Das Unendliche. Mathematiker ringen um einen Begriff

Taschner, Rudolf

Buchcover
Kurzbeschreibung: "Philosophen und Theologen haben über das Unendliche nachgedacht. Doch die wahre Wissenschaft vom Unendlichen ist die Mathematik. Rudolf Taschner gelingt es, diesen zentralen Begriff auch dem mathematischen Laien zu vermitteln. Auf anschauliche Weise beschreibt er, wie bereits Pythagoras, Archimedes und Euklid versucht haben, das Unendliche zu fassen. Er macht uns mit Newton und Leibniz bekannt, die entdeckten, daß das Phänomen von Bewegung und Wandel nur durch die Erforschung des Unendlichen verständlich wird. Mit Spannung kann der Leser den dramatischen Streit zwischen den unterschiedlichen Positionen von Cantor, Hilbert und Brouwer verfolgen - ein Streit, der nach den Erkenntnissen Gödels unentschiedener ist denn je."


Hinzugefügt am: 2004-10-25
Kritiker: Matroid
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Weitere Kommentare:
Das Unendliche. Mathematiker ringen um einen Begriff
Bewertung von Cerebus am 09.07.2006

Cerebus schreibt:

Dieses Buch hat den Anspruch die wichtigsten mathematischen Ideen rund um das Unendliche und deren Geschichte vorzustellen. Dieser Anspruch wird nicht erfüllt.

Die Schwerpunktsetzung des Buchs ist mehr als befremdlich.
Die Idee von Grenzwerten bei der Begründung der Analysis geht nur halbseiden übder das Konzept einer Dezimalzahl ein. Und as obwohl auf die Probleme mit den Ideen von Newton und Leibniz sehr ausführlich eingegangen wird.
Die Idee von der Kardinalität einer Menge, die bis auf Galileo zurückgeht, wird nirgends explizit erwähnt und kommt nur impliziet in einer Endnote vor. Auch Hilberts Hotel schaffte es nicht bis in den Hauptteil. Wenn es umd die Axiomatisierung der Mengenlehre geht, wird nur Zermelo erwähnt. Fraenkel und Skolem bleiben auf der Strecke und auch das System von von Neumann, Gödel und Bernays wird nicht erwähnt.
Der Autor hat sehr feste Meinungen, und tut diese recht deutlich kund. So schreibt er über den Formalismus Hilberts: "Jeden nur einigermaßen geistig regen Menschen muss Hilberts Programm der total formalisierten Mathematik in Grauen und Abscheu versetzen." Ähem. Das Kapitel über Cantor endet folgendermaßen:
Man mag es als Gunst des Schicksals betrachten, dass er nicht mehr erleben musste, wie der einzig sinnvolle Versuch zur Rettung seiner Mathematik in einem Debakel endete. Wobei noch erschwerend hinzukam, dass seine eigene Beweisidee zur Herleitung des "Satzes von Cantor" diese Niederlage hervorrief.

Bitte?!? Ist die Mengenlehre untergegangen und wir wissen es nur noch nicht? Nun, der Autor erläutert diesen Abschnitt nicht. Er erklärt auch weder was "der einzig sinnvolle Versuch zur Rettung seiner Mathematik" ist, noch was der "Satz von Cantor" ist. Ich persönlich vermute dass er irgendwie auf Hilberts Programm anspielt und den Beweis von Gödels Unvollständigkeitssatz über ein Diagonalargument. Sicher bin ich mir nicht und Laien werden damit noch weniger Anfangen können.
Gödels Unvollständigkeitssatz wird recht ausführlich besprochen und die Beweisidee über das Halteproblem skizziert. Der Autor formuliert den Satz folgendermaßen:
 
Wenn ein formales mathematisches und widerspruchsfreies Axiomensystem in der Lage ist, die Arithmetik der Zahlen 1,2,3,4,5,...zu beschreiben, dann kann dieses Axiomensystem nie vollständig sein.

Wenn mensch Arithmetik nicht gerade mit Peanoarithmetik assoziert, was bei Laien wohl eher selten der Fall sein dürfte, stellt sich die Frage wie eine unvollständige Theorie der Arithmetik die ganze Arithmetik der Zahlen 1,2,3,4,5,...beschreiben kann. Das Buch ist voll von solchen Ungenauigkeiten. Die Beschreibung der Beweisidee ist ziemlich langatmig aber weitgehend okay. Trotzdem gibt es hierzu Besseres von Chaitin, Hofstadter oder Smullyan. Aus dem Unvollständigkeitssatz zieht der Autor folgende Konsequenz:
Gödels Unvollständigkeitssatz brachte zwar Hilberts Programm zu Fall, dafür befreite er die Mathematik von der Illusion, es handle sich bei ihr um eine Wissenschaft, die rein mechanisch nachvollziehbar wäre. Anders formuliert: Es ist undenkbar, Mathematik allein mit Rechenmaschinen zu betreiben.

Das ist falsch. Nur weil ein System unvollständig ist, bedeutet dass noch nicht dass es unmöglich ist alle beweisbaren Sätze eines Systems von einem Computer auflisten zu lassen. Es ist möglich.  


(Dieser Kommentar wurde zu dieser Besprechung geschrieben)

Das Unendliche. Mathematiker ringen um einen Begriff
Bewertung von Jingels am 28.12.2011

Jingels schreibt:

Mir ist das Buch zu langweilig. Nicht empfehlenswert !


(Dieser Kommentar wurde zu dieser Besprechung geschrieben)

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Das Unendliche. Mathematiker ringen um einen Begriff


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