Rechnerische Hintergründe des Matrix-Begriffes und Herleitung des Matrizenproduktes $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} =A$ In der Oberstufe oder im 1. Semester wird die Matrix zumeist als rechtecksförmiges Zahlen- bzw. Größenschema ei ...

Das Austauschverfahren ist ein allgemeines — inzwischen leider vernachlässigtes — Werkzeug der Linearen Algebra. Mit entsprechenden Anpassungen kann man damit einen Basiswechsel durchführen, den Rang einer Matrix ablesen, Matrizen invertieren, lineare Gleichungssysteme und Matrizengleichungen lösen, Determinanten berechnen, und Eigenvektoren finden. > ...

Skalarprodukt und Kreuzprodukt im R³ Der folgende Inhalt entstand in einem Faden, in dem über Einführungsmöglichkeiten der Begriffe Skalar- und Kreuzprodukt im Schulunterricht diskutiert wurde, und wurde hier noch etwas ergänzt und zusammengefaßt. Es handelt sich um eine Grundeinführung für Schüler der Oberstufe oder Studenten des 1. Semesters bzw. Interessenten belie ...

In diesem Artikel möchte ich über das Transformationsverhalten von Objekten aus der linearen Algebra am Beispiel von Vektoren, Dualvektoren, linearen Abbildungen und Bilinearformen sprechen und im Anschluss noch kurz an die in der physikalischen Literatur omnipräsenten Basisdarstellungen von Tensoren eingehen. Dieser Artikel richtet sich vornehmlich an junge Physikstudenten, denen dieses Thema ...

Motivation In meinem ersten offiziellen Artikel möchte ich auf Matrixdarstellungen von linearen Abbildungen zwischen Funktionsvektorräumen eingehen. Es werden zwei mehr oder minder typische Übungsaufgaben besprochen, um einerseits dem Anfänger den Einstieg in die Thematik der Funktionsvektorräume zu erleichtern und um andererseits Matrixdarstellungen linearer Abbildungen zu wi ...

Symmetriegruppen §3 In diesem Artikel wollen wir uns ein paar endliche Symmetriegruppen anschauen. Im Mittelpunkt wird die Diedergruppe stehen. Zuvor führen wir aber einige Begriffe, wie den Fixpunkt, den Schwerpunkt oder die Bahn einer endlichen Symmetriegruppe ein. Wir werden zeigen, dass eine endliche Untergruppe von Sym(E) genau einen Fixpunkt besitzt. Wir wünschen wie ...

Symmetriegruppen §2 Nun ist es endlich so weit, und wir können endlich richtig Tief in die Materie der Symmetriegruppen der Ebene einsteigen. Zunächst werden wir uns anschauen, was wir unter der Konjugiertenklasse verstehen und wie wir die ebenen Symmetrien klassifizieren können, das klang schon im letzten Artikel etwas an. Dies wollen wir nun aber weiter präzisieren. Im ...

In dieser Artikelserie sollen Sätze der Lineare Algebra behandelt werden, die in den meisten Vorlesungen nicht besprochen werden,die man aber kennen sollte. > ...

\ \ Oft wird in Büchern oder Skripten nach der Definition der Determinante bewiesen, dass die Leibnizformel die Forderungen erfüllt und sie auch die einzige Funktion ist. Existenz und Eindeutigkeit eben. Die Beweise findet man auch hier in Artikelform. Die Frage, die sich mir und meinen Mitstudenten zur Zeit meiner LA Vorlesung stellte: "Wie kommt man denn auf diese monströse Forme ...

Symmetriegruppen §1 Einführung In diesem Artikel möchte ich eine kleine Einführung in die Symmetriegruppen der Ebene geben. Da das Thema für ein Artikel zu umfangreich wäre, plane ich insgesamt drei. Voraussetzung für die gesamte Serie ist der Umgang mit Gruppen und auch Kenntnisse aus der Linearen Algebra I über orthogonale Matrizen sind nicht schlecht, aber nicht unbedingt ...

Multilineare Al g ebra Ich bin im dritten Semester in den Genuss gekommen, zum Abschluss der Vorlesungen LA I bis LA III das Gebiet der multilinearen Algebra zu behandeln. Mein Professor hat dabei ein erstaunliches Geschick an den Tag gelegt, die Dinge zu verkomplizieren und die Studenten mit unsinnigen und zum Teil falschen Rechnungen zu verwirren. Also habe ich mich entschlossen, das ...

Das Theorem über die Jordan-Normalform ist wohl eines der schwierigsten der elementaren Linearen Algebra. Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten die Existenz und Eindeutigkeit dieser eleganten Normalform zu beweisen. Da wäre zum Beispiel jene Methode, die den Zerlegungssatz endlich erzeugter Moduln über Hauptidealringen benutzt. In diesem Artikel will ich aber einen anderen Weg gehen, näml ...

FlorianM und hugoles schreiben: Lineare Gleichungssysteme & Co. Liebe Matheplanetarier, hugoles und ich wollen den Matheplaneten mit einer Serie erweitern, die sich mit dem Thema Lineare Algebra und Analytische Geometrie befasst. Wir werden in unserem Kapitel 1 auf Lineare Gleichungssysteme eingehen und nach und nach auf das weite Gebiet der Vektoren vorstoßen. Ziel dieser ...

\ \ Mit diesem Artikel möchte ich euch zeigen, wie man eine Hauptachsentranformation durchführt. Zunächst zeige ich euch allgemein, also im \IR^n, eine Hauptachsentransformation. Weil ich aber nicht vorhabe, jedes kleinste Detail zu beweisen, muss ich ein paar Kenntnisse der Linearen Algebra voraussetzen. \ > ...

Die Hesse'sche Normalenform In der Schule lernt man schon Abstände zwischen Ebenen, Geraden und Punkten zu berechnen, und das häufigste Hilfsmittel ist wohl die Hesse'sche Normalenform . Ich möchte diese Normalenform auf n-dimensionale affine Räume verallgemeinern, womit man dann eine Möglichkeit hat den Abstand eines Punktes zu einem (n-1)-dimensionalen affinen Unterraum zu berechnen. ...

Aus der Linearen Algebra kennen wir einige : \ \ \label(1)\big\darkgreen dim(U)+dim(W)=dim(U \cut W)+dim(U + W) \label(2)\big\darkgreen dim(Bild(f))+dim(Kern(f))=dim(V) \ \label(3)\big\darkgreen dim(V\/U)+dim(U)=dim(V) Dabei sind U,W Unterräume eines K-Vektorraumes V und f eine auf V definierte lineare Abbildung. Die Beweise beschränken sich AFAIK nur auf endlich-dim ...

Kapitel 5 Diagonalisierbarkeit In diesem Artikel soll es rund ums 'Diagonalisieren’ von Linearen Abbildungen und Matrizen gehen. Dabei werden uns Begriffe wie 'Eigenwerte’, 'Eigenvektoren’ und 'charakteristisches Polynom’ begegnen, welche sich als sehr hilfreich für diese Theorie herausstellen werden. > ...

Kapitel 2 ½ : Oben haben wir gesehen, wie man die Darstellungsmatrix einer Linearen Abbildung bezüglich verschiedener Basen berechnet. An dieser Stelle möchte ich eine leicht abgewandelte Form davon vorstellen, welche das Verfahren etwas mehr formalisiert. Das Zauberwort hierfür ist „Transformationsmatrix“ und wir fangen am besten gleich mit der Definition ...

Ich möchte hier einige Ausführungen zur Überführung von Matrizen in Normalform oder kanonische Form machen. Im Vordergrund sollen dabei die Begriffe stehen, auf Beweise werde ich weitgehend verzichten, sonst würde der Rahmen, den ich mir vorgegeben habe, gesprengt. Ich werde dabei die moderne Auffassung von der linearen Algebra, wo immer möglich, berücksichtigen, aber manchmal auc ...

Hallo an Alle! In diesem Abschnitt soll die Theorie der Linearen Gleichungssysteme mal ganz von vorne behandelt werden. In den vorigen Kapiteln ging es um Lineare Abbildungen, Matrizen und Determinanten, welche nützliche Hilfsmittel im Umgang mit linearen Gleichungssystemen sind. Wie immer bitte ich natürlich um (konstruktive) Kritik und Fehlermeldungen. Inhalt Linear ...