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  Gefunden in Artikeln:
Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p = f^q$ von Triceratops
       am Fr. 13. Dezember 2019 21:45:02 - 168 mal gelesen - 1 Kommentare
Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p=f^q$Für feste natürliche Zahlen $n,p,q$ bestimmen wir die Anzahl der Abbildungen $f : \{1,\dotsc,n\} \to \{1,\dotsc,n\}$ mit $f^p = f^q$, wobei $f^p$ die $p$-fache Verkettung von $f$ sei. Wir leiten insbesondere für festes $p \geq 2$ und $q=1$ die erzeugende Fu ...
Ein schwieriges Problem auf der IMO von trunx
       am So. 08. Dezember 2019 08:36:17 - 1132 mal gelesen - 34 Kommentare
Auf der Wikipediaseite "Internationale Mathematik-Olympiade" werden die zwei schwersten Probleme genannt, die je auf einer IMO gestellt worden sind. Beide Aufgaben konnten nur von 11 Schülern gelöst werden, einmal (1986) bei insgesamt 210, das zweite Mal (1988) bei insgesamt 268 Teilnehmern. W ...
Galois-Verbindungen von Triceratops
       am Do. 21. November 2019 22:39:52 - 364 mal gelesen - 4 Kommentare
Galois-VerbindungenAusgehend von einer einfachen Beobachtung zwischen der Bildmenge und der Urbildmenge gelangen wir zum Begriff einer Galois-Verbindung. Dieser wird in diesem Artikel untersucht. Wir beweisen einfache Eigenschaften von Galois-Verbindungen und geben ein paar einfache Anwendungen an. ...
4-reguläre planare Einheits-Dreieck-Graphen von Slash
       am Mo. 18. November 2019 21:17:18 - 235 mal gelesen - 2 Kommentare
Wie man 4-reguläre planare Graphen nur aus kongruenten gleichseitigen Dreiecken konstruiertLassen sich kongruente gleichseitige Dreiecke in der Ebene ohne Überschneidungen derart aneinanderlegen, dass sich immer genau zwei Ecken berühren ohne dabei größere Dreiecke zu bilden? Und wenn ja, wie v ...
Die Koch-Schneeflocke von Triceratops
       am Sa. 07. September 2019 20:09:14 - 638 mal gelesen - 10 Kommentare
Die Koch-SchneeflockeIn diesem kurzen Artikel werden die Flächeninhalte der Koch-Kurve und der Koch-Schneeflocke berechnet, ohne Grenzwerte oder unendliche Reihen zu benutzen. > ...
Hauptsünden und Tugenden von Simplexlehrern von Goswin
       am Mo. 02. September 2019 20:49:09 - 383 mal gelesen - 7 Kommentare
Gemeint ist, in kleinlich ernsthafter Genauigkeit: "Drei meiner Meinung nach schwerwiegende und fast überall beobachtete didaktische Fehlverhalten von Schullehrern der zwölften Klasse und darüber beim Unterrichten des Wahlfachs Lineare Optimierung". Der verkürzte Artikelname ist also ganz unmög ...
Muster im Alltag von trunx
       am Do. 29. August 2019 08:06:43 - 659 mal gelesen - 5 Kommentare
Der Eine oder die Andere kennt möglicherweise den folgenden Gesprächsverlauf aus eigener Erfahrung. A: Was machst du beruflich/ studierst du/ ist dein Hobby? B: Mathematik A: Rechnen ist nicht so meins. B: Kann ich verstehen, aber Mathematik ist deutlich mehr als Rechnen. A: Inwiefern? B: ...
Schriftlich Wurzelziehen (quadratisch und kubisch) von trunx
       am Mo. 05. August 2019 11:08:44 - 377 mal gelesen - 4 Kommentare
In der Schule lernen wir in der Regel nur die schriftliche Berechnung der 4 Grundrechenoperationen. Hier in diesem Artikel wird das schriftliche Radizieren beispielhaft für das quadratische bzw. kubische Wurzelziehen erläutert. Grundlage dafür ist wahlweise die erste binomische Formel \((a+b)^2 = ...
Berechnung der Zahl π mit einfachen Mitteln von trunx
       am Fr. 12. Juli 2019 11:54:30 - 796 mal gelesen - 20 Kommentare
Die Zahl \(\pi\) ist genau genommen eine Naturkonstante. Es ist sehr beeindruckend, dass man diese Naturkonstante berechnen kann, dass also das Denken etwas mit der Realität zu tun hat und nicht gänzlich auf sich selbst gerichtet ist. Die moderne Physik stellt weitere Naturkonstanten zur Verfügun ...
Auf der Suche nach 3.A7 (Teil 2/2) von Dune
       am Sa. 27. April 2019 20:49:33 - 252 mal gelesen - 1 Kommentare
Wir befinden uns nach wie vor auf der Suche nach der dreifachen Überlagerung $3.A_7$ von $A_7$, einer einzigartigen endlichen Gruppe, deren Existenz ein bloßer kombinatorischer Zufall zu sein scheint. Unser selbstgestecktes Ziel ist aber nicht nur ein bloßer Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis: Wi ...
Transformation ebener Kurven von Gerhardus
       am Sa. 20. April 2019 13:56:27 - 262 mal gelesen - 3 Kommentare
Transformation von Kurven (9. Schuljahr) Das 9. Schuljahr lehrt Parabeln als quadratische Funktionen. Dazu gehören Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen der Parabel als Vorspiel zur wichtigen p-q-Formel, um die Nullstellen der quadratischen Funktion zu berechnen. Ein Satz wie: „Die Par ...
Auf der Suche nach 3.A7 (Teil 1/2) von Dune
       am Mo. 25. März 2019 21:35:51 - 351 mal gelesen - 0 Kommentare
Wir betrachten folgende Matrixgruppe mit Einträgen aus dem endlichen Körper $\mathbb{F}_{25} = \mathbb{F}_5(\zeta)$, wobei $\zeta$ eine primitive dritte Einheitswurzel sei. \( 3.A_7 = \left\langle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1+4 \zeta ...
Über die elementaren Wachstumsmodelle von Diophant
       am Mo. 18. Februar 2019 19:11:22 - 866 mal gelesen - 5 Kommentare
1. Einleitung Dieser Artikel richtet sich hauptsächlich an Schülerinnen und Schüler im Rahmen der Vorbereitung auf das Abitur. Es wird aus diesem Grunde versucht, die vorgetragenen Sachverhalte möglichst anschaulich darzustellen, auf akademische Strenge wird aus dem gleichen Grund verzichtet. ...
Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten von cis
       am Mo. 03. Dezember 2018 21:32:59 - 880 mal gelesen - 19 Kommentare
Quadratwurzel einer komplexen Zahl und Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten In folgendem Artikel soll, ähnlich der bekannten Lösungsformel im reellen Fall, eine handhabbare Lösungsformel für die quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten ermittelt werden. ...
Markov Belohnungs-Prozesse von LaLe
       am Mo. 24. September 2018 09:27:25 - 618 mal gelesen - 2 Kommentare
Von Ameisen zu sicherer künstlicher Intelligenz: Reinforcement LearningTeil 1: Markov-BelohnungsprozesseDiese Reihe von drei Artikeln soll einen Überblick über Reinforcement Learning geben, im Deutschen etwa "Bestärkendes Lernen" genannt. Der erste Teil beschäftigt sich mit Markov-Belohnungspro ...
Konstruktion von Matrixgruppen mit (modularer) Charaktertheorie von Dune
       am So. 19. August 2018 21:47:41 - 454 mal gelesen - 2 Kommentare
Eine Geschichte, die mich nachhaltig fasziniert hat, ist die Entdeckung der ersten Jankogruppe \( J_1 \). Noch bevor die Existenz dieser sporadischen endlichen einfachen Gruppe definitiv klar war, hatte Janko bereits ihre (modularen) Charaktertafeln in jeder Charakteristik gefunden, und mit diesen I ...
Einstieg für Laien in die Finanzmathematik von Gerhardus
       am Do. 26. April 2018 17:14:18 - 750 mal gelesen - 1 Kommentare
Einstieg für Laien in die Finanzmathematik Die ersten vier Kapitel sind Basiswissen der Schule. Der Text danach entstand aus zwei Kursen über Finanzmathematik für Laien, die erstmals im Winter 2017/2018 im Bildungsforum Dortelweil e.V. in Bad Vilbel stattfanden, dank der Geschichten aus dem Le ...
Das arithmetische Mittel und freie Mittelpunkt-Algebren von Triceratops
       am Mi. 11. April 2018 09:55:02 - 416 mal gelesen - 0 Kommentare
Das arithmetische Mittel und freie Mittelpunkt-Algebren Dieser Artikel hat sich aus der Frage motiviert, welche Rechenregeln das arithmetische Mittel $$\overline{m}(a,b) = \frac{a+b}{2}$$reeller Zahlen erfüllt. Man erkennt relativ schnell $$\overline{m}(a,a)=a, \quad \overline{m}(a,b)=\overline{m ...
Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen von Marbin
       am So. 04. Februar 2018 20:34:57 - 891 mal gelesen - 19 Kommentare
Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen Im Folgenden beweisen wir, dass $\begin{align}2^{10\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+9}\end{align}$ in Dezimaldarstellung für alle \(k ...
Die künstliche Niere - Experiment und Modellierung von Marbin
       am Mi. 10. Januar 2018 21:10:54 - 443 mal gelesen - 3 Kommentare
Neben der Mathematik und anderen Dingen interessiere ich mich auch für die Chemie. Das Buch "Chemische Experimente die gelingen" von Römpp/Raaf besitze ich nun seit über 30 Jahren, aber erst vor kurzem habe ich das Experiment "Wie funktioniert die künstliche Niere" aus dem besagten Buch mit geri ...

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  Gefunden in Kommentaren zu Artikeln:
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von am So. 15. Dezember 2019 19:11:08
Hallo, der IMO-Beweis ergab a² = c und ca = b, daraus folgen die Lösungen (n,n³,n²), die man durch Einsetzen in die Gleichung unmittelbar verifizieren kann. Weitere Lösungen finden sich mit dem Vieta jumping (Vieta-Sprung-Technik), von dem hier seltsamer Weise noch keiner gesprochen hat, das ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von Hans-Juergen am So. 15. Dezember 2019 13:45:27
Hallo trunx, Du hast recht: es ist kein allgemeiner Beweis, den ich auch gar nicht anstrebte. Mich interessierte lediglich, wie man auf das von Gerhardus angegebene Tripel (n,n³,n²) kommt. (Schneller geht es übrigens mit dem Ansatz a=nx, b=y.) Mit freundlichem Gruß Hans-Jürgen> ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von trunx am So. 15. Dezember 2019 01:09:51
@weird: mittlerweile weiss ich soviel über die Fragestellung, dass ich überall Beweise sehe. Und dass ich soviel darüber weiss, hängt wesentlich von meinem Ansatz und meinen eigenen Rechnungen ab und nicht von irgendeinem unterstellten abgekupferten Ansatz. Auch das zur Klarstellung. Nehmen w ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von weird am Sa. 14. Dezember 2019 23:35:49
@trunx "Ehrenrührig" finde ich meinen obigen Kommentar jetzt wirklich nicht, aber vielleicht doch noch der Klarheit halber nachstehende Präzisierung: Ich fand und finde es noch immer toll, dass du deinen Fehler in der ursprünglichen Beweisführung doch noch eingesehen und ursprünglich dann au ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von trunx am Sa. 14. Dezember 2019 20:01:29
hallo Hans-Jürgen, deine Rechnung ist leider auch kein Beweis und berücksichtigt deutlich weniger Lösungen als ich es in meinem obigen Beweis(ansatz) getan hatte. Auch dort finden sich bereits die Lösungspolynome \((q, q^3)\), und auch die Lösungspolynome \((q^3, q^5-q)\) usw. In meiner Antw ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von Hans-Juergen am Sa. 14. Dezember 2019 18:44:06
\ \ Hi, in dem Bruch (a^2+b^2)/(1+a b) sind zwei natürliche Zahlen a und b so zu bestimmen, dass er gleich dem Quadrat einer ebenfalls natürlichen Zahl n wird. Es soll also gelten: (a^2+b^2)/(1+a b)= n^2 mit a,b,n\el\ \IN . Ich setze a = x n, b = y n ; dann folgt: (x^2 n^2 + y^2 n^2) ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von weird am Sa. 14. Dezember 2019 17:40:54
@zippy: Ja, man muss das jetzt in der letzten Version leider als den unredlichen Versuch ansehen, so zu tun, als ob an der ursprünglichen Beweisidee noch irgendetwas etwas zu retten gewesen wäre. Schade eigentlich, denn vorher hatte es noch so ausgesehen, als hätte er seinen Fehler ohne Wenn und ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von trunx am Sa. 14. Dezember 2019 17:34:07
@zippy: das mag bei einem alten, vielfach gelösten Problem der Fall sein. Das Programm, dass ich mir aber zum Beweisen für dieses WE vorgenommen hatte, steht in meinem Kommentar vom 9.12. und das habe ich so auch fortgeführt. Das direkt am Anfang dieses Wegs nun gleich ein Beweis lag, den ich bem ...
Re: Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p = f^q$
      von geroyx am Sa. 14. Dezember 2019 16:26:26
\usetikzlibrary{matrix} \begin{tikzpicture}[every path/.style={->, >=latex}] \matrix (m) [matrix of math nodes, nodes in empty cells, nodes={ text=red, inner sep=0pt, }, column sep=7mm, row sep=6mm, Color/.style={column #1/.style={nodes={text=blue}}}, Color/.list={3,4,5} ]{ \bulle ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von zippy am Sa. 14. Dezember 2019 15:27:07
\quoteon(trunx) Die nachgelieferte Zuendeführung des angekündigten Beweises findet sich im nächsten Abschnitt in blauer Schrift. \quoteoff Das ist weniger eine "Zuendeführung" als ein komplett neuer Beweis (und zwar der aus Triceratops' drittletztem Link).> ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von haegar90 am Sa. 14. Dezember 2019 12:39:50
Hallo zusammen, ich habe das gerade zufällig gelesen und mich gefragt ob hierfür: \quoteon Sind $a$ und $b$ natürliche Zahlen, sodass $$q={\frac {a^{2}+b^{2}}{ab+1}}$$ ebenfalls eine natürliche Zahl ist, so ist $q$ sogar eine Quadratzahl. \quoteoff Dieses als möglicher Beweisansatz ver ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von trunx am Di. 10. Dezember 2019 17:27:07
@gerhardus: wie oben unter "Bonus" geschrieben, hat (8,30,4) in der Tat eine andere Struktur und gehört zu den Lösungspolynomen \((q^3,-q+q^5,q^2)\), hier für q=2. Allgemeiner kann man eine Folge von Polynomen, ich nenne sie mal \(f_n(q)\) angeben, von denen je zwei benachbarte ein Lösungspaa ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von Gerhardus am Di. 10. Dezember 2019 12:16:02
Schöne Aufgabe, passt optimal in meinen nächsten Artikel. Der IMO-Beweis ergibt: Die Tupel (a,b,c) = (n,n³,n²) lösen die eingangs gestellte Gleichung. a und b sind vertauschbar. Die Lösung (8,30,4) ist von anderer Struktur. > ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von trunx am Mo. 09. Dezember 2019 16:10:11
Ich habe heute mit einem Kollegen über das Problem gesprochen und verstehe nun die Schwierigkeiten mit dem obigen Text besser. Demnach ist es zwar immer ganz nett, wenn man einige (mitunter auch unendlich viele) Lösungen berechnen kann, aber das ist noch keine Aussage über alle Lösungen (klar ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von zippy am So. 08. Dezember 2019 21:54:29
\quoteon(trunx) sprich ich habe geschaut, ob es Polynome a(q) und b(q) derart gibt, dass sie in der Aufgabenkonstellation einfach nur q ergeben. Das ist wie oben gezeigt nicht möglich. \quoteoff Du hast tatsächlich gezeigt, dass für Polynome $a(q)$ und $b(q)$ die Gleichung$$ q\cdot\bigl(a(q ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von Slash am So. 08. Dezember 2019 21:23:28
trunx @slash: "was ich selber denk und tu, trau ich auch dem andern zu." das zum thema "aufmerksamkeit heischen" und "schludrigkeit". und - hand-aufs-herz - du greifst mich, wie auch andere hier auf dem mp, sehr wohl wie sooft persönlich an. also geh in deine witzecke mit hölzchen spielen. "auf ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von trunx am So. 08. Dezember 2019 21:21:45
Ich versuche, diesen Gedankengang mal mit einem Beispiel zu illustrieren: Eine Lösung ist ja c=4 mit dem Lösungspaar (2, 8). Wenn ich jetzt q=4 setze, dann kann ich ja Polynome a(q) und b(q) in q bilden, für die insbesondere a(4)=2 und b(4)=8 gilt. Bspw. die 4adische Darstellung von 2 und 8, ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von trunx am So. 08. Dezember 2019 20:07:57
So, ich versuche auf alle Fragen zu antworten. Vorausschicken möchte ich, dass ich über kein Argument leichtfertig hinweg gehe. Vielleicht liegt das Problem darin, dass ich nicht allgemein bei den Polynomen geblieben bin und die q-adischen Zahlen ins Spiel gebracht habe. Ich beginne mal mit ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von Triceratops am So. 08. Dezember 2019 17:33:19
@trunx: Ich stimme Kornkreis und zippy zu. Der Beweis funktioniert leider nicht. Ich sehe auch nicht, wie er zu retten wäre.> ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von Kornkreis am So. 08. Dezember 2019 16:58:44
Hi Trunx, ich sehe hier gleich mehrere Probleme, und ich verstehe nicht ganz, warum du so leichtfertig darüber hinweggehst. Deine Zeile "es wäre also a = b = c = 0" beim ersten Koeffizientenvergleich zeigt doch bereits, dass der Koeffizientvergleich so nicht funktioniert - schließlich hast du ei ...
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