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Grundlagen der linearen Algebra über F_1 von Triceratops
       am Fr. 20. November 2020 14:29:42 - 211 mal gelesen - 0 Kommentare
Grundlagen der linearen Algebra über $\mathbb{F}_1$ Es gibt verschiedene Definitionen eines "Körpers mit einem Element", notiert mit $\IF_1$. In diesem Artikel stellen wir die wohl einfachste davon vor und betreiben etwas lineare Algebra darüber: Ein $\IF_1$-Vektorraum ist ganz einfach eine punktierte Menge, und $\IF_1$ ist $(\{0,1\},0)$. Lineare Algebra über $\IF_1$ ist also eng mit Kombin ...
Einführung in q-Binomialkoeffizienten von Triceratops
       am Di. 20. Oktober 2020 06:42:45 - 370 mal gelesen - 3 Kommentare
Einführung in $q$-Binomialkoeffizienten Ausgehend von der kombinatorischen Fragestellung, wieviele Unterräume ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper $\IF_q$ hat, schauen wir uns $q$-Binomialkoeffizienten $\smash{\binom{n}{k}_q}$ genauer an. Man kann sie als eine Verfeinerung der gewöhnlichen Binomialkoeffizienten ansehen: es sind nämlich Polynome in $q$, deren Ko ...
Stern Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace von Triceratops
       am Do. 17. September 2020 19:18:39 - 615 mal gelesen - 6 Kommentare
Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace Der Entwicklungssatz von Laplace aus der linearen Algebra wird üblicherweise als eine Aussage über Matrizen formuliert und durch eine direkte Rechnung bewiesen. In diesem Artikel formulieren und beweisen wir eine koordinatenfreie Version dieses Satzes, die zwar nicht neu, aber relativ unbekannt ist. Sie handelt entsprechend von linearen Abbildung ...
Der Satz von Ptolemäus über Inversion am Kreis von Kezer
       am So. 06. September 2020 12:44:15 - 373 mal gelesen - 3 Kommentare
Zu den fundamentalen Aussagen in der gesamten Mathematik gehört die Dreieckungleichung aus der Geometrie. Man möge sich also fragen: Gibt es eine "Vierecksungleichung"? Antwort: Ja. Eigentlich ist es aber auch "nur" die Dreiecksungleichung. Das richtige Analogon der Dreiecksungleichung für Vierecke ist der Satz von Ptolemäus. Sei $ABCD$ ein Viereck. Es gilt $$ |AB| \cdot |CD| + |BC| \ ...
Stern Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle von Triceratops
       am Fr. 14. August 2020 15:34:03 - 1430 mal gelesen - 24 Kommentare
Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle Ist $0$ eine natürliche Zahl? Wieso ist $1$ keine Primzahl? Was ist $0^0$? Was ist eine Basis des trivialen Vektorraumes? Wieso ist der triviale Ring ein Ring mit Eins, aber kein Körper? Ist der leere Raum zusammenhängend? Sollten wir den leeren Graphen zulassen? Welche Dimension hat die leere Mannigfaltigkeit? Was ist der Grad des N ...
Collatzsieb von blindmessenger
       am Fr. 24. Juli 2020 20:45:42 - 792 mal gelesen - 5 Kommentare
Einleitung Es seien $X$ und $Y$ die Mengen $$X=\{24n+1:n\in\mathbb N\}\cup\{24n+17:n\in\mathbb N\}\cup\{48n+13:n\in\mathbb N\}\cup\{48n+29:n\in\mathbb N\}\cup\{96n+37:n\in\mathbb N\}\cup\{192n+181:n\in\mathbb N\}$$ $$Y=\{6n+1:n\in\mathbb N\}\cup\{6n+5:n\in\mathbb N\}$$ Aus der Menge $X$ entsteht durch Collatziteration die Menge $Y$. Aus der Menge $Y$ wiederum lässt sich die M ...
Ausdehnen von algebraischen Gleichungen von Triceratops
       am So. 12. Juli 2020 21:52:37 - 511 mal gelesen - 2 Kommentare
Der Satz von Cayley-Hamilton aus der linearen Algebra ist ein schönes Beispiel dafür, dass man einen Satz über komplexe Matrizen mit einem formalen Argument auf Matrizen über kommutativen Ringen verallgemeinern kann. In diesem Artikel soll das allgemeine Prinzip dahinter erklärt werden. Als Beispiele dafür besprechen wir die Multiplikativität von Determinanten, den Entwicklungssatz von ...
Calculating sequence element a(16) of OEIS A108235 von StrgAltEntf
       am Sa. 18. April 2020 18:31:10 - 939 mal gelesen - 7 Kommentare
Abstract The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) lists under the identifier A108235 the following sequence: $a(n)=$ Number of partitions of $\{1,2,...,3n\}$ into $n$ triples $(X,Y,Z)$ each satisfying $X+Y=Z$. The following values can be found there (status on Apr 18 2020) \sourceon n a(n) 1 1 2 0 3 0 4 8 5 21 ...
Jenseits der quadratischen Ergänzung von Gerhardus
       am So. 09. Februar 2020 14:17:23 - 393 mal gelesen - 0 Kommentare
- Wesentliches über die Mathematik von Parabeln Elementare Beweise für quadratische Funktionen und Parabeln diesseits und jenseits der Schulmathematik: Geometrie, Algebra, Koeffizientenvergleich, Lösungsmethoden, Vieta jumping, Tangenten, Brennpunkt-Eigenschaft, die Parabel als echter Kegelschnitt, Quadratur des Archimedes und Parabeln mit beliebigen Achsen in der x-y-Ebene. Für jeden, d ...
Stern Ramsey-Zahlen von Triceratops
       am Mo. 23. Dezember 2019 20:06:37 - 469 mal gelesen - 0 Kommentare
Ramsey-Zahlen Silvester steht vor der Tür. Auf so einer Silvesterparty sehen sich manche Gäste zum ersten mal und kannten sich vorher nur über Ecken. Es gibt also unterschiedlich große Gruppen von einander Bekannten und Gruppen von einander Fremden. Wie groß können diese Gruppen sein? Oder genauer gesagt, wie groß muss die Anzahl der Gäste überhaupt sein, damit es auf jeden Fall eine G ...
Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p = f^q$ von Triceratops
       am Fr. 13. Dezember 2019 21:45:02 - 468 mal gelesen - 1 Kommentare
Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p=f^q$ Für feste natürliche Zahlen $n,p,q$ bestimmen wir die Anzahl der Abbildungen $f : \{1,\dotsc,n\} \to \{1,\dotsc,n\}$ mit $f^p = f^q$, wobei $f^p$ die $p$-fache Verkettung von $f$ sei. Wir leiten insbesondere für festes $p \geq 2$ und $q=1$ die erzeugende Funktion $\exp(\sum_{d ~\mid~ p-1} \frac{1}{d} (z \cdot \exp(z))^d)$ für die Anzahlen her. Am End ...
Ein schwieriges Problem auf der IMO von trunx
       am So. 08. Dezember 2019 08:36:17 - 1902 mal gelesen - 42 Kommentare
Auf der Wikipediaseite "Internationale Mathematik-Olympiade" werden die zwei schwersten Probleme genannt, die je auf einer IMO gestellt worden sind. Beide Aufgaben konnten nur von 11 Schülern gelöst werden, einmal (1986) bei insgesamt 210, das zweite Mal (1988) bei insgesamt 268 Teilnehmern. Während für die erste dieser Aufgaben auch eine Lösung verlinkt wurde, habe ich für die zweite ...
Galois-Verbindungen von Triceratops
       am Do. 21. November 2019 22:39:52 - 562 mal gelesen - 4 Kommentare
Ausgehend von einer einfachen Beobachtung zwischen der Bildmenge und der Urbildmenge gelangen wir zum Begriff einer Galois-Verbindung. Dieser wird in diesem Artikel untersucht. Wir beweisen einfache Eigenschaften von Galois-Verbindungen und geben ein paar einfache Anwendungen an. Insbesondere finden wir damit einen konzeptionellen Beweis für eine ganze Reihe von Charakterisierungen von injekt ...
4-reguläre planare Einheits-Dreieck-Graphen von Slash
       am Mo. 18. November 2019 21:17:18 - 359 mal gelesen - 2 Kommentare
Wie man 4-reguläre planare Graphen nur aus kongruenten gleichseitigen Dreiecken konstruiert Lassen sich kongruente gleichseitige Dreiecke in der Ebene ohne Überschneidungen derart aneinanderlegen, dass sich immer genau zwei Ecken berühren ohne dabei größere Dreiecke zu bilden? Und wenn ja, wie viele Dreiecke benötigt man mindestens dafür? Eine Aufgabe, die mit entsprechendem Mater ...
Die Koch-Schneeflocke von Triceratops
       am Sa. 07. September 2019 20:09:14 - 858 mal gelesen - 10 Kommentare
In diesem kurzen Artikel werden die Flächeninhalte der Koch-Kurve und der Koch-Schneeflocke berechnet, ohne Grenzwerte oder unendliche Reihen zu benutzen. > ...
Hauptsünden und Tugenden von Simplexlehrern von Goswin
       am Mo. 02. September 2019 20:49:09 - 519 mal gelesen - 7 Kommentare
Gemeint ist, in kleinlich ernsthafter Genauigkeit: "Drei meiner Meinung nach schwerwiegende und fast überall beobachtete didaktische Fehlverhalten von Schullehrern der zwölften Klasse und darüber beim Unterrichten des Wahlfachs Lineare Optimierung". Der verkürzte Artikelname ist also ganz unmöglich, führt aber hoffentlich verzweifelte Fragesteller auf die richtige Spur. Ich beobachte zwar ke ...
Muster im Alltag von trunx
       am Do. 29. August 2019 08:06:43 - 823 mal gelesen - 5 Kommentare
Der Eine oder die Andere kennt möglicherweise den folgenden Gesprächsverlauf aus eigener Erfahrung. A: Was machst du beruflich/ studierst du/ ist dein Hobby? B: Mathematik A: Rechnen ist nicht so meins. B: Kann ich verstehen, aber Mathematik ist deutlich mehr als Rechnen. A: Inwiefern? B: Es geht hier eher um Mustererkennung. A: Ok. Sag mal ein einfaches Beispiel. B: Kein Problem. D ...
Schriftlich Wurzelziehen (quadratisch und kubisch) von trunx
       am Mo. 05. August 2019 11:08:44 - 514 mal gelesen - 4 Kommentare
In der Schule lernen wir in der Regel nur die schriftliche Berechnung der 4 Grundrechenoperationen. Hier in diesem Artikel wird das schriftliche Radizieren beispielhaft für das quadratische bzw. kubische Wurzelziehen erläutert. Grundlage dafür ist wahlweise die erste binomische Formel \((a+b)^2 =a^2 +2ab +b^2\) bzw. das kubische Pendant \((a+b)^3 =a^3 +3a^2 b +3ab^2 +b^3\). Wurzeln höherer ...
Stern Berechnung der Zahl π mit einfachen Mitteln von trunx
       am Fr. 12. Juli 2019 11:54:30 - 1066 mal gelesen - 20 Kommentare
Die Zahl \(\pi\) ist genau genommen eine Naturkonstante. Es ist sehr beeindruckend, dass man diese Naturkonstante berechnen kann, dass also das Denken etwas mit der Realität zu tun hat und nicht gänzlich auf sich selbst gerichtet ist. Die moderne Physik stellt weitere Naturkonstanten zur Verfügung, wie z.B. die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante \(\alpha\), hier bemühen sich Mathematiker bzw ...
Auf der Suche nach 3.A7 (Teil 2/2) von Dune
       am Sa. 27. April 2019 20:49:33 - 306 mal gelesen - 1 Kommentare
Wir befinden uns nach wie vor auf der Suche nach der dreifachen Überlagerung $3.A_7$ von $A_7$, einer einzigartigen endlichen Gruppe, deren Existenz ein bloßer kombinatorischer Zufall zu sein scheint. Unser selbstgestecktes Ziel ist aber nicht nur ein bloßer Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis: Wir wollen die $3.A_7$ zudem als Matrixgruppe kleinstmöglicher Dimension darstellen! Im ersten Teil ...

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  Gefunden in Kommentaren zu Artikeln:
Re: Zeichnen einer Weltkugel mit einem Commodore Plus 4
      von Delastelle am Do. 03. Dezember 2020 02:22:23
Hallo, ich habe jetzt in meinem Notizbuch auch ein Kurzvideo (mp4 9 Sekunden) einer Erdrotation. Länge 1680 kBytes. (siehe z.B. Profil: Delastelle; Stäbchen: Notizbuch) Viele Grüße Ronald> ...
Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
      von holsteiner am Fr. 20. November 2020 21:17:00
In objektorientierten Programmiersprachen gibt es den Unterschied zwischen dem Nullpointer (Es gibt keine Instanz der Klasse, das Objekt existiert nicht) und dem Defaultwert (existierender Defaultkonstruktor) einer Klasse. Der Defaultwert ist in Java beispielsweise für den Typ "Integer" der Wert 0 oder für den Typ "String" der Wert "". Es kann eben aber auch sein, dass die Objekte nicht exis ...
Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
      von Nichtarchimedes am Mi. 11. November 2020 09:31:27
Hier eine kleie Anmerkung zum Abschnitt über den Polynomgrad, genauer: “Man könnte hier einwenden, dass man das Supremum auch innerhalb der Menge N bilden könnte, wodurch dann sup(∅)=0 wäre. Das würde einerseits die Formeln kaputtmachen und andererseits wäre es inkompatibel mit dem Grad von Laurentpolynomen (bei denen also auch xn für n∈Z vorkommen dürfen). Man möchte sicherlich, ...
Re: Konzepte der Gruppentheorie
      von tobit09 am Sa. 07. November 2020 14:01:06
Hallo, danke für den interessanten Artikel. Vielleicht finde ich den einen oder anderen Punkt, der sich sinnvoll in die Lehre integrieren lässt. Didaktisch befürchte ich, dass eine Eins-zu-Eins-Umsetzung der Vorschläge Erstsemester völlig überfordern würde. Besser geeignet erscheint mir die dargestellte Herangehensweise zur späteren Vertiefung zu sein. Auf einen kleinen Punkt möc ...
Re: Ein paar Worte zum Computerprogramm Zillions of Games
      von Delastelle am Do. 29. Oktober 2020 13:10:58
Hallo Kitaktus! Es kann sein, dass es bei Zillions noch eine bessere Implementierung zu Isola gibt. Dieses 2.Programm (Download; etwas länger als das von mir benutzte) lief bei mir (Version 1.1.1) aber nicht. Was mir an Zillions nicht so gefallen hat, sind die leider etwas kryptischen Regelfiles - ohne eine gute Anleitung tue ich mich damit schwer. Viele Grüße Ronald Edit: Ein S ...
Re: Ein paar Worte zum Computerprogramm Zillions of Games
      von Kitaktus am Do. 29. Oktober 2020 02:03:24
Mich beeindruckt an ZoG die Universalität des Programms. Allein die formale Angabe der Regeln reicht aus, damit das Programm in der Lage ist, ein Spiel zu spielen. Bei einigen Spielen ist ZoG schlecht(*), bei anderen aber erstaunlich gut, wenn man berücksichtigt, dass keinerlei spielspezifisches Wissen und auch keine Erfahrung aus Musterpartien oder Spielen des Programms gegen sich selbst in die ...
Re: Über die maximale Länge von Collatz-Folgen
      von Wario am So. 25. Oktober 2020 18:32:03
Ein Beispiel wäre schön. Angenommen N=25. Was ist dann die maximal zu erwartende Länge der Collatzfolge von N?> ...
Re: Einführung in $q$-Binomialkoeffizienten
      von matroid am Mi. 21. Oktober 2020 06:49:15
Ich schließe mich an. Tolles Thema, „bekannte“ Formeln in einem ganz anderen Kontext; für mich überraschend. Und sehr gut ausgeführt das Thema. Gruß Matroid > ...
Re: Einführung in $q$-Binomialkoeffizienten
      von Delastelle am Mi. 21. Oktober 2020 03:34:20
Hallo, bereits einen Tag da und noch immer nicht als exzellenter Artikel gekennzeichnet - das geht heute aber langsam :-). Viele Grüße Ronald> ...
Re: Einführung in $q$-Binomialkoeffizienten
      von Diophant am Di. 20. Oktober 2020 15:56:34
Hi Triceratops, der Artikel gefällt mir sehr. Ich bin zwar noch lange nicht durch, aber die Analogien zwischen dem gewöhnlichen und dem q-Binomialkoeffizienten hast du sehr gut verständlich herausgearbeitet (also ich meine: auch für mich als "Hobby-Mathematiker" gut verständlich). Ein Artikel zu einem solch wichtigen (und hier auf dem MP nach meiner Kenntnis überhaupt noch nicht vorhan ...
Re: Aus der Sicht eines Mathebuches...
      von Kezer am Mo. 19. Oktober 2020 12:47:57
Schöne Geschichte, gefällt mir sehr gut! Ich frage mich wie das Leben anderer Bücher aussehen könnte.> ...
Re: Apfelmännchen algebraisch
      von Delastelle am Fr. 16. Oktober 2020 01:43:55
Hallo, ich bin eher für die grafische Darstellung zuständig: - Apfelmännchen in Java: https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1812 - Fraktale in Acryl gezeichnet: https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1745 Viele Grüße Ronald > ...
Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
      von Triceratops am Mi. 07. Oktober 2020 22:08:42
Bei Wikipedia und in den gängigen Büchern zur Funktionalanalysis steht, dass jeder beschränkte Operator auf einem Banachraum ein nicht-leeres Spektrum hat. Das ist für den trivialen Banachraum (den man auch nicht ausschließen sollte) allerdings falsch. In meinem Artikel über die Gelfand-Transformation wird der Beweis entsprechend so geführt: Wenn das Spektrum eines Elementes einer Banac ...
Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
      von Vercassivelaunos am Mo. 28. September 2020 16:49:10
Ja, das war mir klar. Ich wollte nur nochmal ein meiner Meinung nach besonders auffälliges Beispiel aufzeigen.> ...
Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
      von Triceratops am Mo. 28. September 2020 16:17:14
@Vercassivelaunos: Theorem 3.3. gilt für beliebige $k \in \IN$ und der Beweis funktioniert auch für alle $k \in \IN$. Der Autor hat (in diesem Fall) nicht lange genug darüber reflektiert. Die Aussage, dass es keine alternierende multilineare Abbildungen für $k=0,1$ gibt, ist auch schlichtweg falsch (man nehme etwa die Nullabbildung). Edit1: Eventuell war dir das aber auch schon klar? Edit2: ...
Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
      von Vercassivelaunos am Mo. 28. September 2020 14:30:56
Aus deinem neuesten Artikel, wo du das hier verlinkst: \quoteon Theorem 3.3 Let $M$ be an $R$-module and $k\geq2$. For any $R$-module $N$ and alternating multilinear map $f:M^k\longrightarrow N$, there is a unique linear map $\tilde f:\Lambda^k(M)\longrightarrow N$ such that [...] $\tilde f(m_1\wedge\dots\wedge m_k)=f(m_1,\dots, m_k)$. This theorem makes no sense when $k=0$ or $k=1$ s ...
Re: Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace
      von Dune am Fr. 25. September 2020 16:39:51
@"Es gibt aber auch einen sehr schönen Beweis, der mit dem Entwicklungssatz von Laplace arbeitet": Genau darum habe ich die Frage unter diesem Artikel gestellt. 😉 Das Dichtheitsargument, das du vorher skizziert hast, ist natürlich super elegant. Aber am Ende steckt da doch mehr hinter, als man auf den ersten Blick vermutet - gerade beim Nachweis der Dichtheit der diagonalisierbaren Endomor ...
Re: Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace
      von Triceratops am Do. 24. September 2020 22:10:14
@Dune: Sei $V$ ein endlich-erzeugter freier $R$-Modul. Sei $f : V \to V$ ein Endomorphismus. Wir machen eine Skalarerweiterung $f[T] : V[T] \to V[T]$ bezüglich $R \hookrightarrow R[T]$. Das charakteristische Polynom von $f : V \to V$ ist $\chi(f) := \det(T \cdot \mathrm{id} - f[T]) \in R[T]$. Offenbar gilt $\chi(f \oplus g)=\chi(f) \cdot \chi(g)$ für $f : V \to V$, $g : W \to W$, und für die Mu ...
Re: Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace
      von Triceratops am Do. 24. September 2020 21:58:30
@helmetzer: Die Frage betrifft zwar nicht meinen Artikel und wäre daher im Forum besser aufgehoben, aber ich beantworte sie einmal trotzdem. Theorem 2.7 (was eher ein Lemma ist) besagt, dass ich die Symmetrie/Antisymmetrie/Alterniertheit einer Abbildung auch erkennen kann, indem ich sie umparametrisiere. Also eine Abbildung $f : M^k \to N$ ist genau dann symmetrisch/antisymmetrisch/alternierend, ...
Re: Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace
      von Dune am Do. 24. September 2020 12:47:47
Sehr spannender Artikel! Mich würde jetzt vor allem interessieren, wie gut sich die Theorie von charakteristischen Polynomen koordinatenfrei formulieren lässt und wie ein koordinatenfreier Beweis von Cayley-Hamilton aussehen würde... Wie wäre es mit einer Fortsetzung...? 😄> ...
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