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  Gefunden in Artikeln von Martin_Infinite:
Stern Vollständige Indoktrination von Martin_Infinite
       am Mi. 23. März 2016 20:42:30 - 5074 mal gelesen - 21 Kommentare
Vollständige Indoktrination Die vollständige Induktion steht im ersten Semester auf dem Lehrplan und wird mit vielen einfachen Aufgaben eingeübt. Das hat oftmals zur Folge, dass Studienanfänger alles, wo eine natürliche Zahl vorkommt, mittels vollständiger Induktion beweisen möchten, oder sogar beweisen sollen . Was diese Einschränkung für Auswirkungen auf die mathematische Kr ...
Stern Existenz von linearen Abbildungen mit vorgegebenen Werten von Martin_Infinite
       am Di. 08. März 2016 17:24:38 - 1803 mal gelesen - 2 Kommentare
Existenz von linearen Abbildungen mit vorgegebenen Werten Gibt es eine lineare Abbildung f : \mathds{R}^2 \to \mathds{R}^2\ \text{mit}\ f\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} , f\begin{pmatrix} 1\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} und f\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix} ? Aufgaben dieses Typs werden in ...
Konzepte der Ringtheorie von Martin_Infinite
       am Sa. 20. Februar 2016 20:56:50 - 2311 mal gelesen - 0 Kommentare
Die Grundbegriffe der Ringtheorie kann man in vielen Algebra-Büchern nachlesen, aber dieser Artikel geht etwas anders als üblich vor. Die Definitionen der Grundbegriffe sind hier nicht minimalistisch angelegt, sondern sollen das einfangen, worum es meiner Erfahrung nach wirklich geht. Außerdem werden die allgegenwärtigen universellen Eigenschaften stark betont. Auf diese Weise lassen si ...
Der Satz von Birkhoff über distributive Verbände von Martin_Infinite
       am Mi. 10. Februar 2016 19:00:05 - 1121 mal gelesen - 4 Kommentare
\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=-0.7pt},column sep=22pt,row sep=15pt] && \bullet \ar[-]{dr} & \\ & \circledcirc \ar[-]{ur} & \bullet \ar[-]{dr} \ar[-]{u} & \circledcirc \\ &\bullet \ar[-]{u} \ar[-]{dr} \ar[-]{ur} & & \circledcirc \ar[-]{u}\\ \bullet \ar[-]{ur} & \bullet \ar[-]{dr} \ar[-]{u} & \bullet \ar[-]{ur} &\\ \circledcirc \ar[-]{u} \ar[-]{dr} \ar[-]{ur} & \ar[-,crossing ...
Cantor-Algebren - eine kategorielle Untersuchung von Martin_Infinite
       am Do. 17. Dezember 2015 12:53:27 - 636 mal gelesen - 0 Kommentare
$${\Large \textbf{Cantor-Algebren}} Cantor-Algebren sind interessante algebraische Strukturen: Es handelt sich um Mengen X zusammen mit einer Bijektion X^2 \xrightarrow{~\cong~} X . Ein klassisches Beispiel ist die Menge der natürlichen Zahlen \mathds{N} zusammen mit der Cantor'schen Paarungsfunktion \mathds{N}^2 \xrightarrow{~\cong~} \mathds{N} . In diesem Artikel wird die Kategorie ...
Die Vieta-Transformation von Martin_Infinite
       am Fr. 13. November 2015 15:37:25 - 1260 mal gelesen - 1 Kommentare
Zur Lösung der kubischen Gleichung In diesem Artikel stelle ich die Vieta-Transformation vor (nach François Viète ), mit deren Hilfe eine sehr schnelle und elegante Lösung der kubischen Gleichung y^3+py+q=0 gelingt. Sie wird damit unmittelbar auf eine quadratische Gleichung und eine reine kubische Gleichung reduziert. Es ergeben sich dieselben Formeln wie von Cardano bzw. Tartagli ...
Ein kategorieller Satz von Schröder-Bernstein von Martin_Infinite
       am Sa. 17. Oktober 2015 14:41:10 - 879 mal gelesen - 1 Kommentare
In diesem Artikel wird gezeigt, dass eine Kategorie, die gewisse Bedingungen an Koprodukte erfüllt, eine Art Satz von Schröder-Bernstein erfüllt: Zwei Objekte sind isomorph, sobald sie komplementierte Monomorphismen ineinander zulassen. Dies vereinheitlicht mehrere Varianten des Satzes von Schröder-Bernstein, u.a. für Mengen, G-Mengen für eine Gruppe G, messbare Räume, Prägarben, ...
Determinanten koordinatenfrei von Martin_Infinite
       am Di. 08. September 2015 22:05:14 - 2852 mal gelesen - 16 Kommentare
In diesem Artikel möchte ich erklären, was die Determinante eines Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraumes ist. Das Besondere ist: Es werden keine Matrizen benutzt. Insofern ist das Vorgehen also koordinatenfrei und meiner Meinung nach sehr elegant. Zugleich ist es recht anschaulich. Am Ende werden ein paar Beispiele berechnet, welche die Nützlichkeit des Zugangs untermauern. ...
Stern Kombinatorische Herleitung von Potenzsummen von Martin_Infinite
       am Fr. 31. Juli 2015 19:59:34 - 1975 mal gelesen - 13 Kommentare
Kombinatorische Herleitung von Potenzsummen Wir geben eine einfache kombinatorische Herleitung einer expliziten Formel für die Potenzsumme \displaystyle\sum_{k=0}^{n} k^d als ein Polynom in n , wobei der Exponent d \geq 0 fest ist. Dabei werden uns Binomialkoeffizienten und Stirling-Zahlen helfen.> ...
Faktorisierung von Polynomen von Martin_Infinite
       am So. 12. Juli 2015 09:03:48 - 1578 mal gelesen - 2 Kommentare
$$\Large\textbf{} In diesem Artikel möchte ich einen Algorithmus zur Faktorisierung von Polynomen vorstellen, welcher auf den Astronom F. T. von Schubert aus dem Jahre 1793 zurückgeht, also genau 222 Jahre alt ist. Zur Illustration dieses Verfahrens werden einige Beispiele nachgerechnet. Zum Beispiel faktorisieren wir das Polynom T^7 + T^6 + 2 T^5 + T^4 + 2 T^2 - T + 2 in zwei quadratis ...
Ein Garten aus Pfeilen: Spektralfolgen von Martin_Infinite
       am Fr. 19. Juni 2015 16:43:12 - 1130 mal gelesen - 7 Kommentare
Spektralfolgen \tikzset{commutative diagrams/.cd,arrow style=tikz,diagrams={> =stealth}} \begin{tikzcd}[row sep=25pt, column sep=22pt,inner sep=1pt,line width=0.45pt,] \cdots \ar{drr} & \bullet \ar{drr} & \bullet \ar{drr} & \bullet \ar{drr} & \bullet & \cdots \\ \cdots \ar{drr} & \bullet \ar{drr} & \bullet \ar{drr} & \bullet \ar{drr} & \bullet & \cdots \\ \cdots & \bullet & \bullet & ...
2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie von Martin_Infinite
       am Sa. 23. Mai 2015 11:14:00 - 1640 mal gelesen - 6 Kommentare
2-Kategorien Einstieg in die höhere Kategorientheorie Kategorien bestehen aus Objekten und Morphismen zwischen den Objekten. Diese kann man sich als Punkte und Pfeile dazwischen vorstellen, die man miteinander verketten kann: \begin{tikzcd}[column sep=25pt, row sep=5pt] \bullet \ar[dashed,bend left]{rr} \ar{dr} && \bullet \\ & \bullet \ar{ur} & \end{tikzcd} Dieser Artikel gibt eine E ...
Kuratowski-Räume - ein anschaulicher Zugang zur Topologie von Martin_Infinite
       am Sa. 11. April 2015 23:30:31 - 1916 mal gelesen - 16 Kommentare
\LARGE{\textbf{Kuratowski-Räume}} \large\textsc{Ein anschaulicher Zugang zur Topologie} Wenn man sich die Definition eines metrischen Raumes ansieht, so ist die geometrische Intuition dahinter sofort klar: Es geht darum, Abstände zwischen Punkten zu messen. Man schreibt also einfach hin, was für Eigenschaften eine solche Abstandsfunktion haben sollte. Wenn man sich die übliche Defi ...
Division durch Null - warum nicht? von Martin_Infinite
       am Mi. 11. März 2015 19:30:37 - 2274 mal gelesen - 5 Kommentare
Von Wiesen und Rädern Üblicherweise wird zwar die Division durch Null verboten, weil sich keine Festsetzung des Ergebnisses mit den üblichen Bruchrechenregeln verträgt, aber es gibt dennoch Möglichkeiten, der Division durch Null einen Sinn zu geben. In diesem Artikel stelle ich zwei algebraische Strukturen vor, "Wiesen" und "Räder", welche dies ermöglichen. Wiesen verallgemeiner ...
Was ist ein Schema? Teil 4 von Martin_Infinite
       am Mi. 04. Februar 2015 11:31:44 - 3423 mal gelesen - 18 Kommentare
Was ist ein Schema? Der Erfinder der Schematheorie und zugleich einer der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, Alexander Grothendieck , ist kürzlich verstorben ( MP/201162 ). Dies möchte ich zum Anlass nehmen, etwas über die funktorielle Sichtweise von Schemata zu schreiben. In den 60er Jahren hatte sich die geometrische Sichtweise zwar bereits durchgesetzt, aber Grothendieck s ...
Worin unterscheiden sich f und f(x)? von Martin_Infinite
       am Mi. 03. Dezember 2014 20:43:50 - 2884 mal gelesen - 18 Kommentare
\textbf{\Large{Worin unterscheiden sich $f$ und $f(x)$?}} Bekanntlich muss man zwischen einer Funktion f : \mathds{R} \to \mathds{R} und ihren Funktionswerten f(t) ( t \in \mathds{R} ) unterscheiden. Zum Beispiel ist t^2 für eine feste Zahl t etwas anderes als die Funktion t \mapsto t^2 . In diesem kurzen Artikel schlage ich eine Notation vor, mit der f(x) tatsächlich gleich f i ...
Über Ringe, die der Gleichung x^n=x genügen von Martin_Infinite
       am Fr. 10. Oktober 2014 20:57:48 - 1977 mal gelesen - 16 Kommentare
Über Ringe, die der Gleichung \text{\textcolor{red}{\Large $x^n=x$}} genügen. Ein Satz von Jacobson besagt: Jeder Ring R , für den es eine natürliche Zahl n> 1 gibt mit \forall x \in R (x^n=x) ist bereits kommutativ, also \forall x,y \in R (xy=yx) . Für n=2,3,4 sind das sehr schöne "Rechenaufgaben". Jacobsons Beweis für den allgemeinen Fall ist allerdings relativ abstrakt und ...
Ein paar ungelöste Probleme in der Mathematik von Martin_Infinite
       am Mo. 04. August 2014 10:57:24 - 7628 mal gelesen - 10 Kommentare
\color{olive} \textbf{\LARGE{}} Die Mathematik ist voll mit ungelösten Problemen. Viele davon sind sehr schwierig und ein Beweis wäre jeweils ein großer mathematischer Durchbruch. Berühmte Beispiele dafür sind die Hodge-Vermutung , die Riemannsche Vermutung , die Baum-Connes Vermutung und die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer . Aber bei manchen auf dem ersten Blick völlig ha ...
Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie von Martin_Infinite
       am Mi. 09. Juli 2014 12:58:40 - 1562 mal gelesen - 2 Kommentare
Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie In diesem Artikel soll es um einen Integral-Begriff in der Kategorientheorie gehen. Wenn man sich Koprodukte in Kategorien als "Summen" vorstellt, so kann man sich Koenden als "gewichtete Summen" und damit als Integrale vorstellen. Zwei hübsche Beispiele: Das Tensorprodukt zweier R -Moduln lässt sich als M \otimes_R N = \displaystyl ...
Differentiale in der Algebra von Martin_Infinite
       am So. 04. Mai 2014 02:00:20 - 1319 mal gelesen - 4 Kommentare
Differentiale in \partial er Algebra Differentiale und Tangentialvektoren auf Mannigfaltigkeiten gehören meist zum Grundstudium der Mathematik. In diesem Artikel möchte ich kurz eine algebraische Variante davon vorstellen. Hierbei wird die Mannigfaltigkeit durch eine kommutativen Algebra A ersetzt, und Differentiale werden zu Elementen eines gewissen A -Moduls \Omega^1_A . Mit Hilfe von M ...

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  Gefunden in Kommentaren zu Artikeln:
Re: Vollständige Indoktrination
      von Martin_Infinite am Sa. 09. April 2016 01:54:08
Man braucht keinen Teleskoptrick.> ...
Re: Vollständige Indoktrination
      von Martin_Infinite am Fr. 08. April 2016 20:05:36
@DerEinfaeltige: Hast du dir den Artikel angeschaut? Nirgendwo habe ich behauptet, dass Induktion immer das unterliegende Beweismittel ist. Und manchmal ist sie sogar das einzige Beweismittel. Der Artikel ist voll mit Beispielen dafür. @weird: Wie gesagt, ist S(0)=0, f(n)=S(n)-S(n-1) nur die Definition von S(n). Das hat nichts mit Induktion zu tun.> ...
Re: Lineare Algebra für Dummies
      von Martin_Infinite am Do. 07. April 2016 23:01:42
@Slash: Das Buch gibt es seit 2006 (siehe Kommentare oben). @matroid: Die Formeln im Artikel müssten überarbeitet werden. Sie werden nicht richtig angezeigt.> ...
Re: Sensationelle Beweisverkürzung
      von Martin_Infinite am Fr. 01. April 2016 17:33:15
Schon klar, aber der Scherz wäre besser gewesen, wenn du dir wirklich einen Beweis ausgedacht hättest. Das wollte ich eigentlich sagen. Ich habe heute übrigens meine Freundin in den April geschickt. Sie fand das aber gar nicht lustig :D> ...
Re: Sensationelle Beweisverkürzung
      von Martin_Infinite am Fr. 01. April 2016 09:08:26
\quoteon(HJ) Aus ihnen wurde mit Computerhilfe etwas konstruiert, das auf eine DIN A 4 - Seite passt und als Beweis des Satzes gilt. \quoteoff Bitte diesen Beweis noch aufschreiben oder verlinken. Danke.> ...
Re: 'Lebenszeichen' von Buri
      von Martin_Infinite am Mo. 28. März 2016 18:31:54
Danke Burmi für das Lebenszeichen. Ich hatte mir bereits Sorgen gemacht und gerade heute eine PM geschrieben, nachdem ich gesehen hatte, dass der User Buri (aber offenbar nicht Wolfgang) nach einiger Zeit wieder online gewesen ist. Es freut mich zu lesen, dass es Wolfgang ganz gut geht (wobei das "wieder" im Artikel andeutet, dass es nicht immer so war — das tut mir Leid). Ich wünsche ...
Re: Vollständige Indoktrination
      von Martin_Infinite am Sa. 26. März 2016 08:52:33
Achso. Das ist nur ein vollständiger Beweis, wenn der Ansatz als korrekt erwiesen ist (z.B. mit der rekursiven Charakterisierung von Polynomfolgen vom Grad d durch Differenzfolgen). Ein Ansatz kann theoretisch zu einer eindeutigen Lösung führen, die aber durchaus falsch sein kann, wenn der Ansatz nämlich falsch war. Davon abgesehen gibt es nicht immer die Möglichkeit, eine Gleichung der ...
Re: Vollständige Indoktrination
      von Martin_Infinite am Fr. 25. März 2016 17:32:21
Die Gleichung S(n-1) + f(n) = S(n) ist nichts weiter als die (auch im Artikel genannte) Definition(!) von S(n).> ...
Re: Vollständige Indoktrination
      von Martin_Infinite am Fr. 25. März 2016 09:17:10
Hier noch eine wirklich schöne und elementare Aussage, bei der man die vollständige Induktion gut einüben kann und zudem auch noch etwas geometrisches Verständnis lernen kann: Sei G ein ebener zusammenhängender Graph mit V Knoten, E Kanten und F Gebieten (das unbeschränkte Gebiet eingeschlossen). Dann gilt die Eulersche Formel V-E+F = 2 . Beweis per Induktion nach E : Für ...
Re: Vollständige Indoktrination
      von Martin_Infinite am Do. 24. März 2016 17:17:06
@freeclimb: Danke, ist korrigiert. @Slash: Das war mein Plan. @xiao_shi_tou_: Meinst du diesen Satz ? Hier scheint eine vollständige Induktion sehr sinnvoll zu sein. Genau wie beim Satz von Ramsey. Aber ich bin auch kein Experte. Was alternative Beweise angeht, würde ich mal schauen, ob die von Timothy Gowers gefundene obere Schranke ein direkter Beweis für die Endlichkeit von N(r,l) ...
Re: Ein Garten aus Pfeilen: Spektralfolgen
      von Martin_Infinite am So. 20. März 2016 18:49:43
Danke Sabrina für das Feedback!> ...
Re: Kuratowski-Räume - ein anschaulicher Zugang zur Topologie
      von Martin_Infinite am So. 20. März 2016 12:38:55
\quoteonDa du fragst: dagegen spricht didaktisch die hier eher hinderliche "Anschaulichkeit", die ja doch immer und immer auf eine Skizze im (bestenfalls) \mathbb{R}^3 hinausläuft. \quoteoff Das sehe ich anders. Man erweitert durch solche Begriffsbildungen den Anschauungsbereich. Ich habe ja z.B. auch erklärt, was Berührung bei der Zariski-Topologie bedeutet. Und im üblichen Topologieb ...
Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
      von Martin_Infinite am So. 06. März 2016 17:08:11
Hier ein Beispiel, wo das Vergessen (erst in der Schrift, dann im Kopf) von Vergissfunktoren zu einem echten - aber zum Glück korrigierbaren - Fehler in einem Buch geführt hat; obwohl es sich um Professoren handelt, die sich mit algebraischer Topologie und Kategorientheorie eigentlich bestens auskennen: Das viel zitierte Buch "Rings, Modules, and Algebras in Stable Homotopy Theory" ( Link ), ...
Re: Latex für den MP zum Ausprobieren
      von Martin_Infinite am Sa. 05. März 2016 10:32:28
Ich habe gerade mal geschaut, wieviele der User online (waren nur ein paar, ist ja Samstag vormittag) üblicherweise den bzw. LaTeX benutzen: : 8 LaTeX: 10 gemischt: 1 weder noch: 2 Diese kleine Statistik deutet an, dass sich das LaTeX schon etabliert hat, aber den nicht verdrängt hat und auch nicht verdrängen wird. Beide führen hier eine friedliche Koexistenz. > ...
Re: 120 Kugeln und eine Balkenwaage
      von Martin_Infinite am Fr. 19. Februar 2016 08:43:23
Wieso wird sowas nicht in die Knobelecke gepostet?> ...
Re: Ein paar elementare Codes für die Nutzung von LaTeX auf dem MP...
      von Martin_Infinite am Di. 09. Februar 2016 18:56:40
Toll, dass wir jetzt endlich einen solchen FAQ-Artikel für LaTeX haben! Der könnte vielleicht im Nachrichten-Fenster verlinkt werden (z.B. [LaTeX-Bereich] [?] ). Man könnte hier natürlich noch sehr vieles ergänzen. Hier die m.E. wichtigsten Dinge: • Für Vektoren und Matrizen nutze ich pmatrix . Das ist einfacher und schöner als array . \codeon(LaTeX) \begin{pmatrix ...
Re: Berechnung des Wertes einer modifizierten geometrischen Reihe
      von Martin_Infinite am Di. 09. Februar 2016 11:20:18
Hier noch ein anderer Zugang (mit demselben Endergebnis). Sei f ein Polynom in einer Variablen T . Für n \in \mathds{N} und eine feste Variable q betrachten wir die endliche Summe \displaystyle S(f,n) := \sum_{k=0}^{n} f(k) \cdot q^k. Wir möchten S(T^m,n) berechnen, wobei m \in \mathds{N} . Die Polynome \displaystyle f_m := (T+1) \cdot (T+2) \cdot \dotsc \cdot (T+m) ...
Re: Extremwertberechnung - ein Beispiel aus der Praxis
      von Martin_Infinite am Do. 28. Januar 2016 20:17:51
Bleibt zu hoffen, dass solche - wirklich nützlichen und gut motivierbaren - Anwendungen es auch wirklich in den Unterricht schaffen.> ...
Re: Verleihung der 14. MP-Awards
      von Martin_Infinite am Mo. 25. Januar 2016 21:23:14
@shadowking: Ich stimme dir voll und ganz zu. Eine Möglichkeit wäre, wenn man unbedingt diese Kategorien beibehalten möchte, mehrere Awards zu vergeben. So wie das in anderen übergreifenden Kategorien (bester Ratgeber) ja auch schon immer der Fall ist.> ...
Re: Verleihung der 14. MP-Awards
      von Martin_Infinite am So. 24. Januar 2016 20:37:56
\quoteon(Goswin) Ich möchte gerne nächstes Jahr für einige Leute stimmen, die sich erst Dezember 2015 registriert haben. \quoteoff Das hättest du bei diesen Awards machen müssen.> ...
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