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Über die Adjunktion von Wurzeln von Triceratops
       am Sa. 20. Februar 2021 08:27:16 - 163 mal gelesen - 0 Kommentare
Eine beliebte Aufgabe aus der Algebra ist es, den Grad und die Galoisgruppe von Erweiterungen der Form $\IQ(\sqrt{p},\sqrt{q},\dotsc)$ für konkrete Beispiele von Primzahlen $p,q,\dotsc$ zu bestimmen, zum Beispiel von $\IQ(\sqrt{2},\sqrt{3})$. Außerdem soll oftmals ein primitives Element und dessen Minimalpolynom gefunden werden. In diesem Artikel behandeln wir allgemeiner Erweiterungen der F ...
Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz von easymathematics
       am Fr. 29. Januar 2021 08:31:10 - 837 mal gelesen - 17 Kommentare
Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz Hallo, in diesem Artikel soll es um folgende Fragestellung(en) gehen. (1) Lässt sich der Sinussatz mit Hilfe des Kosinussatzes beweisen? (2) Lässt sich der Kosinussatz mit Hilfe des Sinussatzes beweisen? (3) Sind beide Sätze sogar äquivalent? Die Antwort: Beide Sätze sind äquivalent. Anmerkung: Wir reden ...
Über Berührungen und Ableitungen von Triceratops
       am Di. 19. Januar 2021 06:36:43 - 238 mal gelesen - 0 Kommentare
In dem Buch 'Grundzüge der modernen Analysis' von Dieudonné wird der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion zwischen normierten Räumen sehr anschaulich und geometrisch mithilfe einer Berührungsrelation eingeführt. Die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt wird dadurch definiert, dass sie dort von einer affin-linearen Funktion berührt wird. Leider taucht diese Relati ...
Optimale Steuerung bzw. Neuronales Netz mit variablen Gewichten - ein Beispiel von Delastelle
       am Mi. 06. Januar 2021 19:41:41 - 177 mal gelesen - 0 Kommentare
Im Artikel berechne ich die Lösung eines Problems der Optimalen Steuerung. Die Steuerungen u kann man auch als Gewichte w eines Neuronalen Netzes mit variablen Gewichten sehen. Gelöst wird das Achtproblem - hier mit 4 gewöhnlichen Differentialgleichungen. Zur Lösung werden Fortran und Matlab/Octave eingesetzt.> ...
Berechnung des ggT´s mit dem Satz von Pick von easymathematics
       am Mo. 04. Januar 2021 20:20:17 - 817 mal gelesen - 4 Kommentare
In diesem Artikel soll es darum gehen den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen \(a,~b~> ~0\) mit dem Satz von Pick zu berechnen. Nachfolgendes Theorem verzichtet dabei auf herkömmliche Methoden: a) euklidischer Algorithmus b) Primfaktorzerlegung c) Beziehung zum kgV 1.1 Theorem: Für zwei natürliche Zahlen \(a,~b~> ~0\) gilt: \[ \mathrm{ggT}(a,b) = {a-b-ab+2 \ ...
Ein einfacher Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie von Triceratops
       am So. 20. Dezember 2020 06:01:00 - 539 mal gelesen - 0 Kommentare
Ich habe mir einen einfachen Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie überlegt. Er kommt gänzlich ohne Dimensionsargumente aus. Die eine Hälfte des Beweises ergibt sich letztlich aus Grundlagen über Homomorphismen in einen algebraischen Abschluss, wohingegen die andere Hälfte auf einem kombinatorischen Resultat basiert, nämlich dass ein Körper nicht als Vereinigung von endlich viel ...
Grundlagen der linearen Algebra über F_1 von Triceratops
       am Fr. 20. November 2020 14:29:42 - 349 mal gelesen - 0 Kommentare
Grundlagen der linearen Algebra über $\mathbb{F}_1$ Es gibt verschiedene Definitionen eines "Körpers mit einem Element", notiert mit $\IF_1$. In diesem Artikel stellen wir die wohl einfachste davon vor und betreiben etwas lineare Algebra darüber: Ein $\IF_1$-Vektorraum ist ganz einfach eine punktierte Menge, und $\IF_1$ ist $(\{0,1\},0)$. Lineare Algebra über $\IF_1$ ist also eng mit Kombin ...
Einführung in q-Binomialkoeffizienten von Triceratops
       am Di. 20. Oktober 2020 06:42:45 - 496 mal gelesen - 3 Kommentare
Einführung in $q$-Binomialkoeffizienten Ausgehend von der kombinatorischen Fragestellung, wieviele Unterräume ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper $\IF_q$ hat, schauen wir uns $q$-Binomialkoeffizienten $\smash{\binom{n}{k}_q}$ genauer an. Man kann sie als eine Verfeinerung der gewöhnlichen Binomialkoeffizienten ansehen: es sind nämlich Polynome in $q$, deren Ko ...
Stern Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace von Triceratops
       am Do. 17. September 2020 19:18:39 - 731 mal gelesen - 6 Kommentare
Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace Der Entwicklungssatz von Laplace aus der linearen Algebra wird üblicherweise als eine Aussage über Matrizen formuliert und durch eine direkte Rechnung bewiesen. In diesem Artikel formulieren und beweisen wir eine koordinatenfreie Version dieses Satzes, die zwar nicht neu, aber relativ unbekannt ist. Sie handelt entsprechend von linearen Abbildung ...
Der Satz von Ptolemäus über Inversion am Kreis von Kezer
       am So. 06. September 2020 12:44:15 - 520 mal gelesen - 4 Kommentare
Zu den fundamentalen Aussagen in der gesamten Mathematik gehört die Dreieckungleichung aus der Geometrie. Man möge sich also fragen: Gibt es eine "Vierecksungleichung"? Antwort: Ja. Eigentlich ist es aber auch "nur" die Dreiecksungleichung. Das richtige Analogon der Dreiecksungleichung für Vierecke ist der Satz von Ptolemäus. Sei $ABCD$ ein Viereck. Es gilt $$ |AB| \cdot |CD| + |BC| \ ...
Stern Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle von Triceratops
       am Fr. 14. August 2020 15:34:03 - 1693 mal gelesen - 25 Kommentare
Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle Ist $0$ eine natürliche Zahl? Wieso ist $1$ keine Primzahl? Was ist $0^0$? Was ist eine Basis des trivialen Vektorraumes? Wieso ist der triviale Ring ein Ring mit Eins, aber kein Körper? Ist der leere Raum zusammenhängend? Sollten wir den leeren Graphen zulassen? Welche Dimension hat die leere Mannigfaltigkeit? Was ist der Grad des N ...
Collatzsieb von blindmessenger
       am Fr. 24. Juli 2020 20:45:42 - 889 mal gelesen - 5 Kommentare
Einleitung Es seien $X$ und $Y$ die Mengen $$X=\{24n+1:n\in\mathbb N\}\cup\{24n+17:n\in\mathbb N\}\cup\{48n+13:n\in\mathbb N\}\cup\{48n+29:n\in\mathbb N\}\cup\{96n+37:n\in\mathbb N\}\cup\{192n+181:n\in\mathbb N\}$$ $$Y=\{6n+1:n\in\mathbb N\}\cup\{6n+5:n\in\mathbb N\}$$ Aus der Menge $X$ entsteht durch Collatziteration die Menge $Y$. Aus der Menge $Y$ wiederum lässt sich die M ...
Ausdehnen von algebraischen Gleichungen von Triceratops
       am So. 12. Juli 2020 21:52:37 - 593 mal gelesen - 2 Kommentare
Der Satz von Cayley-Hamilton aus der linearen Algebra ist ein schönes Beispiel dafür, dass man einen Satz über komplexe Matrizen mit einem formalen Argument auf Matrizen über kommutativen Ringen verallgemeinern kann. In diesem Artikel soll das allgemeine Prinzip dahinter erklärt werden. Als Beispiele dafür besprechen wir die Multiplikativität von Determinanten, den Entwicklungssatz von ...
Calculating sequence element a(16) of OEIS A108235 von StrgAltEntf
       am Sa. 18. April 2020 18:31:10 - 1022 mal gelesen - 7 Kommentare
Abstract The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) lists under the identifier A108235 the following sequence: $a(n)=$ Number of partitions of $\{1,2,...,3n\}$ into $n$ triples $(X,Y,Z)$ each satisfying $X+Y=Z$. The following values can be found there (status on Apr 18 2020) \sourceon n a(n) 1 1 2 0 3 0 4 8 5 21 ...
Jenseits der quadratischen Ergänzung von Gerhardus
       am So. 09. Februar 2020 14:17:23 - 453 mal gelesen - 0 Kommentare
- Wesentliches über die Mathematik von Parabeln Elementare Beweise für quadratische Funktionen und Parabeln diesseits und jenseits der Schulmathematik: Geometrie, Algebra, Koeffizientenvergleich, Lösungsmethoden, Vieta jumping, Tangenten, Brennpunkt-Eigenschaft, die Parabel als echter Kegelschnitt, Quadratur des Archimedes und Parabeln mit beliebigen Achsen in der x-y-Ebene. Für jeden, d ...
Stern Ramsey-Zahlen von Triceratops
       am Mo. 23. Dezember 2019 20:06:37 - 633 mal gelesen - 0 Kommentare
Ramsey-Zahlen Silvester steht vor der Tür. Auf so einer Silvesterparty sehen sich manche Gäste zum ersten mal und kannten sich vorher nur über Ecken. Es gibt also unterschiedlich große Gruppen von einander Bekannten und Gruppen von einander Fremden. Wie groß können diese Gruppen sein? Oder genauer gesagt, wie groß muss die Anzahl der Gäste überhaupt sein, damit es auf jeden Fall eine G ...
Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p = f^q$ von Triceratops
       am Fr. 13. Dezember 2019 21:45:02 - 545 mal gelesen - 1 Kommentare
Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p=f^q$ Für feste natürliche Zahlen $n,p,q$ bestimmen wir die Anzahl der Abbildungen $f : \{1,\dotsc,n\} \to \{1,\dotsc,n\}$ mit $f^p = f^q$, wobei $f^p$ die $p$-fache Verkettung von $f$ sei. Wir leiten insbesondere für festes $p \geq 2$ und $q=1$ die erzeugende Funktion $\exp(\sum_{d ~\mid~ p-1} \frac{1}{d} (z \cdot \exp(z))^d)$ für die Anzahlen her. Am End ...
Ein schwieriges Problem auf der IMO von trunx
       am So. 08. Dezember 2019 08:36:17 - 1998 mal gelesen - 42 Kommentare
Auf der Wikipediaseite "Internationale Mathematik-Olympiade" werden die zwei schwersten Probleme genannt, die je auf einer IMO gestellt worden sind. Beide Aufgaben konnten nur von 11 Schülern gelöst werden, einmal (1986) bei insgesamt 210, das zweite Mal (1988) bei insgesamt 268 Teilnehmern. Während für die erste dieser Aufgaben auch eine Lösung verlinkt wurde, habe ich für die zweite ...
Galois-Verbindungen von Triceratops
       am Do. 21. November 2019 22:39:52 - 614 mal gelesen - 4 Kommentare
Ausgehend von einer einfachen Beobachtung zwischen der Bildmenge und der Urbildmenge gelangen wir zum Begriff einer Galois-Verbindung. Dieser wird in diesem Artikel untersucht. Wir beweisen einfache Eigenschaften von Galois-Verbindungen und geben ein paar einfache Anwendungen an. Insbesondere finden wir damit einen konzeptionellen Beweis für eine ganze Reihe von Charakterisierungen von injekt ...
4-reguläre planare Einheits-Dreieck-Graphen von Slash
       am Mo. 18. November 2019 21:17:18 - 455 mal gelesen - 2 Kommentare
Wie man 4-reguläre planare Graphen nur aus kongruenten gleichseitigen Dreiecken konstruiert Lassen sich kongruente gleichseitige Dreiecke in der Ebene ohne Überschneidungen derart aneinanderlegen, dass sich immer genau zwei Ecken berühren ohne dabei größere Dreiecke zu bilden? Und wenn ja, wie viele Dreiecke benötigt man mindestens dafür? Eine Aufgabe, die mit entsprechendem Mater ...

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  Gefunden in Kommentaren zu Artikeln:
Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
      von easymathematics am Di. 02. März 2021 18:30:46
Interessanter Artikel. Danke hierfür!> ...
Re: Kombinatorik in der Sommerpause: Pflasterungen mit Rechtecken
      von nosapa am Mo. 01. März 2021 05:56:39
https://www.facebook.com/genialetechnik/videos/roadprinter/266262621785717/ Habe diese Pflastermaschine gesehen und hab an deine Formel gedacht Gruß nosapa> ...
Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
      von StefanVogel am Sa. 27. Februar 2021 08:13:37
Auch ganz ohne geometrischen Bezug folgt aus dem Sinussatz der Kosinussatz: Für fünf beliebige reelle Zahlen \(a, b, c, \alpha, \beta\) gilt, wenn \(\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(180° - \alpha - \beta)}\) dann \(c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos(180° - \alpha - \beta)\). Zur Abkürzung \(\gamma = 180° - \alpha - \beta\) schreiben kann man unabhängig ...
Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
      von easymathematics am Sa. 20. Februar 2021 22:43:06
Hallo mga010, es ging ja nicht darum, den Kosinussatz zu beweisen, sondern die Äquivalenz von Sinus- und Kosinussatz zu beweisen.> ...
Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
      von mga010 am Sa. 20. Februar 2021 11:19:51
Der "trigonometrische Beweis" auf Wikipedia ist ziemlich ähnlich, kommt aber ohne explizites Additionstheorem aus. https://de.wikipedia.org/wiki/Kosinussatz> ...
Re: Die radiale Brachistochrone: Think big
      von Slash am So. 07. Februar 2021 21:08:13
@ Monty Klasse Tastenausrutscher: Schwerefels 😎> ...
Re: Die radiale Brachistochrone: Think big
      von traveller am So. 07. Februar 2021 18:59:23
Interessant wäre vielleicht noch zu untersuchen, wie sich die Integrale für sehr kurze Kurvenstücke vereinfachen, wo die Gravitationskraft als konstant genähert werden kann. Dabei sollte doch wieder die Zykloide rauskommen, für welche $t$ und $s$ meines Wissens geschlossen berechnet werden können.> ...
Re: Die radiale Brachistochrone: Think big
      von MontyPythagoras am So. 07. Februar 2021 15:21:18
Hallo Yakob, traveller hat es schon richtig gesagt: die Brachistochrone ist natürlich nicht die Bahn, die ein Körper nimmt, wenn er sich frei um den Planeten herumbewegt, sondern eine Bahn mit Zwangskräften - wie es die Brachistochrone in einem homogenen Schwerefels auch ist. Siehe dazu zum Beispiel diesen Wiki-Artikel . Würde man also auf einem Planeten eine solche Kugelbahn bauen, wäre ...
Re: Die radiale Brachistochrone: Think big
      von Yakob am So. 07. Februar 2021 14:41:00
Naja, die "Zwangskräfte" sollen aber nur durch die Gestalt der Schiene und durch die hauptsächlich vorliegende Kraft (also die Gravitationskraft) erzeugt werden. Ich bleibe mal vorläufig bei meinen Zweifeln !> ...
Re: Die radiale Brachistochrone: Think big
      von traveller am So. 07. Februar 2021 14:25:44
@Yakob Das ist (vermutlich) keine Hyperbel. Diese (oder ein anderer Kegelschnitt) entsteht, wenn sich der Körper ohne weitere Kräfte im Gravitationsfeld des Planeten bewegt, und ja, sie würde "um die Erde" rum führen. Hier (wie auch im klassischen Brachistochronen-Problem) wird der Körper jedoch auf die jeweiligen Bahnen gezwungen (durch eine Schiene o.Ä.), also ja: Es wirken weitere K ...
Re: Die radiale Brachistochrone: Think big
      von am So. 07. Februar 2021 13:08:14
"Die blaue Kurve ist offenkundig die Brachistochrone, die wir berechnen wollen" Ich habe da ein Problem: Solch eine Hyperbelbahn, wie sie hier abgebildet ist, würde meiner Meinung nach eine abstoßende Kraft erfordern. Mit anziehender Gravitation müsste der Hyperbelbogen "um die Erde herum" führen ! Oder sehe ich da etwas falsch ? (Benutzer: Yakob)> ...
Re: Verleihung der 19. Matheplanet-Mitglieder-Awards
      von pzktupel am Do. 04. Februar 2021 20:48:27
Hoppla, die Abstimmung ging an mir vorbei, aber schön, dass an mich gedacht wurde 😄> ...
Re: Der Sinn des Ganzen
      von easymathematics am Do. 04. Februar 2021 15:49:21
Ich für meinen Teil habe mir diese Fragen gestellt. "Wofür brauche ich Eigenwerte?" oder ähnliche Fragen. Entweder werde ich den tieferen Sinn schon noch erleben, aber ich denke, man sollte nicht zu viel erwarten, gerade am Anfang. Ist es nicht viel ergibiger an das Studium mit der Motivation "Ich hab Bock auf Mathematik" heranzugehen? Muss immer alles motiviert werden? Wieso k ...
Re: Faktorisierung großer Zahlen
      von Diophant am Do. 04. Februar 2021 12:55:11
Diesen sehr gelungenen Artikel kannte ich bisher noch gar nicht und werde ihn in nächster Zeit einmal gründlich durcharbeiten. Nur zum vorherigen Kommentar (auch wenn er schon 13 Jahre alt ist ;-) ): unter Windows 10 läuft das Programm nach wie vor in der normalen Windows-Konsole problemlos. In der Windows Powershell muss man wie unter Linux "./factor [Zahl]" eingeben, dann funktioniert es e ...
Re: Die radiale Brachistochrone: Think big
      von easymathematics am Mi. 03. Februar 2021 12:56:08
Hallo, sehr schöner Artikel. Coole Idee. :) Ich muss mich jetzt da mal hinsetzen und den genau nachvollziehen. Die Schritte an sich sind mir klar, aber detaillierter nacharbeiten kann ja nicht schaden. :) Danke für die "Hausaufgabe". :D> ...
Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
      von MartinN am Mo. 01. Februar 2021 19:25:38
Und aus der "Innenwinkelsumme" (im Sinne von dass man ein Dreieck in 2 sich berührende rechtwinklig Dreiecke teilen kann) folgt der Sinussatz 🤔> ...
Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
      von Triceratops am Mo. 01. Februar 2021 14:51:55
... zumal aus dem Projektionssatz auch sofort der Kosinussatz folgt (siehe Wikipedia etwa, Trigonometrischer Beweis) und umgekehrt. Der Sinussatz ist hier eher ein Umweg.> ...
Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
      von MartinN am Mo. 01. Februar 2021 12:06:52
Wäre das "Finale Argument" nicht eher... Wenn in einem Dreieck der Projektionssatz, die Innenwinkelsumme und der Sinussatz gelte, dann gilt auch der Cosinussatz. Schließlich baut der Beweis auf diese 4 Sätze in einen Dreieck auf... Der Rest (Additionstheoreme, trigonometrischer Pythagoras) eher grundlegende Eigenschaften der Winkelfunktionen. Ist halt die Frage ob man wirklich so viele Sät ...
Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
      von easymathematics am Sa. 30. Januar 2021 18:17:26
Wie viele Schritte notwendig sind spielt doch erstmal nicht wirklich eine Rolle. Es ist ein nettes Resultat mehr nicht. Was genau sollte mich also stutzig machen? Und eine geschickte 0 zu addieren ist überhaupt kein Problem. Ich sehe nix Verwerfliches. Und ich denke, Du solltest den Beweis nochmal in Ruhe nachvollziehen. Dein Beispiel geht völlig am Thema vorbei.> ...
Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
      von traveller am Sa. 30. Januar 2021 16:15:42
Dass der Beweis und das Resultat richtig sind bezweifle ich nicht, sondern ob die "Äquivalenz" nicht eine triviale ist wie in meinem Beispiel. Dass die gleichen Voraussetzungen (und mit dem Additionstheorem noch eine weitere) benutzt werden, um auf mehr Zeilen eine schwächere Aussage zu beweisen als Sinus- und Cosinussatz sollte doch stutzig machen.> ...
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