@Bernhard Danke für den Einwurf! Stimmt, ich habe auch schon auf dem MP beobachten können, dass einige sowas sogar bewusst machen. Und wenn es bewusst ist, ist es schon ein wenig dreist - als ob es eine Selbstverständlichkeit wäre, dass Forumsmitglieder ihre Zeit aufwenden um anderen Leuten zu helfen. Aber immerhin ist die Druckausübung in der Regel nicht die Absicht (hoffe ich!).> ...

Noch eine Sache, die ich vergessen habe, welche ich aber gerade auf MSE wieder gesehen habe. Einige fragen: "Bin ich jetzt fertig?" oder "Ist die Aufgabe jetzt trivial?" Das ist auch etwas, das man nie fragen sollte. Wenn man nicht weiß, ob man "fertig" ist, dann ist man einfach nicht fertig. Denn so hat man noch keine vollständige Argumentation verstanden. Es mag sein, dass ein erfahrener ...

@LetsLearnTogether Ja, natürlich sollte man selber einige Sachen nachprüfen, wenn man einen mathematischen Text liest. Dazu muss der Autor aber nicht schreiben, dass etwas trivial ist, sondern kann anmerken, dass es hier etwas zu überprüfen gibt. Ob es leicht ist, kann der Leser dann selber entscheiden. Die Formulierungen "Wir empfehlen den Leser ... nachzurechnen." "Hier ist noch etwas ...

@Diophant Anstatt zu sagen es sei trivial, finde ich die Formulierung "Da $g$ linear ist, gilt $g(0) = 0$." besser.> ...

Vielen Dank für die ganzen Kommentare, es hat mich sehr gefreut! Daran habe ich gemerkt, dass ich stilistisch einiges anders hätte machen sollen/können und einige Themen noch hätte diskutieren können. Ich hätte vielleicht weniger das Wort "trivial" betonen sollen, da das Wort selbst gar nicht die Thematik hier ist. @easymathematics: Ja! Darum geht es in diesem Artikel allerdings nicht ...

Auf MSE/3308705 sind direkte Beweise für $\pi_n = 0$ for $n > 1$. Interessant ist auch, dass $f : S^1 \to X$ zwar eine schwache Homotopieäquivalenz ist, es aber keine schwache Homotopieäquivalenz $X \to S^1$ gibt. Das ist - glaube ich - ein typisches Beispiel für diesen Sachverhalt, welchen ich aus Scott Balchins Vorträge zu Modellkategorien gelernt habe.> ...

Ich bin ein bisschen empört: Wenn man nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik (also die eindeutige Existenz einer Primfaktorzerlegung) googelt, dann formulieren viele Suchbegriffe die Aussage bloß für $n > 1$. Doch offenbar gilt dieser Satz bereits für $n = 1$, wie auch in diesem Artikel angesprochen. (Anlass war eine Frage auf MSE. Der Fragesteller wollte zeigen, dass $p^2 = 2q^2$ nicht g ...

Schöner Artikel wie immer, den ich noch komplett lesen muss, wenn ich mehr Zeit habe. Ein wichtiges Beweismotiv ist wahrscheinlich "Finde/Zeichne das richtige Bild". Passend zum Abschnitt "Verallgemeinere den Kontext" finde ich noch den berühmten Beweis zu Desargues Satz bzgl. der Perspektivität von Punkten und Geraden in der projektiven Geometrie. Es ist (a priori) eine zwei-dimensionale ...

Ein Beispiel aus der algebraischen Geometrie (Vakil, November 18, 2017, S. 323): Satz. Sei $\pi : X \to Y$ ein Morphismus irreduzibler $k$-Varietäten mit $\dim{X} = m$ und $\dim{Y} = n$. Dann existiert eine nicht-leere offene Menge $U \subseteq Y$, sodass für alle $q \in U$ die Faser $\pi^{-1}(q)$ reine Dimension $m-n$ hat oder leer ist. Bemerkung. Die leere Menge hat reine Dimension $ ...

@Triceratops: Danke für die Buchempfehlung! Ich besuche im kommenden Semester voraussichtlich eine Vorlesung zur étalen Kohomologie, da werde ich sicher ein wenig in Tammes Buch stöbern. :-)> ...

Das ist echt ein wunderbarer Artikel! Es ist bemerkenswert, dass Leray vor allem in PDEs und Physik interessiert war. Glück gehabt, dass er gefangen genommen wurde und deswegen mehr Zeit in algebraische Topologie investiert hat... Ich finde es schade, dass in diesem Artikel kein Beispiel zur algebraischen Geometrie auftaucht, aber dieser Text ist definitiv ein guter Start bei dem Studium v ...

Ich glaube nicht, dass die Kommentarfunktion dafür gedacht ist, LaTeX Verbesserungen und einfache Rechenfehler anzumerken. Wie Diophant schon vorgeschlagen hat, gibt es hierfür ein Feature vom MP und man kann kleine Fehler auch per PM erklären. :p Das Resultat finde ich nett. Ich kannte es noch nicht, obwohl ich in der Schulzeit sehr viel zur Elementargeometrie gelesen habe. Danke für den A ...

Schöne Geschichte, gefällt mir sehr gut! Ich frage mich wie das Leben anderer Bücher aussehen könnte.> ...

Ein schöner Artikel, der zeigt, wie "Linear Algebra Done Right" aussieht (und jedoch nicht im Buch "Linear Algebra Done Right" von Axler behandelt wird). Die Punkte (3), (4) erinnern an eine funktorielle Eigenschaft. Kann man es noch weiter verallgemeinern, dass es ein Funktor, z.B. $\mathbf{Vect}_{k}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Vect}_k$, wird? (Punkte (3), (4) sagen ja zumindest aus, dass $\ope ...

@Diophant Danke für das Feedback! Das kann man definitiv mit Schülern machen, vor allem bei fortgeschrittenen Wettbewerbsteilnehmern ist die Kreisinversion sehr beliebt. In der Schulzeit habe ich bereits einen Artikel über den Satz von Ptolemäus für Wettbewerbskandidaten geschrieben - damals habe ich aber den Beweis über Inversion nur als Übungsaufgabe gegeben.> ...

Definitiv der schönste Beweis von Cayley-Hamilton, den ich kenne!> ...

Ich hatte in diesem Semester einen Kurs zur Differentialgeometrie, gehalten von einem mathematischen Physiker, der $0$-dimensionale Mannigfaltigkeiten nicht zu den Mannigfaltigkeiten gezählt hat. (Die Definition einer Mannigfaltigkeit war auch nicht ganz äquivalent zur üblichen Definition.) Aber mit $\{\ast \}$ als terminales Objekt in $\mathbf{Mfld}$ sowie dem Einsatz dieser Mannigfaltigkei ...

Noch ein kurzer Kommentar, wieso man bijektiv als umkehrbar definieren sollte. Es ist nämlich natürlich der kategorische Isomorphisbegriff in der Kategorie der Mengen.> ...

Sehr schöner Artikel. Ich finde auch, dass man besser aufpassen sollte, Vergissfunktoren nicht zu vergessen. Ebenso finde ich interessant zu sehen, wie es zu Deinem Buch kam. Das sollte hoffentlich mehr Leute anregen, Artikeln auf dem MP zu schreiben!> ...

Bravo! Ich habe zwar erst einige der Motivationen gelesen, aber besser hätte man es nicht sagen können - leichtere Beweise folgen fast schon unmittelbar, wenn man Definitionen sinnvoll benutzt. Das ist Mathematik! Aufgeschriebene Beweise fallen zwar oft vom Himmel, aber man sollte sich dann überlegen, woher die einzelnen Schritte fallen! Wenn man nur die Argumentation versteht, aber überhau ...