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  •   Gefunden in Artikeln von Triceratops:
    Typische Beweismotive von Triceratops
           am So. 20. Juni 2021 16:23:34 - 853 mal gelesen - 5 Kommentare
    Dies ist die Fortsetzung des Artikels Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann . Dort ging es um einfache Beweise, die sich schon alleine durch eine gute "Buchführung" der Definitionen, Voraussetzungen und Behauptungen hinschreiben lassen. In diesem Teil soll es nun um Beweise gehen, wo mehr Kreativität benötigt wird. Dazu stelle ich einige Beweismotive vor und illustriere sie wiede ...
    Matrizen sind Homomorphismen zwischen direkten Summen von Triceratops
           am Do. 20. Mai 2021 12:49:04 - 619 mal gelesen - 1 Kommentare
    Matrizen lernt man in Vorlesungen zur linearen Algebra üblicherweise als "rechteckige Zahlenschemata" kennen. In diesem Artikel werden Matrizen hingegen ausgehend von der Bestimmung der linearen Abbildungen zwischen direkten Summen von Vektorräumen hergeleitet. Die Matrixmultiplikation entsteht in diesem Kontext aus der Komposition von linearen Abbildungen. Damit bekommt man ein gutes Vers ...
    Hüllenoperatoren von Triceratops
           am Mi. 21. April 2021 13:00:05 - 412 mal gelesen - 1 Kommentare
    Mit Hüllenoperatoren lassen sich verschiedene Begriffe von Erzeugendensystemen (erzeugte Untergruppe, erzeugte $\sigma$-Algebra, konvexe Hülle, erzeugte Topologie, uvm.) und entsprechender abgeschlossener Mengen vereinheitlichen. Wir schauen uns auch die Rekursion an, welche die erzeugte Struktur schrittweise erzeugt. Bei Verknüpfungen unendlicher Stelligkeit wie zum Beispiel $\sigma$-Alg ...
    Limes-Skizzen und ihre Modell-Kategorien von Triceratops
           am Sa. 20. März 2021 11:04:58 - 232 mal gelesen - 0 Kommentare
    Üblicherweise studiert man universelle Eigenschaften von Objekten innerhalb einer festen Kategorie. Weil aber unter geeigneten Größenannahmen auch Kategorien eine Kategorie bilden (genauer gesagt, eine $2$-Kategorie), kann man auch universelle Eigenschaften von Kategorien selbst untersuchen. Wir beschäftigen uns hier ausschließlich mit kovollständigen Kategorien. Konkret fragen wir uns a ...
    Über die Adjunktion von Wurzeln von Triceratops
           am Sa. 20. Februar 2021 08:27:16 - 295 mal gelesen - 0 Kommentare
    Eine beliebte Aufgabe aus der Algebra ist es, den Grad und die Galoisgruppe von Erweiterungen der Form $\IQ(\sqrt{p},\sqrt{q},\dotsc)$ für konkrete Beispiele von Primzahlen $p,q,\dotsc$ zu bestimmen, zum Beispiel von $\IQ(\sqrt{2},\sqrt{3})$. Außerdem soll oftmals ein primitives Element und dessen Minimalpolynom gefunden werden. In diesem Artikel behandeln wir allgemeiner Erweiterungen der F ...
    Über Berührungen und Ableitungen von Triceratops
           am Di. 19. Januar 2021 06:36:43 - 322 mal gelesen - 0 Kommentare
    In dem Buch 'Grundzüge der modernen Analysis' von Dieudonné wird der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion zwischen normierten Räumen sehr anschaulich und geometrisch mithilfe einer Berührungsrelation eingeführt. Die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt wird dadurch definiert, dass sie dort von einer affin-linearen Funktion berührt wird. Leider taucht diese Relati ...
    Ein einfacher Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie von Triceratops
           am So. 20. Dezember 2020 06:01:00 - 679 mal gelesen - 0 Kommentare
    Ich habe mir einen einfachen Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie überlegt. Er kommt gänzlich ohne Dimensionsargumente aus. Die eine Hälfte des Beweises ergibt sich letztlich aus Grundlagen über Homomorphismen in einen algebraischen Abschluss, wohingegen die andere Hälfte auf einem kombinatorischen Resultat basiert, nämlich dass ein Körper nicht als Vereinigung von endlich viel ...
    Grundlagen der linearen Algebra über F_1 von Triceratops
           am Fr. 20. November 2020 14:29:42 - 428 mal gelesen - 0 Kommentare
    Grundlagen der linearen Algebra über $\mathbb{F}_1$ Es gibt verschiedene Definitionen eines "Körpers mit einem Element", notiert mit $\IF_1$. In diesem Artikel stellen wir die wohl einfachste davon vor und betreiben etwas lineare Algebra darüber: Ein $\IF_1$-Vektorraum ist ganz einfach eine punktierte Menge, und $\IF_1$ ist $(\{0,1\},0)$. Lineare Algebra über $\IF_1$ ist also eng mit Kombin ...
    Einführung in q-Binomialkoeffizienten von Triceratops
           am Di. 20. Oktober 2020 06:42:45 - 604 mal gelesen - 3 Kommentare
    Einführung in $q$-Binomialkoeffizienten Ausgehend von der kombinatorischen Fragestellung, wieviele Unterräume ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper $\IF_q$ hat, schauen wir uns $q$-Binomialkoeffizienten $\smash{\binom{n}{k}_q}$ genauer an. Man kann sie als eine Verfeinerung der gewöhnlichen Binomialkoeffizienten ansehen: es sind nämlich Polynome in $q$, deren Ko ...
    Stern Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace von Triceratops
           am Do. 17. September 2020 19:18:39 - 810 mal gelesen - 6 Kommentare
    Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace Der Entwicklungssatz von Laplace aus der linearen Algebra wird üblicherweise als eine Aussage über Matrizen formuliert und durch eine direkte Rechnung bewiesen. In diesem Artikel formulieren und beweisen wir eine koordinatenfreie Version dieses Satzes, die zwar nicht neu, aber relativ unbekannt ist. Sie handelt entsprechend von linearen Abbildung ...
    Stern Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle von Triceratops
           am Fr. 14. August 2020 15:34:03 - 1969 mal gelesen - 30 Kommentare
    Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle Ist $0$ eine natürliche Zahl? Wieso ist $1$ keine Primzahl? Was ist $0^0$? Was ist eine Basis des trivialen Vektorraumes? Wieso ist der triviale Ring ein Ring mit Eins, aber kein Körper? Ist der leere Raum zusammenhängend? Sollten wir den leeren Graphen zulassen? Welche Dimension hat die leere Mannigfaltigkeit? Was ist der Grad des N ...
    Ausdehnen von algebraischen Gleichungen von Triceratops
           am So. 12. Juli 2020 21:52:37 - 638 mal gelesen - 2 Kommentare
    Der Satz von Cayley-Hamilton aus der linearen Algebra ist ein schönes Beispiel dafür, dass man einen Satz über komplexe Matrizen mit einem formalen Argument auf Matrizen über kommutativen Ringen verallgemeinern kann. In diesem Artikel soll das allgemeine Prinzip dahinter erklärt werden. Als Beispiele dafür besprechen wir die Multiplikativität von Determinanten, den Entwicklungssatz von ...
    Stern Ramsey-Zahlen von Triceratops
           am Mo. 23. Dezember 2019 20:06:37 - 1010 mal gelesen - 0 Kommentare
    Ramsey-Zahlen Silvester steht vor der Tür. Auf so einer Silvesterparty sehen sich manche Gäste zum ersten mal und kannten sich vorher nur über Ecken. Es gibt also unterschiedlich große Gruppen von einander Bekannten und Gruppen von einander Fremden. Wie groß können diese Gruppen sein? Oder genauer gesagt, wie groß muss die Anzahl der Gäste überhaupt sein, damit es auf jeden Fall eine G ...
    Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p = f^q$ von Triceratops
           am Fr. 13. Dezember 2019 21:45:02 - 556 mal gelesen - 1 Kommentare
    Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p=f^q$ Für feste natürliche Zahlen $n,p,q$ bestimmen wir die Anzahl der Abbildungen $f : \{1,\dotsc,n\} \to \{1,\dotsc,n\}$ mit $f^p = f^q$, wobei $f^p$ die $p$-fache Verkettung von $f$ sei. Wir leiten insbesondere für festes $p \geq 2$ und $q=1$ die erzeugende Funktion $\exp(\sum_{d ~\mid~ p-1} \frac{1}{d} (z \cdot \exp(z))^d)$ für die Anzahlen her. Am End ...
    Galois-Verbindungen von Triceratops
           am Do. 21. November 2019 22:39:52 - 671 mal gelesen - 4 Kommentare
    Ausgehend von einer einfachen Beobachtung zwischen der Bildmenge und der Urbildmenge gelangen wir zum Begriff einer Galois-Verbindung. Dieser wird in diesem Artikel untersucht. Wir beweisen einfache Eigenschaften von Galois-Verbindungen und geben ein paar einfache Anwendungen an. Insbesondere finden wir damit einen konzeptionellen Beweis für eine ganze Reihe von Charakterisierungen von injekt ...
    Die Koch-Schneeflocke von Triceratops
           am Sa. 07. September 2019 20:09:14 - 1080 mal gelesen - 10 Kommentare
    In diesem kurzen Artikel werden die Flächeninhalte der Koch-Kurve und der Koch-Schneeflocke berechnet, ohne Grenzwerte oder unendliche Reihen zu benutzen. > ...
    Das arithmetische Mittel und freie Mittelpunkt-Algebren von Triceratops
           am Mi. 11. April 2018 09:55:02 - 481 mal gelesen - 0 Kommentare
    Dieser Artikel hat sich aus der Frage motiviert, welche Rechenregeln das arithmetische Mittel $$\overline{m}(a,b) = \frac{a+b}{2}$$reeller Zahlen erfüllt. Man erkennt relativ schnell $$\overline{m}(a,a)=a, \quad \overline{m}(a,b)=\overline{m}(b,a).$$Es gilt auch $$\overline{m}(\overline{m}(a,b),\overline{m}(a',b'))= \overline{m}(\overline{m}(a,a'),\overline{m}(b,b')),$$weil beide Seiten $(a ...
    Stern Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann von Triceratops
           am Sa. 07. Oktober 2017 10:11:20 - 5231 mal gelesen - 7 Kommentare
    Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann Wenn man mit dem Studium der Mathematik beginnt, kommt es einem manchmal so vor, als ob Beweise sehr schwierig zu finden sind und ein hohes Maß an Kreativität und Talent erfordern. Selbst wenn man die Musterlösung sieht, denkt man sich manchmal "Darauf wäre ich nie gekommen", "Ich bin zu blöd dafür" oder "Das ist total schwierig". Viele Bewe ...
    Stern Kombinatorik im Spätsommer: Hamiltonsche Gitterwege von Triceratops
           am Do. 24. August 2017 08:26:14 - 1034 mal gelesen - 2 Kommentare
    Kombinatorik im Spätsommer: Hamiltonsche Gitterwege In diesem Artikel zählen wir die Wege, die durch ein endliches Gitter von unten links nach oben rechts laufen und sich nicht selbst schneiden. Dabei betrachten wir auch die Option, dass jeder Gitterpunkt genau einmal besucht wird. Solche Gitterwege werden selbstmeidend bzw. Hamiltonsch genannt. \begin{tikzpicture}[line width=0.2ex,scal ...
    Stern Kombinatorik in der Sommerpause: Pflasterungen mit Rechtecken von Triceratops
           am So. 30. Juli 2017 21:09:52 - 1129 mal gelesen - 20 Kommentare
    Kombinatorik in der Sommerpause: Pflasterungen mit Rechtecken Auf wieviele verschiedene Weisen lässt sich ein \(3 {\times} 4\)-Gitter mit Rechtecken pflastern? Hier ein paar Beispiele dafür: \begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5] \draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3); \draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle; \draw (0,1) to (2,1) to (2,0); \draw (2,1) to (2, ...

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      Gefunden in Kommentaren zu Artikeln:
    Re: Typische Beweismotive
          von Triceratops am Sa. 24. Juli 2021 23:55:38
    Vielen Dank für das Feedback! @AlphaSigma: Mit "kann angesehen werden als" war "entspricht" gemeint. Ich habe es geändert.> ...
    Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
          von Triceratops am So. 04. Juli 2021 22:16:32
    Ausführlicher als im Artikel oben ("Der triviale Vektorraum") beschreibt Carl de Boor in An empty exercise , warum leere Matrizen nützlich und ganz natürlich sind, auch im Zusammenhang mit MATLAB.> ...
    Re: Fixpunkte in der Kategorientheorie
          von Triceratops am Mo. 26. April 2021 21:44:32
    In Beispiel F steht, dass $X \times Y$ mit der Norm $||(x,y)|| = \frac{1}{2} (||x|| + ||y||)$ ein kategorielles Produkt ist; das ist aber nicht der Fall, das kategorielle Produkt wäre mit der Sup-Norm. Man definiert hier die Norm gerade so, dass die Operation $\star$ isometrisch wird. Der Beweis bleibt unverändert. Wählt man die Norm $||(x,y)||_p := \left(\frac{1}{2} (||x||^p + ||y||^p)\right)^ ...
    Re: Ein Garten aus Pfeilen: Spektralfolgen
          von Triceratops am Mo. 05. April 2021 15:39:31
    @Kezer: Ein paar einfache Anwendungen von Spektralfolgen in der algebraischen Geometrie findet man im Buch "Introduction to Étale Cohomology" von G. Tamme. Zum Beispiel ist Theorem 3.4.4. die Spektralfolge "Cech-Kohomologie => Garbenkohomologie", die in vielen Anwendungen auch entartet und damit eine einfache Berechnung der Garbenkohomologie liefert. Und Theorem 3.7.5. ist die vielfach im Buch v ...
    Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
          von Triceratops am Sa. 13. März 2021 11:11:43
    @StefanVogel: Danke, das ist ein schönes Beispiel! Und Calculus schreibt in seinem Artikel auch: Der Spezialfall \sigma = 0 muss gesondert betrachtet werden. Dieser Fall ist jedoch wichtig bei der Betrachtung der mehrdimensionalen Normalverteilung. Definiert man konstante Zufallsvariablen nicht als normalverteilt, so müssen bei der mehrdimensionalen Normalverteilung an vielen Stellen Ausn ...
    Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
          von Triceratops am Mo. 01. Februar 2021 14:51:55
    ... zumal aus dem Projektionssatz auch sofort der Kosinussatz folgt (siehe Wikipedia etwa, Trigonometrischer Beweis) und umgekehrt. Der Sinussatz ist hier eher ein Umweg.> ...
    Re: Berechnung des ggT´s mit dem Satz von Pick
          von Triceratops am Di. 05. Januar 2021 19:17:43
    Gerne. :)> ...
    Re: Hüllen in der Mathematik
          von Triceratops am Fr. 11. Dezember 2020 09:21:24
    Schöner Artikel. Ich wollte gerade etwas ähnliches aufschreiben, vor allem um die Begriffe "erzeugte Untergruppe" (zum Beispiel) und "erzeugte $\sigma$-Algebra" auf ein gemeinsames Fundament zu stellen und dann im Forum bei Bedarf darauf zu verweisen. Ich glaube, den wenigstens Studierenden sind sich der Gemeinsamkeit bewusst. Auch die üblichen Rechenregeln wie etwa $\langle X \cup Y \rangle = ...
    Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
          von Triceratops am Do. 10. Dezember 2020 20:26:30
    Ich bin mir nicht sicher, holsteiner. Aber mir ist noch eingefallen, dass auch einige rekursive Definitionen aus der Informatik hierunter fallen, weil nämlich der triviale Fall / der Fall der Null nicht gesondert behandelt werden muss. Ein schönes Beispiel: Ein Baum ist definiert als eine Menge/eine Liste/ein Array von Bäumen; die Elemente interpretiert man dann als Kinder des Baumes, die sin ...
    Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
          von Triceratops am Mi. 07. Oktober 2020 22:08:42
    Bei Wikipedia und in den gängigen Büchern zur Funktionalanalysis steht, dass jeder beschränkte Operator auf einem Banachraum ein nicht-leeres Spektrum hat. Das ist für den trivialen Banachraum (den man auch nicht ausschließen sollte) allerdings falsch. In meinem Artikel über die Gelfand-Transformation wird der Beweis entsprechend so geführt: Wenn das Spektrum eines Elementes einer Banac ...
    Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
          von Triceratops am Mo. 28. September 2020 16:17:14
    @Vercassivelaunos: Theorem 3.3. gilt für beliebige $k \in \IN$ und der Beweis funktioniert auch für alle $k \in \IN$. Der Autor hat (in diesem Fall) nicht lange genug darüber reflektiert. Die Aussage, dass es keine alternierende multilineare Abbildungen für $k=0,1$ gibt, ist auch schlichtweg falsch (man nehme etwa die Nullabbildung). Edit1: Eventuell war dir das aber auch schon klar? Edit2: ...
    Re: Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace
          von Triceratops am Do. 24. September 2020 22:10:14
    @Dune: Sei $V$ ein endlich-erzeugter freier $R$-Modul. Sei $f : V \to V$ ein Endomorphismus. Wir machen eine Skalarerweiterung $f[T] : V[T] \to V[T]$ bezüglich $R \hookrightarrow R[T]$. Das charakteristische Polynom von $f : V \to V$ ist $\chi(f) := \det(T \cdot \mathrm{id} - f[T]) \in R[T]$. Offenbar gilt $\chi(f \oplus g)=\chi(f) \cdot \chi(g)$ für $f : V \to V$, $g : W \to W$, und für die Mu ...
    Re: Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace
          von Triceratops am Do. 24. September 2020 21:58:30
    @helmetzer: Die Frage betrifft zwar nicht meinen Artikel und wäre daher im Forum besser aufgehoben, aber ich beantworte sie einmal trotzdem. Theorem 2.7 (was eher ein Lemma ist) besagt, dass ich die Symmetrie/Antisymmetrie/Alterniertheit einer Abbildung auch erkennen kann, indem ich sie umparametrisiere. Also eine Abbildung $f : M^k \to N$ ist genau dann symmetrisch/antisymmetrisch/alternierend, ...
    Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
          von Triceratops am Do. 03. September 2020 19:11:16
    @Slash: Danke für den Hinweis. Bei mir gab es heute auch erstmals diesen Balken, aber wie du schon schreibst war er nicht immer zu sehen. Ich habe den Artikel ja mit css etwas gestyled, allerdings habe ich das nun nach Rücksprache mit matroid durch den Import einer css-Datei mit einem spezifischeren Namen meiner css-Klasse gemacht. Hoffentlich löst sich das Problem dadurch.> ...
    Re: Ableitungen mit dualen Zahlen
          von Triceratops am Di. 25. August 2020 20:42:51
    Diese Frage wird bei https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_number unter "History" beantwortet. Außerdem: duo (lat.) = zwei.> ...
    Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
          von Triceratops am Sa. 22. August 2020 09:28:24
    @cx: Nein. Du verwendest $a^{x-y}=a^x/a^y$, was allgemein (also für alle $x,y \in \IZ$) nur für invertierbare $a$ gilt (bzw. nur dann ist der Bruch überhaupt wohldefiniert). Mit Verlaub, diese Frage passt auch eher ins Forum, nicht so sehr in diesen Artikel. EDIT: Auch dein folgender Kommentar passt eher ins Forum.> ...
    Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
          von Triceratops am Fr. 21. August 2020 13:21:02
    @Kezer: Nett. Dann gilt der Satz vom regulären Wert nicht einmal für $\mathrm{id} : \IR \to \IR$. > ...
    Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
          von Triceratops am Fr. 21. August 2020 07:50:55
    Zusatz. In dem Buch "Mathematik für die Informatik. Grundlegende Begriffe, Strukturen und ihre Anwendung" von Rudolf Berghammer wird in Satz 1.4.11 gesagt: Zwei Funktionen $f,g : M \to N$ sind genau dann gleich, wenn $f(x)=g(x)$ für alle $x \in M$ gilt. Nach dem trivialen Beweis, der natürlich für alle Mengen gilt, schreibt der Autor jedoch: "Wenn man ganz korrekt ist, dann braucht dieser ...
    Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
          von Triceratops am Di. 18. August 2020 09:45:36
    @xiao_shi_tou_: Interessantes Beispiel. Allerdings ist das nicht nur die Schulbuch-Definition eines Dreiecks, sondern anscheinend die allgemein übliche Definition, insbesondere bei Wikipedia ( Ein Dreieck wird durch drei Punkte definiert, die nicht auf einer Geraden liegen ). Also entartete Dreiecke werden nicht als Dreiecke angesehen. Viele Sätze über Dreiecke gelten aber wortwörtlich auch f ...
    Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
          von Triceratops am Sa. 15. August 2020 07:27:18
    @Saki17: $F(\emptyset)$ kann eine beliebige Menge sein. Ist $T$ irgendeine Menge, dann hat man die konstante Prägarbe $F(U) := T$ und $F(U \subseteq V) := \mathrm{id}_T$. (Die assoziierte Garbe ist dann die Garbe der lokalkonstanten Funktionen nach $T$.)> ...
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