis zwischen mathematischer Strenge, Verständlichkeit und Anwendungsbezug ist ausgewogen. Der Anhang enthält Lösungen zu den Aufgaben.

Hinzugefügt am: 2020-12-14
Kritiker: AlphaSigma
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